10.1. METODA TRANSFIGURACJI

10. METODY NIEALGORYTMICZNE ANALIZY OBWODÓW LINIOWYCH

10.1. METODA TRANSFIGURACJI

Przez termin transfiguracji rozumiemy operację kolejnego uproszcze- nia struktury obwodu (zmniejszenie liczby gałęzi i węzłów), przy spełnio- nym warunku równoważności, tzn. zastępowanie struktury bardziej złożo- nej równoważną strukturą prostszą.

W metodzie transfiguracji wykorzystujemy wcześniej poznane zasady, zależności i twierdzenia:

a) zasadę zastępowania układu elementów połączonych szeregowo jednym elementem równoważnym;

b) zasadę zastępowania układu elementów połączonych równolegle jednym elementem równoważnym;

c) zasadę zastępowania układu idealnych źródeł napięcia połączo- nych szeregowo jednym źródłem równoważnym;

d) zasadę zastępowania układu idealnych źródeł prądu połączonych szeregowo jednym źródłem równoważnym;

e) zasadę równoważności napięciowego i prądowego schematu dwójnika źródłowego.

Metoda transfiguracji polega na zwinięciu sieci rozgałęzionej do ob- wodu elementarnego (źródło – odbiornik), w którym określamy prąd i napięcie. Następnie przechodzimy ponownie drogę transfiguracji, lecz w kierunku odwrotnym, dochodząc do sieci pierwotnej i na każ- dym z etapów określamy konieczne wielkości elektryczne.

UWAGA!

PRZYKŁAD 6.5 – dla obwodu prądu sinusoidalnego

PRZYKŁAD 10.1 – dla obwodu prądu stałego W obwodzie przedstawionym na ry-

sunku dwa rzeczywiste źródła na- pięcia o parametrach E1=8,8V, R1=4Ω, E2=11,2V, R2=8Ω, połączo- no równolegle - wyznaczyć rozpływ prądów jeżeli R3=6,66Ω, R4=3,33Ω , R5=3,33Ω.

I I₂ I₁

I₃ I₄

B A

( )

( ) [ ]

[ ]

G R

R R R

R R R R

3 , 1 0

33 , 3

345 345

5 4 3

5 4 345 3

=

=

Ω + =

+

= +

I I₂ I₁

B A

Dwa rzeczywiste źródła napięciowe zastępujemy równoważnymi źró- dłami prądowymi.

Parametry źródeł równoważnych:

I I₁

B

I₂ A

] [ 125 , 8 0 1 1

; ] [ 4 , 8 1

2 , 11

] [ 25 , 4 0 1 1

; ] [ 2 , 4 2

8 , 8

2 2

2 2 2

1 1 1

1 1

R S G

R A I E

R S G R A

I E

z z

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Dwa rzeczywiste źródła prądowe zastępujemy jednym równoważnym źródłem prądowym o parametrach:

[ ] [ ]

G G G

A I

I I

W

z z z

375 , 0

6 , 3

2 1

2 1

= +

=

= +

=

I

B A

Dla zredukowanego obwodu może- my wyznaczyć:

(korzystając z dzielnika prądu)

[ ]

G

I G _z

W

6 , 1 6 , 33 , 0 375 , 0

3 , 0

345

345 =

= +

= +

(korzystając z prawa Ohma)

[ ]

IR I

U_AB 5,33

3 , 0

6 , 1

345

345 = = =

=

I

B A

U_AB

Przechodzimy do obwodu pierwotnego

Pozostałe prądy wyznaczamy korzy- stając z pierwszego rysunku i

I I₂ I₁

I₃ I₄

B A

NPK

U_AB

PPK

• II prawa Kirchhoffa (NPK)

[ ]

U I E

U I R

E _AB ^AB 0,734

8 33 , 5 2 , 0 11

2 2 2

2 2

2 − − = ⇒ = − = − =

• I prawa Kirchhoffa (PPK)

[ ]

I I I I

I

I₁ + ₂ − = 0 ⇒ ₁ = − ₂ =1,6−0,734 =0,866

• prawa Ohma

[ ]

I U^AB 0,8 66

, 6

33 , 5

3

3 = = = ;

[ ]

R R

I U^AB 0,8

33 , 3 33 , 3

33 , 5

5 4

4 =

= +

= +

10.2. METODA SUPERPOZYCJI

Metodę superpozycji stosuje się do obwodów, w których występują co najmniej dwa źródła niezależne.

Metoda superpozycji wywodzi się z zasady superpozycji,

Odpowiedź obwodu na jednoczesne działanie zbioru wymuszeń jest równa

sumie odpowiedzi na każde wymuszenie działające osobno

którą można sformułować nieco inaczej – mianowicie:

Prąd (napięcie) w wyróżnionej gałęzi obwodu liniowego, w którym występuje kilka źródeł niezależnych, może być obliczony jako suma prądów (napięć) wywołanych w tej gałęzi przez każde z tych źródeł działających osobno, tzn. po wyzerowaniu wszystkich pozostałych źródeł niezależnych (zastąpieniu źródeł napięcia zwarciami a źródeł prądowych rozwarciami).

Inaczej:

• Metoda superpozycji sprowadza się do analizy tylu obwodów ile występuje źródeł niezależnych w obwodzie pierwotnym.

• Odpowiedź całkowita w danej gałęzi (prąd lub napięcie) jest sumą poszczególnych odpowiedzi wymuszanych poszczególnymi źró- dłami niezależnymi.

PRZYKŁAD 10.2 – dla obwodu prądu sinusoidalnego Wyznaczyć rozpływ prądów w ob-

wodzie, jeśli:

A

I_Z = 0,4 , E =60e ^j60oV , Ω

1 j25

Z = , Z₂ = j20Ω , Ω

3 j30

Z = − .

Z₁ I₁

I₃ Z3

I_Z

I₂

Z₂ E

A) Przyjmujemy:

I_Z=0,4A, E=0 (zwarcie)

oraz nanosimy zwroty prądów skła- dowych I1A , I2A , I3A – powstałych w wyniku działania tylko źródła prądu.

Z₁ I_1A

I_3A Z₃ IZ

I_2A

Z₂

zwarcie

Wyznaczamy: I_1A = I_Z

...

3 2

2 3 =

= + _Z

A I

Z Z

I Z , ...

3 2

3 2 =

= + _Z

A I

Z Z I Z

B) Przyjmujemy:

E=60e^j60 V, I_Z=0 (rozwarcie)

oraz nanosimy zwroty prądów skła- dowych I2B , I3B – powstałych w wy- niku działania tylko źródła napięcia.

Z₁

I_3B Z₃

I_2B

Z₂

przerwa E

Wyznaczamy: ....

3 2 3

2 =

= +

= Z Z

I E I _{B B}

C) Nakładamy na siebie schematy z p. A) oraz C) i określamy prądy gałęziowe:

A I

I_1A = _Z = 0,4

2 ...

2

2 = I _A −I _B = I

3 ...

3

3 = I _A +I _B = I

PRZYKŁAD 10.3 – dla obwodu prądu stałego Wyznaczyć rozpływ prądów w ob-

wodzie, jeśli: I_Z=5A, E=10V, R1=1Ω, R₂=10Ω, R₃=5Ω.

I₁

I₃ I₂

A) Przyjmujemy:

I_Z=5A, E=0 (zwarcie)

oraz nanosimy zwroty prądów skła- dowych I1A , I2A , I3A – powstałych w wyniku działania tylko źródła prądu.

I_1A

I_3A I_2A

zwarcie

Wyznaczamy: I_1A = I_Z =5A

[ ]

R I R

I _A R _Z

3 5

3 2

2 3 =

= + , ^I

[ ]

R R

I _A R _Z

3 10

3 2

3 2 =

= +

B) Przyjmujemy:

E=10V, IZ=0 (rozwarcie)

oraz nanosimy zwroty prądów skła- dowych I2B , I3B – powstałych w wy- niku działania tylko źródła napięcia.

I_3B I_2B

przerwa

Wyznaczamy:

[ ]

R R I E

I _{B B}

3 2

3 2 3

2 =

= +

=

C) Nakładamy na siebie schematy z p. A) oraz C) i określamy prądy gałęziowe:

A I

I_1A = _Z =5

[ ]

I I

I _{A B} 1

3 2 3 5

2 2

2 = − = − =

[ ]

I I

I _{A B} 4

3 2 3 10

3 3

3 = + = + =

10.3. METODA ZASTĘPCZEGO GENERATORA

• interesują nas wielkości elektryczne związane z jedną wybraną gałęzią,

• bądź interesuje nas analiza stanu elektrycznego w obciążeniu (stałym bądź regulowanym) zasilanym ze złożonego układu zasi- lania.

Nie ma wówczas potrzeby dokonywania pełnej analizy sieci!

(wyznaczania wielkości elektrycznych gałęziowych, nie interesujących nas z punktu widzenia sformułowanego celu szczegółowego)

Rozpatrzmy graf sieci elektrycznej, składający się z różnych (dowol- nych) gałęzi. Przyjmijmy, że poszukujemy prądu i napięcia gałęziowego w jednej wybranej gałęzi AB (szukamy IAB oraz UAB).

Gałąź AB może być zarówno gałęzią bezźródłową opi- sywaną funkcją impedancji ZX lub admitancji YX , jak i gałęzią źródłową opisywaną parą: UoX , ZX lub IzX , YX . Natomiast po „wyjęciu” gałęzi AB z punktu widzenia zacisków A-B

pozostała część sieci stanowi złożony układ zasilania - dwójnik źródłowy.

A

B

A

B

Oznacza to, że z punktu widzenia gałęzi AB pozostałą część ob- wodu, będącą dwójnikiem aktywnym, można zastąpić schematem równoważnym zgodnie z

• twierdzeniem o zastępczym generatorze (źródle) napięcia Każdy dwójnik aktywny prądu harmonicznego jest równoważny ga- łęzi aktywnej zawierającej:

idealne źródło napięcia harmonicznego o symbolicznej wartości UO , odpowiadającej napięciu dwójnika w stanie jałowym

i połączony z nim szeregowo dwójnik pasywny o symbolicznej im- pedancji ZW , określonej stosunkiem symbolicznych wartości napię- cia źródłowego UO i prądu zwarcia IZ dwójnika

Z W I O

Z =U (10.1)

DA

B A

B

LUB

z punktu widzenia gałęzi AB pozostałą część obwodu, będącą dwójnikiem aktywnym, można zastąpić schematem równoważnym zgodnie z

• twierdzeniem o zastępczym generatorze (źródle) prądu Każdy dwójnik aktywny prądu harmonicznego jest równoważny ga- łęzi aktywnej utworzonej z

idealnego źródła prądu harmonicznego o symbolicznej wartości IZ , odpowiadającej prądowi zwarcia dwójnika

i połączonego z nim równolegle dwójnika pasywnego o symbolicz- nej admitancji YW , określonej stosunkiem symbolicznych wartości prądu zwarcia I_Z i napięcia w stanie jałowym U_O dwójnika

O W Z

U

Y = I (10.2)

DA

B A

B

Tok postępowania przy wyznaczaniu

prądu I_AB napięcia U_AB

metodą zastępczego

źródła napięcia metodą zastępczego źródła prądu jest następujący:

1. w obwodzie o danym schemacie odłączyć gałąź w punktach A-B (gałąź w której występuje szukana wartość);

2.

dowolną metodą obliczyć napięcie UO

między zaciskami A-B dwójnika w stanie jałowym;

dowolną metodą obliczyć prąd IZ

w zwartych zaciskach A-B dwójnika;

3.

Obliczyć

Impedancję wewnętrzną źródła zastępczego ZW

Obliczyć

admitancję wewnętrzną źródła zastępczego GW

4.

do wyznaczonego schematu za- stępczego źródła napięcia należy

przyłączyć uprzednio odłączoną

gałąź i obliczyć w niej prąd

wykorzystując prawo Ohma i II prawo Kirchhoffa.

do wyznaczonego schematu za- stępczego źródła prądu należy

przyłączyć uprzednio odłączoną

gałąź i obliczyć na niej napię- cie wykorzystując prawo Ohma i I prawo Kirchhoffa.

PRZYKŁAD 10.4 – dla obwodu prądu stałego

Stosując metodę zastępczego źródła napięcia, obliczyć prąd płynący przez rezystancję R4.

R₁

I

E R₂ R₃

R₄

Dane:

E = 20 V,

R₁ = 2 Ω, R₂ = 6 Ω, R₃ = 18,5 Ω, R₄ = 10 Ω,

ROZWIĄZANIE:

1. w obwodzie o danym schemacie odłączyć gałąź w punktach A-B, w której występuje szukana wartość;

A

B R₁

E R₂ R₃

2. dowolną metodą obliczyć napięcie U_O między zaciskami A-B dwójnika w stanie jałowym;

A

B R₁

E R₂ R₃

U₀

Z zależności dzielnika napięcia:

15

2 1

0 2 =

= + E

R R

U R [V]

3. obliczyć rezystancję wewnętrzną źródła zastępczego RW (źródła napię- cia = zwarcia, źródła prądu = przerwy);

A

B R₁

R₂ R₃

R_W

Bazując na metodzie transfiguracji:

3 20

2 1

2

1 + =

= + R

R R

R

R_W R [Ω]

4. do wyznaczonego schematu zastępczego źródła napięcia należy przy- łączyć uprzednio odłączoną gałąź i obliczyć w niej prąd wykorzystując prawo Ohma i II prawo Kirchhoffa.

I

A

B U₀

R_W

R₄

4 0

0 −IR −IR =

U _W

czyli

5 , 0

4

0 =

= +

R R

I U

W

[A]

PRZYKŁAD 10.5 – dla obwodu prądu sinusoidalnego

Stosując metodę zastępczego źródła napięcia, obli- czyć prąd płynący przez impedancję Z4.

Z

I

E Z

Z

Z

A

B

Ad.1. Odłączamy gałąź w punktach A-B:

Ad.2. Obliczamy napięcie U_O dwójnika w stanie jałowym;

( ) ( )

[ ]

j j

j Z E Z U Z

j110,2 2

1 0 2

31 , 4 04 , 4 49 , 1 82 14

174 250

82 = − − = −

− + +

= −

= +

Ad.3. Obliczamy impedancję wewnętrzną źródła zastępczego Z_W;

( )( )

( ) ( ) (

)

[ ]

82 174

250

82 174

250

3 2

1 2 1

j j j

j

j j

Z Z Z

Z Z_W Z

+

= +

− + + +

−

= + + +

=

Ad.4. Przyłączamy uprzednio odłączoną gałąź do źródła zastępczego i obli- czamy w niej prąd wykorzystując prawo Ohma i II prawo Kirchhoffa.

Z

I

Z

A

B

U

( )

[ ]

j j

j Z

Z I U

j W

5 , 117 4

0

00657 ,

0 00583 ,

0 00303 ,

0

377 28

, 83 69

, 273

04 , 4 49 , 1

= −

−

−

=

+ +

−

= −

= +

DANE:

E = 14 V,

Z₁ = (250+j174)Ω, Z₂ = - j82Ω, Z₃ = (250+j174)Ω, Z₄ = 377Ω,