Wykazać, że (a) kxkp jest normą dla p ∈ [1

Ćwiczenia nr 1, AM II, 2017/18 Dla x = (x₁, . . . , xk) ∈ R^k niech

kxkp:=

k

X

i=1

|xi|^p

!1/p

, kxk∞= max

i |xi|.

Zadanie 1. Wykazać, że

(a) kxkp jest normą dla p ∈ [1, ∞] (łatwe przypadki p = 1, 2, ∞), (b) kxk∞¬ kxk ¬ kxk₁¬ k kxk∞.

(c) Mówimy, że norma k · k pochodzi od iloczynu skalarnego (x, y) 7→ hx, yi, jeśli kxk = phx, xi dla każdego x. Czy k · k₁ pochodzi od pewnego iloczynu skalarnego? A k · kp?

(d) Udowodnić, że jeśli norma k · k pochodzi od pewnego iloczynu h·, ·i, to zachodzą następujące równości

kx + yk²+ kx − yk²= 2 (kxk²+ kyk²), (1)

hx, yi =1

4 kx + yk²− kx − yk²
, hx, yi = 1

2 kx + yk²− kxk²− kyk²
.

(e) (⋆ DOM 17.10.2017) Wykazać, że jeśli norma na Rⁿ spełnia (1), to pochodzi od pewnego iloczynu skalarnego.

Zadanie 2. Narysować kule B(0, 1) w metrykach indukowanych przez normy k · k₁, k · k₂i k · k∞. Zadanie 3. Wykazać, że limp→∞kxkp= kxk∞.

Zadanie 4. Niech h·, ·i będzie iloczynem skalarnym na R². Wykazać, że istnieją liczby a, b, c takie, że

hx, yi = (x₁, x₂)a b b c

 y₁ y₂

 .

Dowieść, że funkcja zadana powyższym wzorem jest iloczynem skalarnym o ile a, c > 0 oraz wyznacznik 

a b b c    

> 0.

Zadanie 5. Czy poniższe funkcje są normami

(a) k(x, y)k =px²+ 4y²+ |x|, x, y ∈ R, (b) k(x, y)k = px²+ |y|.

Zadanie 6. (DOM 10/11.10.2017) Niech k(x, y)k = λ, gdzie λ jest (jedynym) rozwiązaniem równania e^|x|/λ+ |y|/λ = 2.

dla (x, y) 6= (0, 0) i k(0, 0)k = 0. Czy to jest norma?

Zadanie 7. Znajdź normę na R²≃ C (o ile istnieje), że kula jednostkowa jest zbiorem (a) prostokątem [−1, 1] × [−2, 2],

(b) trójkątem równobocznym o środku w (0, 0), którego jednym z wierzchołków jest (1, 0), Zadanie 8. Wykazać, że kula jednostkowa w dowolnej normie jest zbiorem wypukłym.

Zadanie 9. (DOM 13.10.2017) Niech B ⊂ R^k będzie zbiorem zwartym, wypukłym, symetrycznym względem 0 ∈ R^k oraz 0 należy do wnętrza zbioru B. Wykazać, że istnieje norma, w której B jest domkniętą kulą jednostkową.

Zadanie 10. Niech A będzie macierzą symetryczną rozmiaru n × n. Na Cⁿ rozważamy iloczyn hz, wi = Pⁿ_i=1ziwi, gdzie z = (z₁, . . . , zn), w = (w₁, . . . , wn).

(a) Wykazać, że jeśli z, w są wektorami własnymi macierzy A z wartościami własnymi λ₁, λ₂∈ C, przy czym λ₁6= λ₂, to hz, wi = 0.

(b) Wykazać, że jeśli A jest rzeczywista, to A ma rzeczywiste wartości własne. (Rozważyć iloczyn hAz, ¯zi i zastosować hAx, yi = hx, A^Tyi).

(c) Dowieść, że rzeczywista, symetryczna macierz n × n ma n ortogonalnych wektorów własnych o rze- czywistych wartościach własnych