Zadania przygotowawcze do kolokwium (WZ, 21.11.2018) Zadanie 0. Sformułuj definicję liczby π, liczby Eulera e i wykazać, że
(a) 52 < e < 3, (b) 12 < ln 2 < 34,
(c) 3 < π < 4.
Zadanie 1. Oblicz (a) limx→4
√1+2x−3√ x−2 , (b) limx→3+
√
x3−23−2 x2−6x+9 ,
(c) limx→2 x−21 − x3−2x52+x−2. Zadanie 2. (a) limx→+∞(1 + x2)x2+13x ,
(b) limx→+∞
x2+5x−3 x2+13
x
. Zadanie 3. Rozwiąż równianie
log(x − 5) + log(x − 8) −1
3log 8 = 1 + 1
2log 49 − log(x + 4).
Zadanie 4. Rozwiąż nierówność
1
2log3+x2(x2− 6)2 < 2 + 1
12log√2 1 64. Zadanie 5. Po jakim czasie kapitał oprocentowany na 12% ulega potrojeniu przy
(a) kapitalizacji ciągłej, (b) kapitalizacji półrocznej.
Zadanie 6. Znajdź pochodną funkcji f (x) =√
x ln(1 + e2x).
Zadanie 7. Oblicz f (1), f0(1) oraz napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (1, f (1)), gdzie
f (x) = (ln x) · sinπx
2 · (1 + ln x)3· tg11sinπx
4 · log(190 + (2 + x11)4+ (x30+ 8)3).
Zadanie 8. Dla jakiego parametru a funkcja f określona wzorem
f (x) =
3+√3
1+ax 4
x1
, jeśli x > 0, 2x+1, jeśli x ¬ 0.
jest ciągła?
1