Jeżeli f jest funkcja wypukł, a w pewnym przedziale, to dla dowolnych, liczb x1, x2

Download (0)

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Dowód nierówności Jensena

Nierówność Jensena. Jeżeli f jest funkcja wypukł, a w pewnym przedziale, to dla dowolnych, liczb x1, x2, . . . , xn, (n ­ 2) z tego przedziału oraz liczb nieujemnych α1, α2, . . . , αn takich, że α1 + α2+ . . . + αn = 1 zachodzi nierówność

f

Xn i=1

αixi¬

Xn i=1

αif (xi).

Dowód

Dowód wykonamy przez indukcje.,

Dla n = 2 zgadza sie z definicji funkcji wypukłej.,

Załóżmy, że zachodzi teza dla n liczb xi i αi. Przeprowadzimy krok indukcyjny.

Niech liczby x1, x2, . . . , xn+1 należa do przedziału, w którym funkcja jest wypukła,, a liczby nieujemne α1, α2, . . . , αn+1 spełniaja warunek α, 1+ α2+ . . . + αn+1 = 1.

Jeśli an+1 = 1, to

α1 = α2 = . . . = αn+1= 0 i nierówność zachodzi. Niech wiec 0 < α, n+1< 1. Mamy:

f

n+1X

i=1

αixi= f(1 − αn+1)

Xn i=1

αi

1 − αn+1xi + αn+1xn+1¬

¬ (1 − αn+1)f

Xn i=1

αi 1 − αn+1

+ αn+1f (xn+1) ¬

¬ (1 − αn+1)

Xn i=1

αi

1 − αn+1f (xi) + αn+1f (xn+1) =

n+1X

i=1

αif (xi).

Figure

Updating...

References

Related subjects :