Dowód nierówności Jensena
Nierówność Jensena. Jeżeli f jest funkcja wypukł, a w pewnym przedziale, to dla dowolnych, liczb x1, x2, . . . , xn, (n 2) z tego przedziału oraz liczb nieujemnych α1, α2, . . . , αn takich, że α1 + α2+ . . . + αn = 1 zachodzi nierówność
f
Xn i=1
αixi¬
Xn i=1
αif (xi).
Dowód
Dowód wykonamy przez indukcje.,
Dla n = 2 zgadza sie z definicji funkcji wypukłej.,
Załóżmy, że zachodzi teza dla n liczb xi i αi. Przeprowadzimy krok indukcyjny.
Niech liczby x1, x2, . . . , xn+1 należa do przedziału, w którym funkcja jest wypukła,, a liczby nieujemne α1, α2, . . . , αn+1 spełniaja warunek α, 1+ α2+ . . . + αn+1 = 1.
Jeśli an+1 = 1, to
α1 = α2 = . . . = αn+1= 0 i nierówność zachodzi. Niech wiec 0 < α, n+1< 1. Mamy:
f
n+1X
i=1
αixi= f(1 − αn+1)
Xn i=1
αi
1 − αn+1xi + αn+1xn+1¬
¬ (1 − αn+1)f
Xn i=1
αi 1 − αn+1
+ αn+1f (xn+1) ¬
¬ (1 − αn+1)
Xn i=1
αi
1 − αn+1f (xi) + αn+1f (xn+1) =
n+1X
i=1
αif (xi).
