Udowodnić, że dla n &gt

Mecz matematyczny

grupa młodsza piatek, 26 września 2003

61. Dany jest sześcian ABCDA⁰B⁰C⁰D⁰ o boku długości 1. Punkty K i L sa_, środkami odpowiednio krawe_,dzi AA⁰ i CC⁰. Punkt M jest takim punktem na półprostej BB⁰, że 2|B⁰M| =

|BB⁰|. Punkty P i Q sa, przecie_,ciami płaszczyzny KLM z prostymi AD i CD. Obliczyć pole pie_,cioka_,ta KM LQP .

62. Niech A_n+1 =^Pbn/2c_k=0 ^n−k_k ^. Udowodnić, że dla n > 4 złożonych, A_n również jest liczba_, złożona_,.

63. Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c takich, że a + b + c = 1 zachodzi 6(ab + bc + ca) + a(b − c)²+ b(c − a)²+ c(a − b)² ¬ 2.

64. Wyznaczyć wszystkie takie pary rozła_,cznych niepustych zbiorów A i B, że ich suma (mnogościowa) jest zbiorem liczb całkowitych nieujemnych oraz zachodza_,jednocześnie naste_,puja_,ce warunki:

(i) suma dwóch liczb należa_,cych do jednego zbioru należy zawsze do A;

(ii) suma dwóch liczb należa_,cych do różnych zbiorów należy zawsze do B.

65. Dane jest m monet, z których wszystkie waża_,tyle samo oprócz jednej, której masa jest inna. Wyznaczyć najwie_,ksze m takie, że podróbke_, da sie_, znaleźć w co najwyżej n ważeniach na wadze szalkowej bez odważników, jeśli

(a) wiadomo, czy moneta fałszywa jest cie_,ższa czy lżejsza od pozostałych.

(b) nie wiadomo, czy moneta fałszywa jest cie_,ższa, czy lżejsza od pozostałych.

66. Wykazać, że w rozwinie_,ciu √

2 w systemie dziesie_,tnym na miejscach od miliardowego do trzymiliardowego po przecinku wła_,cznie istnieje pewna niezerowa cyfra.

67. W okre_,gu o środku O cie_,ciwy AC i BD, z których żadna nie jest średnica_,, sa_,prostopadłe i przecinaja_, sie_, w punkcie M . Punkty K i N sa_, środkami odpowiednio odcinków AD i BC.

Wykaż, że czworoka_,t KM N O jest równoległobokiem.

68. Wykazać, że każda_, liczbe_, całkowita_, n > 3 daje sie_, przedstawić jako sume_, różnych wyrazów cia_,gu Fibonacciego tak, by w tej sumie nie wyste_,powały dwa kolejne wyrazy cia_,gu Fibonacciego.

69. W równoległoboku ABCD punkt M należy do przeka_,tnej BD, punkt K do boku CD, a punkt N do boku BC, przy czym KM kBC i MNkAB. Punkty E i F to odpowiednio punkty przecie_,cia prostych AN i AK z przeka_,tna_, BD. Wykazać, że pole trójka_,ta AEF jest równe sumie pól trójka_,tów DKF i EN B.

610. Znaleźć rozwia_,zania w liczbach naturalnych m, n równania:

m²n+ 1 = m²+ 2mn + 2m + n.

611. Niech (a1, a2, a3, . . . , a2000) be_,dzie permutacja_,zbioru liczb {1, 2, 3, . . . , 2000}. Udowod- nić, że istnieja_, różne liczby k, l ∈ {1, 2, 3, . . . , 2000} takie, że

2000 | (a^k+ k) − (a^l+ l).

Mecz matematyczny

grupa starsza piatek, 26 września 2003

69. W równoległoboku ABCD punkt M należy do przeka_,tnej BD, punkt K do boku CD, a punkt N do boku BC, przy czym KM kBC i MNkAB. Punkty E i F to odpowiednio punkty przecie_,cia prostych AN i AK z przeka_,tna_, BD. Wykazać, że pole trójka_,ta AEF jest równe sumie pól trójka_,tów DKF i EN B.

610. Znaleźć rozwia_,zania w liczbach naturalnych m, n układu równań:

m²n+ 1 = m²+ 2mn + 2m + n.

611. Niech (a1, a2, a3, . . . , a2000) be_,dzie permutacja_,zbioru liczb {1, 2, 3, . . . , 2000}. Udowod- nić, że istnieja_, różne liczby k, l ∈ {1, 2, 3, . . . , 2000} takie, że

2000 | (a^k+ k) − (a^l+ l).

612. Wykazać, że dla dowolnej liczby całkowitej n ­ 2 zachodzi równość:

n 0

! n bⁿ2c

!

+ 2 n 1

! n− 1 bⁿ⁻¹2 c

!

+ 2² n 2

! n− 2 bⁿ⁻²2 c

!

+ . . . + 2ⁿ⁻¹ n n− 1

! 1 b¹2c

!

+ 2ⁿ = 2n + 1 n

!

.

613. Udowodnić, że każdy trójka_,t pitagorejski o przyprostoka_,tnych, których długości boków sa_,kolejnymi liczbami naturalnymi, ma boki postaci f^k(3, 4, 5), gdzie f jest funkcja_,zdefiniowana_, nastepuja_,co: f (x, x + 1, z) = (3x + 2z + 1, 3x + 2z + 2, 4x + 3z + 2), zaś f^k, gdzie k ∈ N, oznacza k-krotne złożenie f .

614. Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich x, y, z takich, że x + y + z = 3, zachodzi nierówność:

√x+√y+√

z ­ xy + yz + zx.

615. Niech punkt O be_,dzie środkiem okre_,gu ω. Przystaja_,ce cie_,ciwy AB i CD okre_,gu ω przecinaja_, sie_, w punkcie L i |AL| > |LB| oraz |CL| < |LD|. Niech M i N be,da_, punktami odpowienio na odcinkach AL i DL takimi, że |]ALC| = 2|]MON|. Udowodnić, że cie,ciwa okre_,gu ω przechodza_,ca przez punkty M i N jest przystaja_,ca do cie_,ciw AB i CD.

616. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x1, x2, . . . , x_n, dla których zachodzi x1x2. . . x_n = 1 prawdziwa jest nierówność:

1

n− 1 + x¹ + 1

n− 1 + x² + . . . + 1

n− 1 + xn ¬ 1.

617. Znaleźć wszystkie rozwia_,zania w liczbach całkowitych (x, y, z) układu równań:











2x³− 7x²+ 8x − 2 = y 2y³− 7y²+ 8y − 2 = z 2z³− 7z²+ 8z − 2 = x

618. W równoległościanie ABCDA⁰B⁰C⁰D⁰ na krawe_,dziach AB, BC, CD i DA obrano od- powiednio punkty K, L, M , N . Wykazać, że środki sfer opisanych na czworościanach A⁰AN K, B⁰BKL, C⁰CLM, D⁰DM N tworza_, równoległobok.

619. Pewien duży trójka_,t o wierzchołkach V1, V2, V3 striangulowano, tzn. podzielono na skończenie wiele trójka_,tów, z których sa_,siednie przylegaja_,do siebie całym bokiem lub dotykaja_, wierzchołkami.

Wierzchołkom triangulacji przypisujemy kolory ze zbioru {1, 2, 3} w taki sposób, że Vⁱ do- staje kolor i. Do kolorowania wierzchołków na boku VjV_k (j 6= k) używamy wyła,cznie kolorów j oraz k, zaś wierzchołki wewna_,trz dużego trójka_,ta kolorujemy dowolnie.

Udowodnić, że w triangulacji istnieje mały trójkolorowy trójka_,t.