4 a ∙ 1 q =− =− =− =− 1 ∆ 44 44 2 a 2 ∙ 1 p =− =−(− = = 2 b 42 4 )

(1)

Temat: Równania kwadratowe z wartością bezwzględną i parametrem.

Polecam filmik https://www.youtube.com/watch?v=8kLkPQrkstk

Zad.2.310/98

Zbadaj liczbę rozwiązań równania ze względu na wartosć parametru m (m ϵ R ) a) |x²-4x+3|=m

b) |3+2x-x²|=m c) |

1

2

^x²^+3x+5

1 2

^|=m d) |-4x²+4x-1|=m

Rozwiazanie:

a) |x²-4x+3|=m

Aby rozwiązać takie równanie, posłużymy się wykresem jego lewej strony jak i wykresem prawej strony (i porównamy je).

Zajmijmy się najpierw lewą stroną równania.

Oznaczmy ją jako f(x)= |x²-4x+3|.

Funkcję mieszczącą się w środku wartości bezwzględnej oznaczmy jako g(x)= x²-4x+3 Żeby narysować wykres funkcji f(x) najpierw rysujemy wykres funkcji g(x) –

odpowiednio ją później przekształcając.

Zatem:

g(x)= x²-4x+3 a=1, b= -4, c=3

∆=b²

−4 ∙ a ∙ c=(−4)

²

−4 ∙ 1∙ 3=16−12=4

p=

−b

2 a = −(−4 ) 2∙ 1 = 4

2 =2

q=

−∆

4 a = − 4 4 ∙ 1 = −4

4 =−1

Zatem W(2, -1)

Liczymy miejsca zerowe funkcji g(x). Są dwa miejsca zerowe, ponieważ ∆ >0.

x₁

= −

b−

√

^∆

2a = −(−4)− √ ⁴

2 ∙1 = 4−2 2 = 2

2 =1

x₂

= −

b+

√

∆

2 a = −(−4)+ √ ⁴

2 ∙1 = 4 +2 2 = 6

2 =3

Liczymy współrzędne punktu przecięcia się wykresu z osią OY. (każdy punkt przecięcia się wykresu funkcji z osią OY ma współrzędne (0,y) –czyli za „x”

podkładamy do wzory funkcji zero ) g(x)= x²-4x+3

g(0)= 0²-4∙0+3= 0-0+3=3

Punkt przecięcia się wykresu funkcji g(x) z osią OY ma współrzędne (0, 3) Rysujemy wykres funkcji g(x), a następnie – żeby narysować wykres funkcji f(x) odbijamy dolną część wykresu g(x) do góry:

(2)

No dobrze, ale przecież mamy rozwiązać równanie |x²-4x+3|=m

Lewą stronę równania mamy narysowaną (czerwony wykres). Jak będzie wyglądać wykres prawej strony równańa? m jest parametrem, czyli jakąś liczbą. Jeśli mamy narysować wykres funkcji y=m, to będzie to funkcja liniowa stała, która przecina oś y w miejscu równym m. Zobaczcie kilka przykładów:

Liczba rozwiązań równania |x²-4x+3|=m to ilosć punktów wspólnych wykresu f(x) – u nas czerwonego, z wykresem y=m - u nas niebieskiego.

a)jeśli m=1, to równanie |x²-4x+3|=m ma trzy rozwiązanie

b)jeśli m ϵ (-, 0), to równanie nie ma rozwiązań

c) jeśli m ϵ (1, +)U{0} , to równanie będzie miało dwa rozwiązania d)jeśli m ϵ (0, 1), to równanie będzie miało cztery rozwiązania