Eck eh a rd Pf ei fe r Drezno
O rozwinięciach asymptotycznych błędów globalnych
(Praca wpłynęła do Redakcji 1988.02.11)
W rozmaitych zadaniach matematyki numerycznej trzeba wiedzieć, czy istnieją rozwinięcia asymptotyczne błędu globalnego, aby można było za- stosować poprawki w rodzaju ekstrapolacji Richardsona. Twierdzenia o roz- winięciach asymptotycznych można znaleźć w różnych podręcznikach pod- stawowych, jak np. [1] lub [2]. Przedstawiamy tutaj wyniki, które w ciekawy sposób wiążą elementy analizy funkcjonalnej z potrzebami analizy numerycz- nej. Ograniczenia na równania splotowe są naturalne.
Rozpatrujemy równanie różniczkowe cząstkowe liniowe ze współczyn- nikami stałymi
(1) P(D)u(x) = f(x ), x e Q c z R n.
z ewentualnymi warunkami brzegowymi. Symbol P oznacza tu wielomian stopnia m zmiennej zeC",
P {z)= Z aaz“’ a = (« !,..., a„), |a| = aŁ+ . . . +a„, za = z\'. . . z“",
|a|$iw >
a D jest operatorem różniczkowym, D = Dn), Dj — d/dxj. Będziemy rozpatrywać (1) jako zadanie w przestrzeni Funkcji uogólnionych D'(Rn) (pojęcia i oznaczenia czytelnik znajdzie w [3]). Zamiast (1) zbadamy równanie różnicowe
(2) P(8)uh(x) = f(x ), x e R n,
gdzie h = (hl,...,h n), d = dn), (dju){x) = {u{x + h fj)-u {x))lh p a ej jest j-tym wersorem w przestrzeni Rn. Zwróćmy uwagę na to, że przesunięcie
dystrybucji u określone jest tożsamością
(w(• + hj ej), (p) = (u, (p(- - hj ej)) V ę e D (Rn).
Do badania równania (1) przydatne jest rozwiązanie podstawowe E, speł- niające (1) z delta-dystrybucją ó po prawej stronie, tj. P(D)E = ó. Analogicznie można wprowadzić rozwiązanie podstawowe Eh równania (2), spełniające
7 — Matematyka Stosowana XXXII [97]
P(d)Eh = 3. Konstrukcja zgodnych rozwiązań podstawowych obu równań została omówiona w [4].
Stosując transformację Fouriera F, zdefiniowaną wzorem (F(p)(t)= J el{t,x)(p(x)dx
Rn dla (peD(Rn) oraz tożsamością
V ę e D(Rn) (Fu, F ę) = (2n)n(u, ę) dla ueD '(Rn), dojdziemy do związków
(3) P( — it)FE = 1 oraz Ph( — it)FEh = 1,
gdzie Ph( — it) = P(s% sh = s„), Sj = Sj(-itj) = (e~ihitj-\ )/hj,j = 1 ,..., n.
Lem a t 1. Różnica E — Eh ma przy odpowiednim doborze rozwiązań pod- stawowych rozwinięcie asymptotyczne według potęg parametru h.
D owód. Uwzględniając (3), mamy
0 = PhF E h — PFE = PhF E h- P hFE + PhF E -P F E . Stąd Ph(FEh- F E ) = ( P - P h)FE, czyli
P(d)(Eh- E ) = F - 'd P - P ^ F E ) = F ~ 1(P — Ph)*E.
Jeżeli istnieje splot E h — E z Eh, to otrzymujemy
(4) Eh- E = E ^ iF -H P -P ^ ^ E ).
Dalej, dla każdej liczby całkowitej M
P ( - i t ) - P h( - i t ) = £ aa(( - i t y - ( s hr ) = X bfih' + 0(h?), \y\>M + 1,
|«Km |/J|=SM
przy czym bp są pewnymi wielomianami zmiennej —it, niezależnymi od h.
Ponieważ F ~ 1(( — it)a) = D<x3, stwierdzamy, że
F ~ 1(P (- it ) - P k(- it ) )= X +
\P\<M
gdzie Bp(3) są kombinacjami liniowymi pewnych pochodnych delta-dystrybu- cji. Z (4) wynika teraz istnienie rozwinięcia Eh i Eh — E według potęg h.
Tw ie r d z e n ie 1. Jeśli istnieją sploty E * f i Eh*f, to różnica uh — u rozwiązań zadań (1), (2) posiada rozwinięcie asymptotyczne według potęg parametru h.
Dowód. Ponieważ u = E * f i uh = Eh* f są rozwiązaniami odpowiednich zadań, mamy
uh- u = {Eh- E ) * f
i na podstawie lematu 1 otrzymujemy żądany wynik.
U w aga 1. Ograniczyliśmy się do najprostszych przybliżeń różnicowych, ponieważ w tym przypadku istnienie rozwiązań Eh, które dążą do E przy h -> 0, zostało udowodnione w sposób konstruktywny w [4]. Konstrukcja takich rozwiązań podstawowych w przypadku dowolnych operatorów różnicowych jest skomplikowana ze względu na trudności techniczne i należy ją przep-
rowadzać w każdym przypadku z osobna.
U w aga 2. Nie ma sensu mówić o zbieżności występujących powyżej szeregów zmiennej h, ponieważ nie ma wzoru Taylora w przestrzeni D'(Rn) (por. [2]).
Pr z y k ł a d 1. Pokażemy istnienie rozwinięcia asymptotycznego dla wzoru trapezów. Chociaż jest to sprawą dość znaną, przykład ilustruje w ładny sposób działanie aparatu technicznego. Nie korzystamy tutaj z wielomianów Bernoullego, jak to zrobiono np. w [5]. Za to wyniki są trochę słabsze, ponieważ nie otrzymujemy jawnego kształtu samego rozwinięcia.
Rozpatrujemy zadanie
(5) u' = f , f(x ) = (g(x) + g( 1 - x))/2, supp g c <0,1 >, «(0) = 0.
Wiadomo, że E(x) = 0{x), gdzie 6 jest funkcją Heaviside’a, jest jednym z rozwiązań podstawowych. Załóżmy, że g jest funkcją ciągłą w <0,1). Mamy
00 j I 1
u(x) = (E * f)(x ) = j 6(y )f(x-y )d y = -($g{y)dy+ f g(y)dy),
- 0 0 Z 0 1 — x
' 1
a więc u(0) = 0 i u(l) = 1(g) — J g(y)dy.
Zamiast (5) rozpatrujemy równanie różnicowe0
(6) duh = /, 14^(0) = 0.
00
Można się łatwo przekonać, że Eh(x) = h £ S(x—jh) jest rozwiązaniem
j=1
podstawowym dla (6), że Eh-*E przy /i->0 i że splpt Eh*E istnieje w D'(R).
Dalej,
1 00 00
uh(x) = (Eh*f)(x) = ~ h (Y J g {x -jh )+ X 0(1 ~x+jhj).
z j= i j=i
Oczywiście, uh(0) = 0, i przyjmując Nh = 1, otrzymujemy uh{ 1) =trap(gr) = -U( £ g(jh)+ £ g{jh)).
1 j = o j= i
Ponieważ P( — it) = —it oraz Ph( — it) — (e~lht — \)/h, mamy P » ( - i t ) - P ( - i t ) = Z hk + 0(h M+1).
fc=l tK-t-lj!
a stąd
m h k
F~HPh- P ) = I ll— rr.Dk^ d + 0(hM+l).
fc= l ( k + 1 )'■
Uwzględniając wzory Dk + 1 S*E = Dk5 oraz DkS * f = f (k) mamy (7) (u -u *)(x) = ( ( £ -£ * )* /) (*) = (£ * » (F -1(Fk- /> )*£)*/) (x)
J oo M Kk + 1
= z Z X 77~ ~}T, (ff(fc)( * - M + ( ~ 1 )kg{k)(1 - X +jh)) + 0(hM +*).
Z j=lk=iv,c+ U-
Tw ie r d z e n ie 2. Ustalmy dowolną liczbę parzystą M. Załóżmy, że funkcja g ma M ciągłych pochodnych w przedziale <0,1) (na krańcach przedziału pochodne jednostronne). Wtedy różnica I(g) — trap(g) posiada rozwinięcie asym- totyczne według parzystych potęg parametru h.
D ow ód. Ponieważ 1(g) — trap(g) = (u -u h)( 1), mamy
1 M lJfc+1 N - l 1V
I(g)-tm p(g) = - £ ——— ( £ gw(jh) + ( - l ) k £ g{k)(jh)) + 0(hM + 1)
Z- k = l \ K ~'~ l)- j— 0 j= i
1 M l2 L2fc
M /2 fc
+ Z trap(óf(2fc)) + 0(hM + *).
fc= 1
U w aga 3. Powyższym sposobem można w zasadzie pokazać istnie- nie rozwinięć asymptotycznych dla wszelkich wzorów Newtona-Cotesa.
W tym celu należy dobrać odpowiednie wzory różnicowe dla równania (5).
Aby np. otrzymać wynik dla wzoru Simpsona, wystarczy zauważyć, że Simp(g) = (2trap(g) + vh), gdzie vh otrzymuje się z równania (vh(x + h) —
- v h(x-h))/(2h) = g(x).
Pr z y k ł a d. 2. W tym przykładzie zajmujemy się rozwiązaniem zagadnienia brzegowego
(8) u " - a2u = f x e Q = (0,1), w(0) = u(l) = 0.
Niech będzie Nh = 1. Rozwiązanie przybliżone znajdujemy z zadania 5<>uh—a2uk = f xeS2h = </i/2, l —h/2),
u‘ (x) = 0, x e r , = ( —h/2,h/2) u ( l — h/2, l+h/2),
gdzie przez d oznaczyliśmy operator różnicowy 0u )(x) = (u(x)—u(x—h))/h.
Mamy w tym przypadku
p ~ iht — j - \ - p iht
P( - it) = ( - it)2 — a2 oraz Ph( - it) = ---=--- a2,
- /r
co prowadzi do wzoru
m 2h2k
Ph( - i t ) - P ( - i t ) = f — — — ( ^2k + 2^ntU2M + 2^
v ' v ' k _ ! (2/c + 2)!-( — it)2k + 2 + 0(h 2M + 2).
Zatem
m 2h2k
F ~1(Ph- P ) = ^ ( 2 / c + 2)!
z
D2k + 2<5 + 0 ( /r M 2)Skonstruujemy teraz Eh. Wiadomo z [4], że rozwiązanie podstawowe można znaleźć w postaci
gdzie
Eh(x) = Z ckó(x — kh),
k = — oo
I. 27t/h g - i k h ( t + io)
Ck = ^ ~ J 271 o Ph{ — it + (j) ■■■ ( 7 < 0 - Podstawiając z = + otrzymujemy
= - ł0 'rr i v dz = fc2 ,-fc
2TT i |zj J eh<r z2 — (2 + a2 /r )z + 1 271 i |Z| i ehCT (z — Zi) (z — z2)-dz,
z12 = 1 + u2 h2/2±yj(\ + a 2 /i2/2) — 1.
Biorąc c = a(h) tak, żeby < |zj < |z2|, wnioskujemy stąd, że
k ^ 0, (zk z2), fc > 0.
Dla h -> 0 rozwiązania dążą do E, którego nośnik jest zawarty w przedziale
<0, oo). Zatem wszystkie żądane sploty istnieją i mamy
£ - £ ‘ = £ ^fc= 1 t^ £ * * £ <2I‘+2|+ 0 ( ^ m+2).
więc Eh i E — Eh posiadają rozwinięcia asymptotyczne. Dla wszystkich u e £ 2(Q) i (peD(R) prawdziwy jest wzór Greena
((M|gY - a2 W|ft, (p) = (u|fi, ę" - a 2 (p) =
=\((k" - a2 u\n, tp) + u(l) (p'(l) - u(0) (p'{0) - u'(l) <p(l) + u'(0) <p(0).
Jeżeli u jest rozwiązaniem zadania (8), otrzymamy stąd równość
u\q = $ *u\q = (E”- a 2E)*U\Q) = E*({ulQ)" - a 2 ulQ) = E * f + V (u)*E, V(u) = u'{0)5.
Podobnie dla rozwiązania zagadnienia (9) można wykazać dyskretny wzór Greena
(dd(uh\nh) - a 2uhlnh,ę ) = (uh]Qh,d d ę - a 2 ę)
• 1 — #i/2 j l + h / 2 _ h/2
=
J
f(p d x + - ( j uhd(pdx—J
uhd(pdxhl 2 h 1 —h/2 - h / 2
1 + h/2 h/2
— j &uhęd x-f j duhę d x ),
l - h / 2 - h / 2
a więc
' uh\oh = 8 * uh]S2n = Eh * (dd(uh]Qh) - a 2uhlQh) = Eh *f\Qh+ V h(uh) * E\
l h/2
(Vh(uh),(p) = -
J
duh(pdx." -h/2
Tw ie r d z e n ie 3. Jeżeli f jest funkcją dostatecznie gładką, to różnica u — uh rozwiązań zagadnień (8) i (9) ma rozwinięcie asymptotyczne względem potęg parametru h w węzłach Xj = jh, j = 1 , . . N — 1.
D o w ód. Uwzględniając równość
0 = (u- uh) (1) = ({E - Eh) * f) (1) - (Eh * Vh - E * V) (1)
i fakt, że E — Eh ma rozwinięcie asymptotyczne, stwierdzamy, że (Eh * Kfa)(l) ma rozwinięcie asymptotyczne. Znaczy to, że i Vh posiada takie rozwinięcie.
Ponieważ
(u-u*)(xj) = ( ( £ - £ ‘)» /)(x 7.) + ( ( F - F ‘)* £ )(x J) + (Kk.( £ - £ * ) ) ( x J), dowód został ukończony.
Literatura '
[1] Ch. Ś tetter, Analiz metodov diskretizacii dlja obyknovennych differencial’nych uravnenij, Mir, Moskva 1978.
[2] K. Bóhm er, Fehlerasymptotik von Diskretisierungsverfahren und ihre numerische Anwendung, Bericht 77/2 der Universitat Karlsruhe.
[3] Z. Szmydt, Transformacja Fouriera i równania różniczkowe liniowe, PWN, Warszawa 1972.
[4] E. Pfeifer, A. Rauhoft, Uber Grundlósungen von Differenzenoperatoren, Z. Anal. Anwend., Bd. 3(3) (1984), 227-236.
[5] A. R alsto n , Wstęp do analizy numerycznej, PWN, Warszawa 1983.
