Ekonometria, lista zadań nr 5
We wszystkich zadaniach zakładamy, że spełnione są założenia modelu liniowego Gaussa-Markowa.
1. W wyniku estymacji parametrów modelu liniowego postaci Yi = β0+ β1xi,1+ β2xi,2+ εi, gdzie i = 1, 2, . . . , 35, otrzymano następujące wyniki cząstkowe:
(X0X)−1 =
3 4 2 4 6 5 2 5 10
, X0Y =
70
−20
−20
, Y0Y = 9740.
Dokonaj punktowej estymacji prognozy zmiennej zależnej przy zmiennych niezależnych równych odpowiednio 0 i -1. Skonstruuj przedział ufności na poziomie ufności 0,9 dla prognozy oraz dla wartości oczekiwanej prognozy.
2. Koszy (w mln zł) i wielkość produkcji (w tys. sztuk) w firmie MIKA w ciągu ostatnich sześciu miesięcy przedstawiono poniższej tabeli:
Miesiąc: 1 2 3 4 5 6 Koszty: 3 6 5 5 8 3 Produkcja: 2 4 3 2 6 1
Dokonaj prognozy kosztów produkcji jako liniowej funkcji produkcji przy wielkości pro- dukcji równej 5 tys. sztuk. Wyznacz przedział ufności dla prognozowanych kosztów i dla wartości oczekiwanej prognozowanych kosztów na poziomie ufności 0,95.
3. W teorii eksperymentu model liniowy, w którym w macierzy planu występują tylko liczby -1, 0 i 1, nazywany jest chemicznym układem wagowym. W tabeli poniżej przedstawiono dane pomiarowe z takiego właśnie chemicznego układu wagowego.
i Yi xi,1 xi,2
1 1 1 0
2 2 0 1
3 4 0 0
4 3 0 -1
5 5 -1 1
6 6 1 -1
7 7 1 0
8 10 -1 1
9 -2 -1 -1
10 8 0 0
11 -3 -1 1
12 9 1 0
W oparciu o model liniowy postaci:
Yi = β0+ β1xi,1+ β2xi,2+ εi, i = 1, 2, . . . , 12,
dokonaj estymacji prognozy zmiennej Y (wraz z przedziałami ufności dla prognozy i dla wartości oczekiwanej prognozy na poziomie ufności 0,99) dla wszystkich możliwych układów wagowych zmiennych X1 i X2.
4. Rozważamy model liniowy:
Yi = β0+ β1xi+ εi, i = 1, 2, . . . , 16.
Po oszacowaniu parametrów metodą najmniejszych kwadratów na podstawie pewnego zbioru danych obliczono współczynnik determinacji równy 0,86. Dodatkowo wiemy, że dla tego zbioru danych mamy x10 = ¯x i P(xi − ¯x)2 = 25. Skonstruowano też przedział ufności na poziomie ufności 0,95 dla wartości oczekiwanej prognozy zmiennej zależnej w punkcie x10. Jego długość wynosi 1,0724. Oblicz ˆβ1 i nieobciążony estymator wariancji ˆβ1. 5. Dane dotyczą ubezpieczeń samochodowych w Szwecji: X oznacza liczbę roszczeń a Y – całkowitą wypłatę ze wszystkich roszczeń w tys. koron szwedzkich dla różnych obszarów na terytorium Szwecji (http://college.cengage.com/mathematics/brase/understandable _statistics/7e/students/datasets/slr/frames/slr06.html). Dokonaj estymacji pro- gnozy całkowitej wypłaty jako funkcji liniowej liczby roszczeń dla liczby roszczeń między 0 i 125. Wyznacz przedział ufności na poziomie ufności 0,99 dla prognozy i dla wartości oczekiwanej prognozy. Wszystkie wyniki przedstaw na wykresie.
6. Dane przedstawiają tzw. krzywą Keelinga – średnie roczne stężenia dwutlenku węgla w atmosferze w obserwatorium na szczycie wulkanu Mauna Loa w archipelagu Hawaje (http://www.esrl.noaa.gov/gmd/ccgg/trends/). Dopasuj do danych następujący mo- del liniowy:
CCO2 = β0+ β1· r + β2· r2+ ε,
gdzie CCO2 oznacza średnie roczne (w sensie średnich arytmetycznych dla poszczególnych miesięcy) stężenie dwutlenku węgla a r – rok. Dokonaj punktowej estymacji prognozy stężenia dwutlenku węgla na kolejne 30 lat i przedstaw tę estymację prognozy na wykresie.
Wyznacz także przedział ufności na poziomie 0,9 dla prognozy i dla wartości oczekiwanej prognozy. Przedstaw wyniki obliczeń na wykresie. Porównaj długości tych przedziałów na 10 i 30 lat w przyszłość.
