Udowodni´c, ˙ze je˙zeli zmienna losowa X ma rozk lad Studenta t(n), to zmienna losowa Y = (1 + X2/n)−1 ma rozk lad beta B(n/2, 1/2)

Zadania ze statystyki matematycznej (Statystyka B) Rok akad. 2009/10, lista nr 2

1. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli zmienna losowa X ma rozk lad Studenta t(n), to zmienna losowa Y = (1 + X²/n)⁻¹ ma rozk lad beta B(n/2, 1/2).

2. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli X i Y sa

‘niezale˙znymi zmiennymi losowymi o rozk ladzie jednostajnym U(0, 1), to

V =p

−2 log X cos(2πY ), W =p

−2 log X sin(2πY ) sa‘niezale˙znymi zmiennymi losowymi o rozk ladach normalnych N(0, 1).

3. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli X i Y sa

‘niezale˙znymi zmiennymi losowymi o rozk ladzie normalnym N(0, 1), to zmienne losowe

V = X²+ Y², W = arcsin(X/√

X²+ Y²)

sa‘niezale˙zne; V ma rozk lad wyk ladniczy Ex(2), a W ma rozk lad jednostajny U(−π/2, π/2).

4. Niech A₁, A₂, . . . , A_r be

‘da

‘ parami roz la

‘cznymi zbiorami otwartymi w Rⁿ takimi, ˙ze P (X ∈S_r

i=1A_i) = 1 i niech g :S_r

i=1A_i → Rⁿ be

‘dzie funkcja

‘o naste

‘puja

‘cych w lasno´sciach:

a) g ma cia

‘g le pierwsze pochodne cza

‘stkowe w A_i dla ka˙zdego i;

b) g jest wzajemnie jednoznaczna na ka˙zdym zbiorze A_i; c) jakobian przekszta lcenia g nie zeruje sie

‘ na ˙zadnym A_i. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli f_X jest ge

‘sto´scia

‘wektora losowego X, to wektor losowy Y = g(X) ma ge‘sto´s´c postaci

fY(y) = Xr

i=1

fX g⁻¹_i (y)

|Jθi g_i⁻¹(y)

|⁻¹Ii(y) y ∈ g [r i=1

Ai

! ,

gdzie g_i oznacza obcie

‘cie przekszta lcenia g na zbiorze A_i, J_gi oznacza jakobian przekszta lcenia g_i, a I_i(y) jest indykatorem zbioru g(A_i). (Je˙zeli I_i(y) = 0, to ca ly sk ladnik jest r´owny zero, nawet w przypadku, gdy przekszta lcenie g⁻¹_i nie jest okre´slone.)

(Wskaz´owka. P[g(X) ∈ B] =P_r

i=1P[g(X) ∈ B, X ∈ A_i].)

5. Udowodni´c, ˙ze macierz kowariancji Σ wektora losowego X jest nieujemnie okre´slona.

6. Udowodni´c twierdzenie: Je˙zeli macierz Σ jest macierza

‘ kowariancji n-wymiarowego wektora losowego X, a C jest macierza

‘ sta la

‘ r × n, to CΣC^‘ jest macierza

‘ kowariancji r−wymiarowego wektora losowego Y = CX.

7. Udowodni´c twierdzenie: Je˙zeli wektory losowe tego samego wymiaru X i Y sa

‘ stochastycznie niezale˙zne, a Σ i Λ sa

‘ odpowiednio ich macierzami kowariancji, to macierza

‘ kowariancji wektora X + Y jest macierz Σ + Λ.

8. Niech X = (X₁, X₂)⁰ be

‘dzie wektorem losowym o warto´sci oczekiwanej m = (m₁, m₂)⁰ i macierzy kowariancji Σ = (σ_ij). Prosta

‘o r´ownaniu x₁− m₁ = σ₁₂

σ22

(x₂− m₂) nazywamy prosta

‘ regresji zmiennej losowej X₁ wzgle

‘dem zmiennej losowej X₂. Liczbe

‘ β₁₂ = σ₁₂/σ₂₂nazywamy wsp´o lczynnikiem regresji zmiennej X₁wzgle

‘dem zmiennej X₂. Podobnie okre´sla sie‘ prosta

‘regresji i wsp´o lczynnik regresji zmiennej X₂ wzgle

‘dem X₁. Liczba ρ₁₂ = σ₁₂/√ σ₁₁σ₂₂ jest wsp´o lczynnikiem korelacji zmiennych X₁ i X₂.

a) Udowodni´c, ˙ze proste regresji zmiennej X₁ wzgle

‘dem X₂ i zmiennej X₂wzgle

‘dem X₁pokrywaja sie ‘

‘ wtedy i tylko wtedy ρ²₁₂ = 1, natomiast proste te sa

‘prostopad le, gdy ρ₁₂= 0.

b) Udowodni´c, ˙ze zmienne X₂− m₂ i X₁− m₁− β₁₂(X₂− m₂) sa

‘nieskorelowane.

c) Udowodni´c, ˙ze prosta regresji zmiennej X₁ wzgle

‘dem zmiennej X₂ pokrywa sie

‘ z prosta

‘x₁ = αx₂+ β, kt´orej wsp´o lczynniki α i β minimalizuja

‘warto´s´c oczekiwana

‘E{[X₁− (αX₂+ β)]²}.

d) Liczbe

‘ σ_1:2² = min_α,βE[X₁− (αX₂+ β)]² nazywamy wariancja

‘ resztowa

‘ zmiennej losowej X₁ wzgle

‘dem zmiennej X₂. Udowodni´c, ˙ze σ²_1:2 = |Σ|/σ²₂₂ oraz σ_1:2² = σ₁₁(1 − ρ²₁₂).

9. Niech F be

‘dzie dystrybuanta

‘pewnej zmiennej losowej X, a F⁻¹ funkcja

‘odwrotna

‘do niej, tzn. F⁻¹(u) = inf{x : F (x) ≥ u}, u ∈ (0, 1). Udowodni´c, ˙ze

a) F (x) ≥ t ⇐⇒ F⁻¹(t) ≤ x;

b) F (x) < t ⇐⇒ F⁻¹(t) > x;

c) F (x₁) < t ≤ F (x₂) ⇐⇒ x₁ < F⁻¹(t) ≤ x₂;

d) F (F⁻¹(t)) ≥ t, przy czym r´owno´s´c nie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy t nie nale˙zy do zbioru warto´sci funkcji F , okre´slonej na [−∞, +∞];

e) F⁻¹(F (x)) ≤ x, x ∈ R, przy czym r´owno´s´c nie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy F (x − ε) = F (x) dla pewnego ε > 0 ;

f) P [F (X) ≤ t] ≤ t, t ∈ [0, 1], przy czym r´owno´s´c nie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy t nie nale˙zy do domknie

‘cia zbioru warto´sci F .

10. Niech F i G be‘da‘dystrybuantami n−wymiarowych wektor´ow losowych X i Y odpowied- nio. Je˙zeli F (x) = G(x) dla ka˙zdego x ∈ Rⁿ, to m´owimy, ˙ze wektory losowe X i Y sa

‘stochasty- cznie r´owne, co oznaczamy przez X =^st Y.

Niech FX be‘dzie cia‘g la‘dystrybuanta‘zmiennej losowej X, GY dystrybuanta‘zmiennej losowej Y , a U zmienna

‘losowa

‘o rozk ladzie jednostajnym na odcinku (0, 1), tzn. P (U ≤ u) = u, u ∈ (0, 1). Udowodni´c, ˙ze: a) U =^st F_X(X); b) Y =^st G⁻¹_Y (U), gdzie G⁻¹_Y jest funkcja

‘odwrotna

‘do dystrybuanty GY.

11. Udowodni´c naste

‘puja

‘ce twierdzenie Scheff´ego:

Niech X₁, X₂, . . . i X be

‘da

‘zmiennymi losowymi o rozk ladach absolutnie cia

‘g lych wzgle

‘dem miary Lebesgue’a, a f1, f2, . . . i fX oznaczaja‘odpowiednio ich ge‘sto´sci. W´owczas je˙zeli fn → fX p.w., to X_n→^D X.

12. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli {X_n} jest cia

‘giem zmiennych losowych o rozk ladach dwumianowych odpowiednio b(n, pn) oraz npn→ λ > 0, gdy n → ∞, to Xn →^D X, gdzie X jest zmienna‘losowa‘ o rozk ladzie Poissona π(λ).

13. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli {X_n} jest cia

‘giem zmiennych losowych o rozk ladach hipergeome- trycznych odpowiednio H(r, n, M ) i n/M → p > 0, gdy n → ∞ i M → ∞, to Xn →^D X, gdzie X jest zmienna

‘losowa

‘o rozk ladzie dwumianowym b(r, p).

14. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli {X_n} jest cia

‘giem zmiennych losowych o rozk ladach ujemnych dwu- mianowych nb(n, pn) odpowiednio oraz npn(1 − pn)⁻¹ → λ > 0, gdy n → ∞, to Xn→^D X, gdzie X jest zmienna

‘losowa

‘o rozk ladzie Poissona π(λ).

15. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli cia

‘g zmiennych losowych {X_n} jest asymptotycznie normalny N(a_n, b²_n), to r´ownie˙z {Xn} jest asymptotycznie normalny N(αn, β_n²) wtedy i tylko wtedy, gdy βn/bn → 1 oraz (α_n− a_n)/b_n→ 0.

16. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli cia

‘g zmiennych losowych {X_n} jest asymptotycznie normalny N(a_n, b²_n), to r´ownie˙z cia‘g {αnXn+ βn} jest asymptotycznie normalny N(an, b²_n) wtedy i tylko wtedy, gdy α_n→ 1 i [a_n(α_n− 1) + β_n]/b_n → 0.

17. Niech {X_n} be

‘dzie cia

‘giem zmiennych losowych asymptotycznie normalnym N(m, σ²_n).

Pokaza´c, ˙ze Xn →^P m wtedy i tylko wtedy, gdy σn → 0 przy n → ∞.

18. Niech {X_n} be

‘dzie cia

‘giem zmiennych losowych asymptotycznie normalnym N(m, σ²/n) i niech {Y_n} be

‘dzie cia

‘giem asymptotycznie normalnym N(c, v/n), c 6= 0, v > 0, oraz niech Z_n =

√n(Xn− m)/Yn. Udowodni´c, ˙ze cia‘g {Zn} jest asymptotycznie normalny N(0, σ²/c²).

19. Udowodni´c, ˙ze cia

‘g {X_n} zmiennych losowych o rozk ladach odpowiednio χ²(n) jest asymp- totycznie normalny N(n, 2n).

20. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli zmienne losowe Xnmaja‘odpowiednio rozk lady χ²(n), to cia‘g {√ 2Xn} jest asymptotycznie normalny N(√

2n, 1).

21. Udowodni´c, ˙ze cia

‘g {T_n} zmiennych losowych o rozk ladach Studenta t(n) odpowiednio, jest asymptotycznie normalny N(0, 1).

St09-10-lista2.tex

6.10.2010 r. J. Bartoszewicz