1. Rozkłady zmiennych losowych

Seminarium dyplomowe (3 mie, 2014/2015)

1. Rozkłady zmiennych losowych

Zad. 1.1 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie z ciągłą i ściśle rosnącą dystrybuantą F . Pokazać, że zmienna losowa Y = F (X) ma rozkład jednostajny U (0, 1).

Zad. 1.2 Niech U będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U (0, 1) i niech F będzie dystrybuantą pewnego rozkładu. Oznaczmy

F⁻¹(t) = inf{x ∈ R; F (x) ­ t}, 0 < t < 1.

Pokazać, że zmienna losowa Y = F⁻¹(U ) ma rozkład o dystrybuancie F .

Zad. 1.3 Niech U będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U (0, 1). Pokazać, że zmien- ne losowe

Y = −λ ln(1 − U ), Z = −λ ln(U ), λ > 0, mają rozkład wykładniczy E (_λ¹).

Zad. 1.4 Wykazać, że jeżeli zmienna losowa U ma rozkład jednostajny U (0, 1), to zmienna losowa X = x₀U^−1/α, x₀, α > 0, ma rozkład Pareto Pa(x₀, α).

Zad. 1.5 Wykazać, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy E (λ), to zmienna losowa Y = X^1/α, α > 0, ma rozkład Weibulla We(α, λ^−1/α).

Zad. 1.6 Wykazać, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład Pareto Pa(x₀, α), to zmienna lo- sowa 1/X ma rozkład potęgowy Po(1/x0, α), a zmienna losowa ln(X/x₀) ma rozkład wykładniczy E (α).

Zad. 1.7 Niech X = (X₁, . . . , X_k) będzie próbą prostą i niech Y = ^Pk

i=1

X_i. Udowodnić nastę- pujące stwierdzenia.

(a) Jeżeli X_i, i = 1, . . . , k, mają rozkład dwumianowy B(n_i, p), to Y ma rozkład dwu- mianowy B ^Pk

i=1

n_i, p

!

.

(b) Jeżeli X_i, i = 1, . . . , k, mają rozkład Poissona P(λ_i), to Y ma rozkład Poissona P ^Pk

i=1

λ_i

!

.

(c) Jeżeli Xi, i = 1, . . . , k, mają rozkład wykładniczy E (λ), to Y ma rozkład gamma G (k, λ).

(d) Jeżeli X_i, i = 1, . . . , k, mają rozkład Cauchy’ego C(α_i, λ_i), to Y ma rozkład Cau- chy’ego C ^Pk

i=1

α_i,^Pk

i=1

λ_i

!

.

Zad. 1.8 Udowodnić, że jeżeli zmienne losowe X₁, . . . , X_n są niezależne o jednakowym rozkła- dzie wykładniczym E (λ), to zmienna losowa T (X) = 2λ^Pn

i=1

X_i ma rozkład χ²(2n).

1