Rachunek prawdopodobie´ nstwa i statystyka matematyczna 12. Estymator najwi¸ ekszej wiarogodno´ sci
Cw. 12.1 Niech X´ 1, . . . , Xnbedzie pr´ob¸a losow¸a prost¸a z rozk ladu geometrycznego G(p), p ∈ (0, 1). Wyznacz estymator najwi¸ekszej wiarogodno´sci parametru
(a) p, (b) θ =√
p.
Cw. 12.2 Niech X´ 1, . . . , Xn bedzie pr´ob¸a losow¸a prost¸a z rozk ladu Weibulla W e(2, β) o g¸esto´sci
f (x) = 2β−2xe−(x/β)21(0,∞)(x), β > 0.
Wyznacz estymator najwi¸ekszej wiarogodno´sci parametru β.
Cw. 12.3 Niech X´ 1, . . . , Xn bedzie pr´ob¸a losow¸a prost¸a z rozk ladu o g¸esto´sci
f (x) = αx−21[α,∞)(x), α > 0.
Wyznacz estymator najwi¸ekszej wiarogodno´sci parametru α.
Cw. 12.4 Niech X´ 1, . . . , Xnbedzie pr´ob¸a losow¸a prost¸a z rozk ladu jednostajnego U (θ, θ+
1), θ ∈ R. Wyznacz estymator najwi¸ekszej wiarogodno´sci parametru θ.
Cw. 12.5 Niech X´ 1, . . . , Xnbedzie pr´ob¸a losow¸a prost¸a z rozk ladu wyk ladniczego E(a, λ) o g¸esto´sci
f (x) = λe−λ(x−a)1(a,∞)(x), a ∈ R, λ > 0.
Wyznacz estymator najwi¸ekszej wiarogodno´sci parametru θ = (a, λ).
Cw. 12.6 Niech X´ 1, . . . , Xnbedzie pr´ob¸a losow¸a prost¸a z rozk ladu jednostajnego U [a, b].
Wyznacz estymator najwi¸ekszej wiarogodno´sci parametru θ = (a, b) ∈ {(x, y) ∈ R2 : x < y}.
