Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną.

Temat: Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną.

Wiemy już, że rozwiązaniem równania: |𝑥| = 5 jest liczba x=5 lub x=-5.

Własność:

|𝑥| = 𝑝 𝑡𝑜 𝑥 = 𝑝 𝑙𝑢𝑏 𝑥 = −𝑝

Rozbudujmy ten zapis trochę, dodajmy coś do zmiennej x:

a) |𝑥 − 6| = 5 rozwiązując postępujemy podobnie 𝑥 − 6 = 5 𝑙𝑢𝑏 𝑥 − 6 = −5

𝑥 = 11 𝑙𝑢𝑏 𝑥 = 1 mamy dwa rozwiązania

b) |𝑥 + 8| = 2 rozwiązując postępujemy podobnie 𝑥 + 8 = 2 𝑙𝑢𝑏 𝑥 + 8 = −2

𝑥 = −6 𝑙𝑢𝑏 𝑥 = −10 mamy dwa rozwiązania

c) |𝑥 + 3| = 0 𝑥 + 3 = 0

𝑥 = −3 mamy jedno rozwiązanie

d) |𝑥 + 4| = −5 równanie sprzeczne,

𝑥 𝜖 ∅ wartość bezwzględna nie może być Ujemna

!!! Rozwiąż samodzielnie ćw. 1 str. 90

Teraz zajmiemy się równaniami typu: |𝑥 − 2| + 4 = |4𝑥 − 8|

Należy zauważyć, że 4𝑥 − 8 = 4(𝑥 − 2)

Nasze równanie można zapisać: |𝑥 − 2| + 4 = |4(𝑥 − 2)|

Korzystamy z własności, że |𝑎 ∙ 𝑎| = |𝑎| ∙ |𝑏|: |𝑥 − 2| + 4 = |4| ∙ |𝑥 − 2|

Ponieważ, |4| = 4, mamy: |𝑥 − 2| + 4 = 4|𝑥 − 2|

Porządkujemy, równanie: |𝑥 − 2| − 4|𝑥 − 2| = −4 −3|𝑥 − 2| = −4 /: (-3) |𝑥 − 2| = ⁴₃

𝑥 − 2 = ⁴

3 𝑙𝑢𝑏 𝑥 − 2 = −⁴

3

𝑥 = 3¹

3 𝑙𝑢𝑏 𝑥 =²

3 mamy dwa rozwiązania

Podobnie: |5𝑥 − 15| − 8 = |𝑥 − 3|

Należy zauważyć, że 5𝑥 − 15 = 5(𝑥 − 3)

Nasze równanie można zapisać: |5(𝑥 − 3)| − 8 = |𝑥 − 3|

Korzystamy z własności, że |𝑎 ∙ 𝑎| = |𝑎| ∙ |𝑏|: |5| ∙ |𝑥 − 3| − 8 = |𝑥 − 3|

Ponieważ, |4| = 4, mamy: 5 |𝑥 − 3| − 8 = |𝑥 − 3|

5 |𝑥 − 3| − |𝑥 − 3| = 8 4 |𝑥 − 3| = 8 /: 4 |𝑥 − 3| = 2

𝑥 − 3 = 2 𝑙𝑢𝑏 𝑥 − 3 = −2

𝑥 = 5 𝑙𝑢𝑏 𝑥 = 1 mamy dwa rozwiązania

!!! Rozwiąż samodzielnie zad. 1 str. 91.

Opracowała: Marzena Mrzygłód