ZESTAW 4:
Problem wież z Hanoi: Mamy trzy pręty. Na jednym z nich umieszczone jest n- krążków tak, że krążek na samym spodzie ma największą średnicę a krążek na samej górze ma najmniejszą średnicę. Zadanie polega na przeniesieniiu całej wieży krążków na jeden z pozostałych prętów, przy czym w każdym ruchu można brać tylko jeden krążek i nie wolno położyć większego krążka na mniejszym.
1. Znajdź najkrótszą sekwencję ruchów przekładających wieżę n krążków z lewego pręta A na prawy pręt B, jeśli bezpośrednie ruchy między A i B są zabronione.
(Każdy ruch musi dotyczyć środkowego pręta.)
2. Pokaż, że podczas przenoszenia wieży z ograniczeniami z poprzedniego zadania napotkamy każde dopuszczalne ułożenie krążków na 3 prętach.
3. Płaszczyzna została przecięta n prostymi. Niektóre obszary określone przez te proste są nieskończone, podczas gdy inne są ograniczone.
(a) Jaka jest największa liczba Ln obszarów wyznaczonych przez n prostych na płaszczyźnie?
(b) Jaka jest maksymalna liczba obszarów ograniczonych?
4. Rozwiąż rekurencję Q0 = α; Q1 = β;
Qn= (1 + Qn−1)/Qn−2, dla n > 1.
Załóżmy, że Qn6= 0 dla każdego n ≥ 0. Wskazówka: Q4 = (1 + α)/β.
5. Oblicz sumę Pn
k=1(−1)kk/(4k2− 1).
6. Dowolną liczbę całkowitą dodatnią n można przedstawić w postaci n = 2m+1, gdzie 0 ≤ l < 2m. Przedstaw l i m jako funkcje n. We wzorach możesz użyć nawiasów podłogi i sufitu.
7. Znajdź warunek konieczny i dostateczny, by dla dodatnich liczb całkowitych n za- chodziła równość bnxc = n bxc. (Twój warunek powinien zawierać {x}, gdzie {x} = x − bxc dla dowolnej liczby rzeczywistej x).
Zadania pochodzą z podręcznika
R.L Graham, D.E Knuth, O. Patasnik Matematyka konkretna, rozdział 1-3.