Einführung in das Stereometrische Zeichnen : mit Berücksichtigung der Krystallographie und Kartographie

E T N F O n n irN<;

I N D A S

STEREOMETBIiSflllE ZEICHNEN.

M I T n E B f T C K N K ’TTTNJUNG D E R

KKYST-YLLOMUPIIIK liNL) K\ttTO(iIUPHIK.

VON

Dr.

GUSTAV HOLZMÜLLER,

U l l i K K l O F DF.H O R W K K V h (iC H U liK 2 1 ' H A G E N .

l i r i i l l j i A » U K K K A F S K R L L K l l F t A H O I* A K A D F M IH U H R N A T U R F O R S C H E R

LEIPZIG,

D R U C K U N D V E R L A G V O N II. G. T E Ü R N E B .

EINFÜHRUNG

IN DAS

STEREOMETRISCHE ZEICHNEN.

MIT BERÜCKSICHTIGUNG DER

KRYSTALLOGRAPHIE UND KARTOGRAPHIE.

VON

D

. GUSTAV HOLZMÜLLER,

D I R E K T O R D E R G E W E R B E S C H U L E Z U H A G E N ,

M I T G L I E D D E R K A I S E R D . L E O P . C A R O L . A K A D E M I E D E R N A T U R F O R S C H E R .

LEIPZIG,

D K Ü C K U N D V E I i L A G V O N li. G. T E U B N E l i .

1886^.

513 . 2 , *3 0

f w

Y o r w o r t.

Während der didaktische Wert geometrischer Konstruktionsauf- gabeu überall unbedingte Anerkennung findet, ist dies bezüglich der entsprechenden s te r e o m e tr is c lie u Übungen nicht allgemein der Fall. Auf zahlreichen Schulen wird nur das beweisende und be­

rechnende, jedoch nicht das konstruktive Element der Stereometrie berücksichtigt. Dafs damit ein Hauptzweck dieses Unterrichts, die A u sb ild u n g des rä u m lic h e n V o rste llu n g sv e rm ö g e n s , gröfsten- teils verloren geht, ergiebt sich schon daraus, dafs auf den Direk­

toren-Versammlungen und Lehrerkonferenzen häufig darüber geklagt wird, es scheiterten sein- viele Schüler an der Stereometrie. Die Lösung des Rätsels liegt in der Vernachlässigung des Zeichnens.

Ganz falsch aber ist es, anzunehmen, zur Stereometrie wären beson­

dere Anlagen, d. h. andere, als zur Geometrie, erforderlich.

Verfasser hat sowohl auf dem Gymnasium, als auch auf der Ge­

werbeschule beim Betreiben der Stereometrie stets die erste Hälfte der Zeit auf Konstruktionsübungen, die zweite auf die theoretische Behandlung und das Berechnen verwandt. E r begann mit Aufgaben, wie sie der Anfang dieses Buches bietet. Ging er nach hinreichen­

der Ausbildung der räumlichen Anschauung an den zweiten Teil der Arbeit, also an die gebräuchliche Behandlung des Lehrstoffs, so ge­

schah es, wie versichert werden kann, in einer für Lehrer und Schüler gleich anregenden und fruchtbringenden Weise und schnell genug, um den ursprünglichen Zeitverlust, wenn von einem solchen überhaupt die Hede sein darf, auszugleichen.

Ein systematisches Betreiben der darstellenden Geometrie ist

dabei durchaus nicht nötig. Dasselbe würde schon wegen der dazu

erforderlichen Zeit auf unseren höheren Schulen — von den Ge­

IV Vorwort.

werbeschulen und Ober-Realschulen abgesehen — unmöglich sein.

Es handelt sich also nur um eine methodische Auswahl fruchtbarer Übungsaufgaben, die sich auch ohne die breiteren Grundlagen der darstellenden Geometrie bewältigen lassen, Aufgaben, durch die man unvermerkt in diese Disziplin eingeführt wird.

Auf der yiten Direktoren-Versammlung der l’rovinz Westfalen kam dieser Gegenstand zur Sprache. Auf Seite ILf'.t jener Verhand­

lungen sind die Ansichten des Verlassers kurz skizziert. Seine These:

„Tn der S te re o m e trie dü rfen K o n s tru k tio n s a u fg a b e n n ic h t v e rn a c h lä s s ig t w erden“, fand allgemeine Zustimmung. (These 14.')

Für das Realgymnasium wurden in These 4 die Elemente der beschreibenden Geometrie als notwendig erklärt, dagegen die von dem Herrn Referenten mit gewünschte Sehattenkonstruktion mit Liecht ausgescliieden. Jedoch auch für die Uberklassen des Realgymnasiums würde sich eine methodische Behandlung, wie sie unser Huch vor­

schlägt, in höherem Grade eignen, als die systematische Bearbeitung der Projektion von Punkten, Geraden, Kurven, Flächen, Körpern u. s. w., wobei zu befürchten steht, dafs man aus Zeitmangel nicht einmal bis zu den verwertbaren Dingen vordringt.

Noch ein Bestreben suchte der Verfasser zur Geltung zu brin­

gen , bei den einzelnen Aufgaben nur die unbedingt notwendigen Elemente durch Projektion zu bestimmen, den Rest der Lösung aber der Mathematik zu überlassen. Daraus ergab sich manche bedeu­

tende Abkürzung. Auch wird das Ineinandergreifen von Mathematik und Zeichnen in höherem Grade anregend auf den Schüler einwirken, als das einseitige Verweilen bei den Anfangsgrüuden der darstellen­

den Geometrie, wie es an manchen Schulen geschehen mag, wo der Unterricht in der lland eines mathematisch nicht hinreichend ge­

schulten Zeichenlehrers liegt. Dies soll durchaus kein Tadel für die geschätzten Kollegen sein, daher sei bemerkt, dafs auch der umge­

kehrte Fall, wo der Lehrer der Mathematik nicht hinreichend im räumlichen Zeichnen geübt ist, zu Bedenken Anlafs geben kann.

Manche unserer Konstruktionen gehen infolge des angedeuteten

Strebens ganz aus der gebräuchlichen Schablone heraus. So werden

z. B. die parallelperspektivische Darstellung der Kugel in Figur 110

und die zentralperspektivische in Figur 148, wo sich die Endpunkte

der verkürzt erscheinenden Axe als Brennpunkte der zu zeichnenden

Ellipse lierausstellen (woraus sich sofort eine leichte Bestimmung

ihrer Hauptaxe ergiebt), manchem Mathematiker und Zeichenlehrer

noch nicht bekannt gewesen sein.

Vorwort. V

Die Krystallographie und einige Hauptaufgaben der Kartographie, in letzterer Beziehung besonders die Konstruktion der sogenannten Ptolemäischen Halbkugelkarten und der Mercatorkarte, sind aus leicht erklärlichen Gründen mit berücksichtigt worden. Dieselben aufzu­

nehmen trug der Verfasser um so weniger Bedenken, weil der kürz­

lich verstorbene Geograph Professor Z ö p p ritz ihm mitgeteilt hatte, für eine zweite Auflage seiner Kartographie würde er bezüglich der Mercatorkarte die elementare Methode der Quadratteilung benutzen, wie Verfasser sie im 14ten Jahrgang der Zeitschrift für mathemat.

Unterricht gegeben hätte. — Auch wurden vielfach Andeutungen über die Verwendbarkeit der Resultate für die Mechanik und Tech­

nik eingestreut (z. B. die graphische Darstellung gewisser Trägheits­

momente durch Körper). Ihre Absicht war, das Interesse des Schülers für den fraglichen Unterrichtszweig zu erwecken und ihm einen Einblick in den geistigen Zusammenhang desselben mit zahl­

reichen wissenschaftlichen Dingen zu eröffnen, so dafs es sich für ihn nicht lediglich um ein dürres, unfruchtbares und durch seine Einseitigkeit abstofsendes Gebiet handelt.

Was nun die didaktische Verwendung des gegebenen Stoffes an- betrifft, so ist es durchaus nicht nötig, a lle Aufgaben bearbeiten zu lassen. Einige weitom'ehendo sind durch Klammern kenntlich <>'e- O O O macht und können überschlagen werden. Aufgenommen wurden sie teils um Abrundung des Stoffes zu gewinnen, teils um begabteren Schülern Perspektiven in weitere mathematische Gebiete zu eröffnen.

Jedoch ist keine Aufgabe dabei, die sich z. B. auf dem Realgymna­

sium und der Ober-Realschule nicht bewältigen liefse. Durch jenes Weitergehen dürfte das Büchlein auch manchem Studierenden der Mathematik zur Anregung dienen, denn leider ist die darstellende Geometrie auf den Universitäten noch nicht als obligatorischer Unter- richtsgegeustand anerkannt, und bet der rein analytischen Behand­

lung der Raumgeometrie gelangt mancher Zuhörer nicht zur räum­

lichen Vorstellung dessen, was die gewonnenen Formeln bedeuten sollen. Hier erfährt er wenigstens, wie ein Teil der' wichtigsten Flächen und Raumkurven exakt konstruiert werden kann, und das Bedürfnis zum Studium der darstellenden Geometrie als Wissen­

schaft wird sich bald von selbst einstellen und ihn zu den umfang­

reichen Werken von F ie d le r und anderen liiuführen.

Dafs die eingestreuten mathematischen Erläuterungen nicht als

strenge Beweise gelten wollen, ist bei einer E in fü h ru n g in das

s te re o m e tris c h e Z eichn en wohl selbstverständlich. Und dafs es

VI Vorwort.

sich nicht um ein Lehrbuch der darstellenden Geometrie handelt, ist schon hinlänglich hervorgehoben. Es sollte in der That etwas wesentlich anderes in dem Büchlein gegeben werden.

In der Hand des Lehrers wird dasselbe, wie der Verfasser hofft, Nutzen bringen können. Ob es sich für den Gebrauch der Schulen eignet, das zu beurteilen sei der wohlwollenden Prüfung der Facli- genossen überlassen. Indessen sei zugestanden, dafs der Verfasser bestrebt war, den Schulgebrauch für gewisse Arten von Unterrichts­

anstalten durch Wahl und Behandlung des Stoffes zu ermöglichen.

Schliefslicli stattet er der Verlagsbuchhandlung für das Ent- ~ D gegenkommen bezüglich der kostspieligen Ausstattung den verbind­

lichsten Dank ab, denn nur durch zahlreiche und möglichst exakte Figurentafeln konnte das erreicht werden, was dem Verfasser als Ziel vorsch webte.

St. denn das Büchlein eine willkommene und nutzbringende Er­

gänzung

jedem Lehrbuche der elementaren Stereometrie!

H ag en , im Mai 1880.

Dr. G. H olzm ü ller.

I n h a l t .

Seite

E in leitu n g ... ... . 1

Kapitel I. Elioiilliicliige Gebilde in Parallelprojektionen... 6

§ 1. Der Würfel und seine Kombinationen in schräger Parallelprojektion 6 § 2. Der Würfel und seine Kombinationen in Grundrifs und Aufrifs. . . 9

§ 3. Das regelmäfsige Oktaeder und seine Kombinationen in verschiedenen D a r s te llu n g e n ... 13

§ 4. Das regelmäfsige Tetraeder, seine Kombinationen und seine Be­ ziehungen zum O k t a e d e r ...15

§ 5. Das regelmäfsige Pentagon-Dodekaeder und seine Beziehungen zum Pyram idem vürfel... , . . , ... 18

§ 6. Das regelmäfsige Ik o s a e d e r ... 22

§ 7. Das gleichgliedrige T rapezoeder...26

§ 8. Das gleichgliedrige Hexakis-Oktaeder... 28

§ 9. Formeltafel für das gleichgliedrige Krystallsystem ...29

§ 10. Bemerkungen zur Verzeichnung schräg abgeschnittener Prismen und Pyram iden...30

§ 11. Beispiel einer D u rch d rin g u n g ... ... 31

Kapitel II. Gebilde mit krummen Flüchen in Parallelprojektion . . 32

§ 12. Schräge Kreisprojektionen...32

§ 13. Orthogonal-Projektionen des K r e is e s ... 39

§ 14. Gerader Kreis-Cylinder und Schraubenlinien d esselb en ...41

§ 15. Der gerade Kreiskegel nnd seine Mantelfläche m it Rechtecksteilung und den Linien konstanter S t e ig u n g ... 43

§ 16. Die ebenen Schnitte des geraden K reisk eg els... 44

§ 17. D ie Kugel in orthogonaler P r o j e k t i o n ... . . 57

§ 18. Die Kugel in schräger P a r a lle lp e r sp e k tiv e ... 63

§ 19. Der Bingkörper m it Kreisquerschnitt (Rotationscyklide oder Torus) . 64 § 20. Die allgemeinere C y k lid e ...67

§ 21. Einige Aufgaben über den geraden K r e is k e g e l...68

§ 22. Der gerade elliptische Kegel und C y lin d e r ...70

Seite

§ 23. Der gerade hyperbolische Kegel und Cylinder . . . 72

§ 24. Parabolischer Kegel und C ylinder... 73

§ 25. Das Rotations-Ellipsoid, -Paraboloid und -Hyperboloid . . . 74

§ 26. Die noch übrigen Kegelschnittflächen ... 78

Kapitel III. Einiges über Zentralprojektionen und über die Maler- perspektive . ... 81

§ 27. Zentralprojektion geradliniger Gebilde... 81

§ 28. Zentralprojektion des Kreises und der übrigen Kegelschnitte . . . 84

§ 29. W eitere Andeutungen über die M alerperspektive... 89

§ 30. Die stereographische Projektion der K u gelob erfläch e... 94

§ 31. Schlufsbem erkung... 100

E i n l e i t u n g .

Die S te re o m e trie ist die Wissenschaft von den räumlichen, ge- setzmäfsig gestalteten Gebilden. Sie beschäftigt sich mit den E ig e n ­ s c h a fte n und den g e g e n s e itig e n B e z ie h u n g e n dieser Gebilde, mit ihrer M essung und B erec h n u n g und endlich mit ihrer K o n ­ s tru k tio n . Diese Konstruktion kann eine rä u m lic h e sein, d. h.

das Gebilde wird im Modell wirklich dargestellt (der Würfel z. B.

aus Holz, oder mittels eines Drahtgestelles, oder mit Hilfe des Flächennetzes aus Pappe); sie kann jedoch auch auf d er E b en e ausgeführt werden, es ist z. B. auf dem Reifsbrett mit Hilfe des Zirkels und Lineals eine korrekte P ro je k tio n s z e ic h n u n g zu geben.

Die verschiedenen Projektionsmethoden werden in der d a r ­ s te lle n d e n G e o m e trie , die sich zu einer umfangreichen Wissen­

schaft entwickelt hat, s y s te m a tis c h behandelt.

Hier soll nur eine m e th o d isc h e E in f ü h ru n g in das s te r e o ­ m e trisc h e Z eich n en gegeben werden. W ir werden uns demnach

mit

einfachsten Darstellungsweisen der wichtigsten Körper

so

dafs

liche Stereometrie, besonders für die konstruierende, eine sichere Grundlage gegeben

Die Frage, wie ein einfach gestalteter Körper, z. B. der Würfel, auf dem Reifsbrett zu zeichnen ist, kann man sich sehr anschaulich durch das entsprechende Drahtmodell und einen leuchtenden Körper beantworten lassen.

Figur 1 stellt ein solches Modell dar, zum Zwecke leichterer Handhabung mit einem Stäbchen versehen. Als leuchtenden Körper benutze man zunächst die Sonne, durch die man den Schatten des Modells scharf auf das Reifsbrett werfen (projizieren) läfst. Die so entstehende Figur nennt man eine P a r a lle lp r o je k tio n des

I l o l z i n ü l l e r , stereom etrisches Zeielmeii. y

2 Einleitung.

Würfels auf die Ebene, weil die projizierenden Lichtstrahlen, die von der sehr weit entfernten Sonne ausgehen, als parallel betrachtet werden können.

Es sind nun zwei [Iauptt'iille zu unterscheiden. Läfst man die Sonnenstrahlen senkrecht auf die Ebene des Reifsbretts fallen, so erhält man eine s e n k re c h te Projektion, die auch als o r th o g r a ­ p h isc h e oder O r th o g o n a l- P r o je k tio n bezeichnet wird. Fallen hingegen die Strahlen schräg auf das Brett, so entsteht eine sch räg e P a r a lle l- P r o je k tio n .

Es ist sehr lehrreich, die grolse Mannigfaltigkeit der möglichen Zeichnungen dadurch kennen zu lernen, dafs man nicht nur die Stellung der Bildfläche gegen die Sonne vielfach wechselt, sondern auch dem Würfel die verschiedensten Lagen giebt. So sind z. H.

Figur 2, 3 und 4 Ortliogonal-Projektionen, die man leicht durch geeignete Würfelstellung erreichen wird. Dagegen sind Figur 5 und und G schräge Parallel-Projektionen. Bei o , 4 , 5 und 6 ist das hinten liegende, was bei dem massiven Körper unsichtbar sein würde, unterbrochen gezeichnet.

Diese Projektionsarten bezeichnet man auch als P a r a lle l- P e r - sp e k tiv e n , und zwar aus folgendem Grunde: Denkt man sich das Auo-e des Beschauers in die Sonne versetzt, so verdeckt ihm der Drahtwürfel genau diejenigen Stellen der Tafel, welche vorher das Schattengebilde enthielten. Schaltet man ferner zwischen dem Würfel und dem fernliegenden Auge eine durchsichtige Glastafel ein, welche der Reifsbrettfläche parallel ist, so erscheint der Körper auf dem Glase in einer Gestalt, die jenem Schattengebilde kongruent ist. Man könnte das Gesehene mit einem Diamantstifte nachzeichnen und so auf der Glastafel fixieren. Der Name Perspektive erklärt sich also daraus, dafs die Zeichnung genau so ist, wie der Körper durch die Glasfläche hindurch erscheint.

Befindet sich das Auge in grofser Entfernung s e n k re c h t über der begrenzt zu denkenden Bildfläche, so erhält man eine o r th o g o ­

n a l e

P a r a lle lp e rs p e k tiv e , befludet es sich s c h rä g über derselben, so handelt es sich um die s c h rä g e P a r a lle lp e r s p e k tiv e .

Bei jeder Parallelprojektion des Würfels zeigt sich nun, dafs die in Wirklichkeit quadratischen Seitenflächen als Parallelogramme er­

scheinen. L inien also , die im R aum e p a r a lle l g e ric h te t und g le ich la n g sin d , e rs c h e in e n auch in der P ro je k tio n als p a r a lle l und g le ich lan g . Der Beweis dafür kann mit den leich­

testen Hilfsmitteln der Elementargeometrie geführt werden. Ver­

Einleitung.

halten sich ferner die Längen zweier parallelen Geraden wie n : b, so verhalten sich auch ihre Projektionen wie a : h.

War jede Würfelkante ein Decimeter lang, so erscheint in der Projektion für drei Kanten, die von einer Ecke ausgehen, die Deci- meter-Länge im allgemeinen verschieden. Für diese drei Richtungen ist aber damit die Länge, in der auf ihnen jene Einheit erscheint, fest bestimmt. Bei einiger Übung lernt man e s, trotz aller auf­

tretenden Verkürzungen und Verlängerungen (die letzteren sind nur in der Schrägprojektion möglich), aus der korrekten Zeichnung die

wirklichen Mafse abzulesen.

Erscheinen die Würfelkanten gleich lang, so nennt man die Pro­

jektion eine iso m e trisc h e . So ist z. B. Figur C eine isometrische Schrägprojektion, Figur 7 eine isometrische Orthogonal-Projektion.

Den gebräuchlichsten Parallel-Projektionen hat man besondere Namen gegeben, die jedoch ohne wesentliche Bedeutung sind. Die bekann­

testen Orthogonal-Projektionen sind die als G ru n d rifs und A u frifs bezeiclineten.

Ähnliche Experimente, wie mit dem schattenwerfenden Draht­

würfel, mache man mit anderen Drahtkörpern, z. B. mit dem 3-, 4-, 5-, Gseitigen Prisma, dem durch geeignete Drähte veranschaulichten Ivreiscylinder oder dem Kreiskegel.

Von den Körpern mit gekrümmter Oberfläche ist der wichtigste die K ugel. Das Experiment mit der im Sonnenschein schattenwer­

fenden massiven Kugel lehrt Folgendes: D ie O rth o g o n a l-P ro je k - tio n d er K ngel is t s te ts ein K re is , ih re S c h r ä g p ro je k tio n is t s te ts eine E llip se. Die Ellipse aber läfst sich definieren als Parallelprojektion eines Kreises. Man mufs also z. B. eine Ellipse erhalten, indem man alle parallelen Sehnen eines Kreises, vom senk­

recht schneidenden Durchmesser aus gerechnet, in konstantem Ver­

hältnis verkürzt oder verlängert. In Figur 8 z. B. sind alle Sehnen halbiert, in Figur 9 dagegen um die Hälfte verlängert worden.

Handelt es sich also in der Stereometrie um das Zeichnen der Kugel, z. B. der einem Körper um- oder einbeschriebenen Kugel, so wird es zweckmäfsig sein, die Parallelprojektion zu vermeiden und dafür die Orthogonal-Projektion anzuwenden.

Da wir das Auge nicht in unendliche Entfernung versetzen können, so zeigt uns die Parallel-Perspektive die Gegenstände nicht so, wie wir sie in Wahrheit sehen. Um zu erfahren, wie die Körper

1*

4 Einleitung.

aus e n d lic h e r Entfernung auf der eingeschalteten Glastafel er­

scheinen, oder, wie sie aus endlicher Entfernung auf die Reifsbrett- Ebene zu projizieren sind, mache man das Experiment mit dem Draht- würfel noch einmal, jedoch mit Hilfe eines Lampen- oder Kerzen­

lichtes, welches einigermafsen scharfe Schatten giebt. (Am besten gelingt der Versuch mit dem elektrischen Bogenlichte, dessen inten­

sive Strahlen nahezu von einem Punkte ausgehen.)

Je nach der Stellung des Lichtes und des Drahtwürfels gegen das Iteifsbrett erhält man auch hier die verschiedensten Gestaltungen des Schattengebildes. In Figur 10 und 11 z. B. erscheinen zwei Würfelquadrate wieder als Quadrate, jedoch von ungleicher Gröfse, während die anderen Flächen Paralleltrapeze geben. Beiläufig sei schon jetzt bemerkt, dafs die nicht parallel erscheinenden Kanten sich verlängert in einem Punkte schneiden*). Heide Figuren er­

hält m an, sobald der Würfel mit einer Seitenfläche parallel zur Reifsbrettebene gestellt ist. In Figur 12 sind nur noch die Senk­

rechten parallel, während die beiden anderen Parallelengruppeil sich in je ein em Punkte vereinigen. Quadrate sind also nicht mehr vor­

handen. Nur diejenigen Würfelkanten sind parallel geblieben, die in der Wirklichkeit zu der Reifsbrettebene parallel gestellt waren.

Steht endlich der Würfel mit allen Kanten schräg gegen das Reilsbrett, so hört in der Projektion aller Parallelismus auf, wia in Figur 13. Selbstverständlich ist das Beurteilen der wirklichen Mafse bei allen diesen Zeichnungen schwieriger, als in der Parallel- Perspektive.

Alle zuletzt vorgeführten Projektionen nennt man, da die pro­

jizierenden Strahlen von einem im endlichen liegenden leuchtenden Z e n tru m ausgingen, Z e n tra lp ro je k tio n e n . Versetzt man das Auge an die Stelle des leuchtenden Körpers und schaltet man zwi­

schen Körper und Auge eine Glastafel ein, die der Reifsbrettfläche parallel ist, so erscheint auf der Tafel der Körper als ein Bild, welches dem Schattengebilde nicht kongruent, wohl aber g eo ­ m e trisc h ä h n lic h ist. Der Name Z e n tr a l- P e r s p e k tiv e erklärt sich also ganz ähnlich, wie der der Parallelperspektive.

Da bei dieser Perspektive parallele Würfelseiten im allgemeinen weder als parallel, noch als gleich erscheinen, so ist sie für matlie-

*) Geometrisch ist leicht zu b ew eisen, dafs die Verbindungslinien ent­

sprechender Eckpunkte zweier Quadrate m it parallelen Seiten stets durch e i n e n Punkt gehen, den änfseren oder den inneren Ähnlichkeitspunkt beider Figuren.

Einleitung. 5

matische Zwecke nicht gut verwendbar. Zwar läfst sich für jeden gesetzmäfsig gestalteten Körper jede verlangte Zentralperspektive mathematisch genau konstruieren, umgekehrt aber ist es nicht ganz leicht, aus der Zeichnung die wirklichen Verhältnisse ohne Weiteres zu erkennen.

Trotzdem ist die Kenntnis dieser Methode von grofser Wichtig­

keit, denn jeder Maler zeichnet seine Landschaften, Architekturstücke u. s. w. nach derselben, oder er sollte wenigstens auf Grund jener Prinzipien arbeiten. Deshalb wird diese Projektionsart wohl auch als M a le r-P e rs p e k tiv e bezeichnet. Sie soll hier nur anhangsweise besprochen werden.

Wie man aus einer Sprache in die andere übersetzt und aus letzterer in die erstere zurücküberträgt, so hat sich der Zeichner und Mathematiker zu üben, aus der Wirklichkeit in die Projektion und umgekehrt aus der Projektion in die Wirklichkeit zu „übersetzen".

Durch energische Übung kann er sein räumliches Vorstellungsver- mögen, wie jede andere geistige Fähigkeit, zu beliebiger Vollkommen­

heit ausbilden.

Kapitel I.

Ebenfläcliige Gebilde in Parallelprojektioiien.

§

1

Der Würfel und seine Kombinationen in schräger Parallelprojektion.

A u fgab e

1. Den W ü rfel so zu zeich n en , dafs d ie V o rd e r- und H in te r f lä c h e als a u fre c h t ste h e n d e Q u ad rate e r s c h e i­

n en , w ä h re n d die n ic h t zu d iesen g e h ö rig e n K a n te n u n te r

^ V e rk ü rz u n g und u n te r dem N e ig u n g sw in k e l 30° g eg en die n ach re c h ts geh en de H o riz o n ta le zu k o n s tr u ie re n sind.

In Figur 14 ist die Zeichnung ausgeführt.

B em erkung: Wo hat-m an sich das unendlich ferne Auge oder die schattenwerfende Sonne zu denken? Man errichte in C auf der Ebene der Zeichnung (Fig. 14) ein Lot CD — A B (1) ist über der Zeichenfläche schwebend zu denken). Die Raumlinie A I ) giebt dann die gesuchte Richtung an.

Wir werden in folgendem, wenn nichts Besonderes bemerkt wird, bei Schrägprojektionen stets diejenige wählen, bei der \ Verkürzung und Neigungswinkel 30° mafsgebend sind. Da diese Festsetzung eine ganz willkürliche ist, mag der Kürze halber diese Art der Parallel­

perspektive bisweilen als „unsere“ Perspektive bezeichnet werden.

Was man ferner unter Perspektive mit Neigungswinkel 90° (oder allgemeiner a°) unter Verkürzung \ (oder allgemeiner zu ver­

stehen hat, ist von selbst klar.

A ufgabe 2.

D en a u fre c h t s te h e n d e n W ü rfe l in u n s e re r P a r a lle lp e r s p e k tiv e ü b er Eck zu zeich n en , d. h. so, dafs die g eg eb en e D ia g o n a le A B h o r iz o n ta l ersch ein t.

Aufl. In Fig. 15 ist die gegebene Diagonale A B in ihrer

wirklichen Länge horizontal gezeichnet. Man halbiere A B in M}

§ 1. Schriigprojektion des Würfels und seiner Kombinationen. 7

lege CD = ^ A l l unter Neigung 30° so durch M, dafs CM — M D ist und vollende das Viereck ACDD. Die wahre Länge von A C und BC findet man als A E , indem man über A B mit Hilfe des Halbkreises ein rechtwinklig - gleichschenkliges Dreieck A E 13 er­

richtet, denn dies ist die wirkliche Gestalt von A B C . Durch A, 13 C und D lege man jetzt die Senkrechten A E , D H , CG und D J sämtlich gleich A E und vollende das Viereck E G H J , womit die Aufgabe gelöst ist.

Bei den folgenden Aufgaben wird der Würfel mit Abstumpfungs­

flächen, Abkantungsfläclien, aufgesetzten Pyramiden und dergl. ver­

sehen. Nach dem Vorgänge der Mineralogen werden wir die so ent­

stehenden Körper als K o m b in a tio n e n des Würfels mit anderen Formen bezeichnen. In der That werden die Würfelflächen dabei mit den Flächen anderer Körper, z. B. des Oktaeders, Ilhombendodeka- eders etc. kombiniert.

A u fgab e 3.

D er W ü rfe l d er A u fg ab e ] soll um \ der K a n te n lä n g e a b g e s tu m p ft w erden.

Aufl. Man schneide von jeder der Kanten, die in dem Punkte D (Fig. IC)

} ihrer Länge ab und verbinde die Schnittpunkte D, E und F. Durch die Dreiecksfläche D E F denke man sich die Ecke D abgeschnitten (abgestumpft). Dasselbe ist an allen Ecken zu wiederholen.

B em erk u n g : Wie leicht zu beweisen, sind die Abstumpfungs­

flächen gleichseitige Dreiecke. Ihre wirkliche Neigung gegen die Grundfläche läl'st sich graphisch konstruieren und auch trigono­

metrisch berechnen. Nach erlangter Kenntnis des Pyramideninhalts kann der Inhalt jedes abgeschnittenen Teiles, also auch der stehen bleibende Körperrest, berechnet werden. Es wird sich später zeigen, dafs die neuen Flächen Oktaederflächen sind.

A ufgabe 4.

D ie A b stu m p fu n g so ll der K a n te n lä n g e , oder § d e rs e lb e n um fassen. A ufserdem so lle n die A u fg ab en von 3 ab auch an dem ü b er E ck g e z e ic h n e te n W ü rfe l w ie d e r­

h o lt w erden.

A ufgabe 5.

ln den M itte lp u n k te n d er W ü rfe ls e ite n (aus Aufg. 1) sollen L o te von \ der K a n te n lä n g e e r r ic h te t w erden.

D urch V erb in d u n g ih r e r E n d p u n k te m it den zu g e h ö rig e n W ü rfeleck en sind v ie rs e itig e P y ra m id e n zu k o n s tru ie re n .

A ufl. In Figur 17 sind zunächst die Mittelpunkte der Seiten­

8 Kapitel 1.

flächen als Schnittpunkte der Diagonalen bestimmt. Die Lote in A und B sind horizontal, die in C und I) sind vertikal eingetragen.

Alle haben die Länge -|7 A B . Das Lot in M ist als 31E unter Neigung 30° einzuzeichnen und hat als Länge den dritten Teil von der der anderen Lote. Der Endpunkt jedes Lotes ist durch Gerade mit den zugehörigen Quadratecken zu verbinden.

B em erk u n g : Die zur Hinterfläche gehörige Pyramide ist weg­

gelassen, um die Zeichnung nicht zu verwirren. Der so entstehende Körper lieifst P y ra m id e n w ü rfe ]. ln der Mineralogie wird er als Tetrakis-Hexaeder, d. li. als 4 mal 6-Flach bezeichnet. (Der Würfel heilst dort bekanntlich Hexaeder oder Ö-Flach.)

A ufgabe

6. D ie v o rig e K o n s tru k tio n soll an dem ü b er E ck g e z e ic h n e te n W ü rfel d u rc lig e fü h rt w erden.

A ufgabe 7.

D ie A u fg ab en 5 und G sin d d ah in zu än d ern , dafs die P y ra m id e n h ö h e n die h alb e K a n te n lä n g e e rh a lte n .

B em erk u n g : In Figur 18 ist die eine Aufgabe durchgeführt.

Die neuen Flächen sind unter 45° gegen die Würfelfläclien geneigt.

Darum fallen je zwei zu einer zusammen, und die zwischen ihnen liegende Würfelkante wird unsichtbar. Der 24-fläcliige Körper ver­

wandelt sich also in ein 12-Flach oder Dodekaeder, und da seine Flächen Rhomben sind, lieifst er R ho m b en d o d ek aed er. In der Mineralogie wird er, da der Granat besonders häufig in dieser Form krystallisiert, auch G ra n a to e d e r genannt. Ein regelmäfsiger Kör­

per im stereometrischen Sinne ist er nicht, denn wir haben z. B. an ihm D re ik a n te c k e n und V ie rk a n te c k e n , stumpfe und spitze Kanten­

winkel zu unterscheiden.

Zeichnet man die Pyramidenhöllen gröfser als die Hälfte der ursprünglichen Würfelkanten, so hört der Körper auf, konvex zu sein.

A u fgab e 8.

D er P y ra m id e n w ü rfe l der A u fgabe 5 soll an den P y ra m id e n s p itz e n um f der d o rtig e n K a n te n lä n g e a b ­ g e s tu m p ft w erden.

B em erk u n g : Der stehen bleibende Körper läfst sich zugleich als Würfel mit z u g e s c h ä rfte n Kanten (Ausdruck der Mineralogie) betrachten.

A ufgabe 9.

D as R hom ben - D o d ek aed er d er A u fg ab e

so ll an den V ie rk a n te c k e n um f der d o rtig e n Iv an teiilän g e a b g e s tu m p ft w erden.

B em erk u n g : In Figur 19 ist der stehenbleibende Körper ge­

zeichnet. Er läfst sich auch als a b g e k a n te te r W ü rfe l bezeichnen,

§ ‘2. Der Würfel und seine Kombinationen in Grund- und Aufrifs. 9

d. h. als Würfel, dessen Kanten durch Schnittflächen von 45° Nei­

gung entfernt worden sind.

A ufgabe 10.

D as R h o m b e n d o d ek ae d er an den D r e ib a n t­

eck en um % der d o rtig e n K a n te n lä n g e ab zu stu m p fen .

B em erk u n g : In Figur 20 ist der stehen bleibende Körper ge­

zeichnet. E r läfst sich auch als a b g e k a n te te s O k ta e d e r (8-Flach) betrachten.

A u fgab e 11.

Den W ü rfe l um ^ der Iv an te n län g e a b z u ­ k a n te n .

Aufl. In Figur 21 sei A eine Ecke des abzukantenden Würfels.

Man mache A B , A ü und A l ) gleich J der Kantenlänge (AC natür­

lich auf l verkürzt erscheinend) und lege durch B, C und D Paral­

lele zu den Würfelkanten. Dadurch entstehen die unter 45° gegen die Würfelflächen geneigten Abkantungsfläclien L C D M , O B DJS7 und P B CB, die als I. II und III bezeichnet werden mögen. Jetzt müssen die Schnittlinien dieser drei Flächen gezeichnet werden. 1 und II haben gemein die Punkte X und D, also ist X D ihre Schnittlinie.

II und III haben aus gleichem Grunde die Schnittlinie Y B , III und 1 die Schnittlinie CZ. Da nun die Schnittlinien dreier Ebenen ent­

weder parallel sind, wie bei dem dreiseitigen Prisma, oder sich in einem Punkte schneiden (warum?), so treffen sich die drei Schnitt­

linien in einem Punkte V, so dafs von I stellen bleibt L X V Z M , von II dagegen OXVYJSI, von III endlich P Z V Y B . Wird an den anderen Würfelecken dasselbe gemacht, so bleibt scliliefslich eine Figur wie 19 stehen.

A ufgabe 12.

Die le tz te n A u fg ab en sind fü r die W ü r f e l­

s te llu n g ü b e r E ck zu lösen.

§ 2.

Der Würfel und seine Kombinationen in Grundrifs und Aufrifs.

Unter Grundrifs eines Körpers versteht man seine Orthogonal­

projektion auf eine Horizontalebene, unter Aufrifs seine Orthogonal- Projektion auf eine Vertikalebene. Da das Reifsbrett aber nur eine Ebene hat, so mufs man sich beide Ebenen in diese eine gelegt denken.

ln Figur 22 sei F E C D das senkrecht stehende Reifsbrett und A B CI) die in ihm liegende Aufrifsebene. Die Grundrifsebene gehe

durch A B und stehe in Wirklichkeit senkrecht auf der Bildfläche.

Durch Drehung um A B denkt man sich aber ihre Lage so lange

geändert, bis sie als A B E F in die Zeichnungsebene fällt.

10 Kapitel [.

Der Punkt X sei die Aufrifsprojektion einer Geraden, die in X auf der Aufrifsebene senkrecht steht, der Punkt X 1, senkrecht dar­

unter gezeichnet, das Bild einer Geraden, die in X t auf der Grund- rifsebene senkrecht steht. Dreht man die Grundrifsebene in ihre wirkliche Lage zurück, so schneiden sich die beiden Lote in ein^m vor der Aufrifsebene und über der Grundrifsebene schwebenden, also nicht gezeichneten Punkte K, und zwar so, dafs X Y X 1K ein Recht­

eck wird. Folglich:

D ie P u n k te X und X t in F ig u r 22 sin d die P ro je k tio n e n ein es R a u m p u n k tes K , d er um die S tre c k e vor dem A u frifs p u n k te X , und um die S tre c k e Y X ü b er dem G rund- rif s p u n k te schw ebend zu denken ist.

Ebenso sind in derselben- Figur P und Pj die Projektionen eines gewissen Raumpunkt.es, desgleichen Q und Qt, demnach sind 1JQ und P1Q1 die P ro je k tio n e n d er d iese P u n k te v e rb in d e n ­ den G eraden.

So kann man zu jedem Punkte und zu jeder Geraden des Rau­

mes den Grundrifs und Aufrifs zeichnen. Umgekehrt läfst sich aus jedem Punktpaare X resp. X l die Lage des entsprechenden Raum­

punktes, aus jedem Geradenpaare 1JQ und 1\ Qt die Lage und Länge der entsprechenden Raumlinie leicht ermitteln. Mau merke also in erster Linie, dafs in der Zeichnung die zusammengehörigen Grund- uud Aufrifspunkte senkrecht untereinander liegen.

Diese Darstellungsweise, die sich durch die folgenden Übungs­

aufgaben noch weiter erläutern wird, ist für den Bau- und Maschinen­

techniker, ebenso für den kunstgewerblichen Zeichner, nicht weniger für den Mathematiker, von gröfster Wichtigkeit.

A ufgabe 13.

D er W ü rfe l so ll

G ru n d rifs und A u frifs g e z e ic h n e t w erden, jed o ch in v e rsc h ie d e n e n , n ä h e r zu b e­

stim m en d en S te llu n g e n .

Aufl. Figur 23a giebt den Grundrifs und Aufrifs des W ür­

fels für die einfachste Lage an. Tin Aufrifs ist er von vorn ge­

sehen, im Grundrifs von oben. Im Aufrifs verdecken die vorderen Punkte A , B , C, I) die hinteren Punkte E , F , C, G, die deshalb eingeklammert daneben geschrieben sind. Im Grundrifs verdecken die oberen Punkte 1), C, G, I I die unteren Punkte A , B , F , E.

Letztere sind daher ebenfalls eingeklaminert bezeichnet. Da X Y die

Schnittlinie von Grundrifs und Aufrifs ist, so steht der Würfel auf

der Grundrifsebene. Sollte er uni h höher stehen, so wäre die Auf-

rifszeichnung um h nach oben zu verschieben.

§ 2. Der Würfel und seine Kombinationen in Grund- und Aufrifs. 11

In Figur 23 b ist die Aufgabe gelöst, diesen Würfel zu zeichnen, nachdem er um die Kante A E gedreht ist, z. B. um 30°. Die Auf- rifsfigur ändert sich dabei nicht in der Gestalt, sondern nur in der Lage. Die Grundrifspunkte aber haben sich in der Zeichnung nur h o riz o n ta l v ersch o b en , denn die Projektion ihres wirklichen, kreisbogenförmigen Weges auf die Grundrissebene ist jedesmal eine horizontale Gerade. Man erhält also die neue Gestalt der Grundrifs- figur, indem man jeden ihrer Punkte horizontal verschiebt, und zwar so weit, bis er senkrecht unter dem entsprechenden Punkte der neuen Aufrifsfigur liegt. Die verdeckte Linie A E im Grundrifs ist unterbrochen gezeichnet.

Um diese noch immer spezielle Stellung in eine allgemeinere zu verwandeln, drehe man die neue Grundrifsfigur um einen beliebigen Winkel, z. B. um 35°. Die neue Aufrifsfigur ist in 23c dadurch konstruiert, dafs man die Aufrifspunkte der vorigen horizontal ver­

schoben hat (warum?), und zwar so weit, bis sie senkrecht über den neuen Grundrifspunkten liegen.

In Figur 23 d ist endlich die dritte Aufrifsfigur um 20° gedreht worden und die neue Grundrifsfigur mit Hilfe der Horizontalverschie­

bung entstanden. Hier treten oben und unten alle Punkte und alle Geraden auseinander, so dafs man sagen kann, der Würfel sei jetzt in a llg e m e in s te r L age gezeichnet. Jede beliebige Stellung kann man nach dieser Methode durch mehrere Drehungen erreichen.

Man kann die Konstruktion bedeutend vereinfachen, indem man nur für die drei von A ausgehenden Kanten A l i , A D und A E die obigen Transformationen durchführt und die Parallelogramme zum Schlufs vollendet. Noch weiter gehende Vereinfachungen lehrt die darstellende Geometrie.

[B em erkung: Soll eine Figur, wie der Aufrifs von 23d, die

Orthogonalprojektion eines Würfels sein, so kann man A B , A D

und A E nicht ohne weiteres nach Länge und Richtung willkürlich

hinzeichnen. Es sind vielmehr von diesen sechs Bestimmungen nur

vier willkürlich, die beiden anderen aus ihnen geometrisch direkt

bestimmbar. Die orthographische A x o n o m e trie ist derjenige Teil

der darstellenden Geometrie, dessen Aufgabe es ist, die Körper in

der allgemeinen Lage, wie sie z. B. Figur 23 d für den Würfel zeigt,

d ire k t, also ohne die Vorfiguren a, b und c, hinzuzeichnen. Nur

um Irrtümem vorzubeugen und zugleich eine Andeutung über das

Wesen der Axonometrie zu geben, teilen wir einiges über solche

Würfelzeichnungen, die unabhängig von den obigen Drehungsmetho­

12 Kapitel 1.

den gefunden werden, mit. Es sei dazu diejenige Konstruktion be­

nutzt, die sicli auf einen gewissen G au fs sehen Satz stützt. Derselbe ist nur dem vorgeschrittenen Mathematiker verständlich und lautet:

S ind d rei von einem L'unkte au sg eh en d e S tre c k e n O rtliog o- n a l-P r o je k tio n e n von W ü rfe lk a n te n , so is t die Summe ih re r Q u a d ra te g le ic h N ull.

Daraus ergiebt sich z. 1J. die Lösbarkeit folgender Aufgabe

Die L in ie n A B und A B seien n ach G rö fse und R ic h tu n g w illk ü rlic h gegeben. A B so ll so k o n s tr u ie r t w erd en , dal's die d r e i L in ie n als O rth o g o n a lp ro je k tio n e n von d rei VViir- fe lk a n te n b e tr a c h te t w erden kö n nen (Figur 24).

Aufl. Man mache Dreieck A I ) F ähnlich A B D , indem man -3c «i = « und ß1 — ß macht, und vollende das Parallelogramm B A F G . Darauf verlängere man GA über A hinaus um sich selbst bis II. Die Halbierungslinie des Winkels B A H giebt dann die Richtung der dritten Wiirfelkante A B an, deren Länge als mittlere Proportionale von A B und A H zu konstruieren ist. Letztere tindet man bekanntlich, indem man A J = A B macht, über 11J als Durch­

messer einen Halbkreis schlägt und in A auf diesem das Lot A K errichtet. Macht man A l i — A K , so ist b) der Endpunkt der dritten Würfelkante, die übrigens auch als Verlängerung über A hinaus gezeichnet werden kann, so dafs man noch einen zweiten Würfel er­

hält. Die Vervollständigung der Figur ist einfach. Noch ist zu er­

wähnen, dafs jede solche b'igur zw ei Auffassungen zuläfst. Statt nämlich die von X ausgehenden Kauten zu punktieren, konnte mau diese auszeichnen und die von B ausgehenden punktieren. Dann ist X vorn, B hinten gedacht. Die Zahl der Lösungen ist also 4, von denen je zwei sich decken.

(Der Beweis für die Richtigkeit ergiebt sich daraus, dafs A B nach Länge und Richtung als Einheit angenommen worden is t A F ist das Quadrat der Strecke AD , A B ist sein eigenes Quadrat, A H ist die Umkehrung der Residtante beider Strecken, also A B -J- A F -}- A H im Sinne der Streckentheorie gleich Null. A E endlich ist die Quadratwurzel aus A H .)

Die drei entsprechenden Aufgaben, die jetzt gelöst werden kön­

nen, sind folgende:

A ufgabe 15.

G egeben A B nach G röfse uud R ic h tu n g , A D

und A E n ach R ic h tu n g . D er W ü rfe l so ll v o lle n d e t werden.

§ 3. Das Oktaeder und seine Kombinationen. 13

A u fgab e 16.

G egeben A B n ach G röfse und R ic h tu n g , A l ) und A E nach der G röfse. D en W ü rfe l zu v o lle n d e n .

A ufgabe 17.

G egeben A B n ach G röfse und R ic h tu n g , A I ) n ach G rö fse, A E n ach R ic h tu n g . D en W ü rfe l zu v o ll­

enden.

Für besonders geeignete axonometrische Darstellungen hat man Tabellen über die auftretenden Längenverhältnisse und Winkel an­

gefertigt. Diese Tabellen können auf dem Wege der Rechnung oder der obigen Konstruktionen hergestellt werden.

Von den obengenannten Fundamentalaufgaben aus ist man im­

stande, sich die ganze Axonometrie selbständig aufzubauen, d. h. die wichtigsten stereometrischen Gestalten korrekt zu konstruieren, ohne, wie vorher, von Grundrifs und Aufrifs einfachster Art auszugehen und durch Drehungen zur allgemeinen Lage zu gelangen.]

Der Würfel und seine Kombinationen spielen in der Mineralogie eine wichtige Rolle. In solchen Formen krystallisieren z. B. Stein­

salz, Flufsspat, Granat, Silber, Kupfer, Gold, Bleiglanz, Schwefelkies.

§ 3.

Das regelmäfsige Oktaeder und seine Kombinationen in verschiedenen Darstellungen.

A u fgab e 18.

D as re g e lm ä fsig e O k taed e r (8 -F lach ) in u n ­ s e re r s c h rä g e n P a r a lle lp e r s p e k tiv e zu zeich n en , und zw ar in e in fa c h s te r Lage.

Aufl. Man ziehe A B (Fig. 25) senkrecht gegen CD, und zwar so, dafs M A = M B = M C — M D ist, lege sodann E F durch M unter 30° gegen A B geneigt, so, dafs M E = M F — \ A M ist.

Diese Figur bezeichnet man als die des re g e lm ä fs ig e n A xen- kreuzes. Verbindet man C und 1) mit A, E, B und F, und zeich­

net man das Parallelogramm A E B F , so ist das regelmäfsige Okta­

eder konstruiert. Dasselbe ist von gleichseitigen Dreiecken begrenzt.

B em erk u ng : Warum sind die Dreiecke in Wirklichkeit gleich­

seitig? — Die nicht horizontalen Kanten haben die Neigung 45°.

Warum? — Die Neigung der Flächen läfst sich durch Zeichnung und durch trigonometrische Rechnung bestimmen. Wie?

A ufgabe 19.

Das v o rig e O k tae d e r

\ d er K a n te n lä n g e ab zu stu m p fen .

B em erk un g : Figur 2(3 ist leicht aus Figur 25 herzustellen.

A ufgabe 20.

A uf die O k ta e d e rflä c h e n g erad e P y ra m id e n

von g e g eb e n e r H öhe au fzusetzen.

1 4 Kapitel I.

Aufl. Soll auf ein gleichseitiges Dreieck eine gerade Pyramide aufgesetzt werden, so hat man zunächst im Mittelpunkte, d. li. im Durchschnittspunkte seiner Mittellinien ein Lot zu errichten. In Figur 25 steht nun über jedem Oktaederdreieck eine solche Pyra­

mide mit der Spitze M , also nach innen gerichtet. Verbindet man also M mit dem Mittelpunkte eines solchen Dreiecks, z. B. von A E C , so hat man die gesuchte Lotrichtung. Die Konstruktion in Figur 27 ist also folgendermafsen durehzuführen: Man halbiere A E in K, ziehe KG und schneide davon den dritten Teil K X ab. Man ziehe M X und verlängere diese Linie über X hinaus. Soll nun z. B.

die Höhe X I r der dritte Teil von M X sein, so ist Y leicht zu kon­

struieren. Die Geraden A Y , G Y und E Y sind die gesuchten Pyra­

midenkanten.

Ebenso verfahre man mit den anderen Dreiecken.

B em erk u n g : Bei richtiger Zeichnung bilden Y, Z, V und W ein Quadrat. — Der Körper heifst das P y ra m id e n O k ta e d e r, oder T r ia k is -O k ta e d e r, d. h. 3 mal 8-Flacli.

A ufgabe 21.

D as R h o m b en -D o d ek a ed er aus dem O k taed e r zu k o n s tru ie re n .

A ufl. Man beginne, wie in der vorigen Zeichnung, verlängere aber M X so w eit, bis der Endpunkt Y senkrecht über K liegt.

Macht man es unten mit V ebenso, so fallen die Flächen A E Y und A E V als senkrecht stehende zusammen. Verfährt man an den an­

deren Stellen ebenso, so hat man das Rhombendodekaeder genau so, wie früher in Figur 18.

A ufgabe

22. D as P y ra m id e n o k ta e d e r der F ig u r 27 soll an den P y ra m id e n s p itz e n um f d er d o r tig e n K a n te n lä n g e a b g e s tu m p ft w erden.

B em erk u n g : Die aus Figur 27 leicht abzuleitende Zeichnung ist zugleich die des an den Kanten z u g e s c h ä rfte n O k taed ers.

A u fgab e 23.

Das O k ta e d e r so a b z u k a n te n , dafs ein g e ­ g e b en e r B r u c h te il der K a n te n w eg fällt.

B em erkung: Die Konstruktion geschieht nach Analogie von Aufgabe 11. Das Resultat entspricht der Figur 20, giebt also ein an den Dreikantecken abgestumpftes Rhombendodekaeder.

A ufgabe 24.

A x enk reu z und O k taed e r in G ru n d rifs und A u frifs in v e rsc h ie d e n e n L agen zu zeichnen.

B em erk u n g : In Figur 28 a, b und c ist die Aufgabe gelöst.

Die einfachste Stellung in 28 a erläutert sich selbst. Die beiden an­

deren sind, wie bei dem Würfel, durch die Drehungsmethode gefun­

§ 4. Das Tetraeder und seine Kombinationen. 1 5

den, d. h. in 28b ist oben gedreht und unten horizontal verschoben, in 28 c unten gedreht und oben verschoben. Die allgemeinste Lage erhält man, indem man noch einmal oben dreht und unten verschiebt.

Verbindet man die Endpunkte der Axen durch Gerade mit einander, so ist das Oktaeder gezeichnet.

[A ufgabe 25.

F ü r das O k ta e d e r so lle n d ie se lb e n axono- m e trisc h e n A u fg ab en g e lö s t w erden, die in A u fg ab e 14 bis 17 fü r den W ü rfel g e lö s t w urden.

B em erkung: Die Halbaxen des Oktaeders verhalten sich dabei ebenso, wie Würfelkanten.J

A ufgabe 26.

D ie b e re its b e s p ro c h e n e n K o m b in a tio n e n des O k ta e d e rs in G ru n d rifs und A u frifs zu z e ic h n e n , und zw ar in a llg e m e in s te r Lage.

Aufl. Man zeichnet das Oktaeder selbst in allgemeinster Lage und operiert sodann an ihm ebenso, wie bei der Schrägperspektive.

\ufgabe 27. Dasselbe soll im Anschlufs an Aufgabe 25 durch direkte axonometrische Zeichnung geleistet werden.]

B e m e rk u n g : Das regelmäfsige Oktaeder nebst seinen Kombi­

nationen ist für die Mineralogie von gleicher Bedeutung, wie der Würfel. In diesen Formen krystallisieren z. B. Magneteisen, einige andere Eisenerze, Rotkupfer, Schwefelkies, Bleiglanz, Silberglanz, Gold, Platin, Alaun u. s. w.

§ 4.

Das regelmäfsige Tetraeder, seine Kombinationen und seine Beziehungen zum Oktaeder.

Das regelmäfsige Tetraeder (Vierflach) ist die regelmäfsige drei­

seitige Pyramide, die also nur von gleichseitigen Dreiecken be­

grenzt ist.

A u fgab e 27.

Das re g e lm ä fs ig e T e tr a e d e r

v e rs c h ie ­ dene L ag en in G rund- und A u frifs zu k o n s tru ie re n .

A ufl. In Figur 29 ist im Grundrifs das Basisdreieck A B C ge­

zeichnet, und zwar so, dafs A B senkrecht steht; ein anderes, A B E ,

daneben. Denkt man sich das letztere um A B gedreht, so wandert

E in Wirklichkeit auf einem Halbkreise nach C. Dieser Halbkreis

ist im Aufrifs als solcher dargestellt, im Grundrifs erscheint er als

die Gerade CE. Irgendwo auf C E resp. der Höhe CD mufs die

Spitze der Pyramide im Grundrifs liegen. Ebenso kann man es mit

den an A C und an B C anstofsenden Dreiecken machen. Da aber

die drei Höhen des Dreiecks A B C im Grundrifs sich in einem

16 Kapitel 1.

Punkte F schneiden, so ist F gleichzeitig die Darstellung der Spitze M und es sind A M , B M und G M die Zeichnungen der fehlenden Pyramidenkanten. Im Aufrifs endlich findet man die Pyramidenspitze senkrecht über dem M des Grundrisses auf dem Halbkreise über GE.

Die Zeichnung ist also laicht zu vollenden.

Durch oben und unten abwechselnde Drehungen und Verschie­

bungen erhält man die allgemeinen Lagen.

B em erk u n g : Im Folgenden soll die Methode, die durch das Auf'klappen der Flächen zur Konstruktion der wirklichen Gestalt führt, stets als A u fk la p p m e th o d e bezeichnet werden. Nach ihr kann man jeden Körper zeichnen, dessen „ N etz“ man kennt. So stellt z. B. Figur 30 das Netz des regelmäfsigen Tetraeders vor.

Aus solchen Netzen werden die Papp-Modelle der Körper ver­

fertigt.

A ufgabe 28.

Die F ig u r 29 so ll in u n sere P a r a l l e l p e r ­ s p e k tiv e u m g e s e tz t w erden.

Aufl. Zunächst ist die Grundrifsfigur A B C in Parallelperspek­

tive zu zeichnen. Zu diesem Zwecke legt man CD horizontal hin (Figur 31), trägt A B unter 30° Neigung und J, Verkürzung an und vollendet das Dreieck A B C . Macht man D F = \ D C und zieht man das Lot F M gleich dem Aufrifslote F M in Figur 29, so hat man die Spitze der Pyramide, die nun leicht zu vollenden ist,

A ufgabe 29.

D en M itte lp u n k t des re g e lm ä fs ig e n T e t r a ­ eders zu k o n s tr u ie re n (Fig. 32).

Aufl. Ist F M die Höhe des Tetraeders, und schneidet man von F aus den vierten Teil dieser Höhe ab, so hat man den Mittel­

punkt Z desselben.

B em erk u n g : Zieht man noch MD, und macht man D G — \D M , so ist ('G genau ebenso eine Höhe des Tetraeders, wie MF. Dafs der Schnittpunkt Z der beiden Höhen, also der Mittelpunkt, mit dem oben konstruierten Punkte Z zusammenfällt, ergiebt sich zus der Ähnlichkeit der Dreiecke C Z M und F G Z . Da nämlich DG = !, DM, so ist auch F G = \C M , folglich auch F Z — \ Z M , also F Z = \ F M . Ebenso, wie CG die Höhe F M in jenem Punkte Z trifft, so treffen auch die anderen Höhen F M in Z. Da nun alle Höhen gleich sind, so ist auch Z von allen Ecken der Pyramide gleichweit entfernt, ebenso von allen Flächen des Körpers. Der Name Mittelpunkt ist also vollständig berechtigt.

B em erk un g : In gleicher Weise läfst sich zeigen, dafs die

Linien von den Ecken des unregelmäfsigen Tetraeders nach dem

§ 4. Das T etra ed er und seine K om binationen 17

Mittollinien-Schnittpunkte der Gegenfläche sich in einem Punkte schneiden, der von jeder \ der Länge abschneidet.

A ufgabe 30.

E in re g e lm ä fs ig e s T e tr a e d e r in P a r a l l e l ­ p e rsp e k tiv e zu zeic h n en , au f d essen F lä c h e n in den M itte l­

p u n k te n L ote e r r i c h t e t sin d , die dem fü n fte n T eile der T e tra e d e rh ö h e g le ic h sind. D iese L o te s o lle n die S p itz e n von P y ra m id e n sein , die den T e t r a i; d e r 1' 1 ä c li e n a u fg e ­ s e tz t sind.

Aufl. Man verlängere jede Höhe des Tetraeders über die Basis­

fläche hinaus um \ der Länge und verbinde die neuen Endpunkte mit den Ecken der zugehörigen Fläche (Figur 33).

B em erk u n g : Der entstehende Körper, dessen Pyramidenhöhe auch eine andere sein darf, lieifst P y r a m id e n - T e tr a e d e r oder T r ia k is -T e tra e d e r, d. h. 3 mal 4-Flach.

A ufgabe 31.

A n einem re g e lm ä fs ig e n T e t r a e d e r so lle n die K an ten h a lb ie r t und die H a lb ie r u n g s p u n k te m ite in a n ­ der v e rb u n d e n w erden. W as e n ts te h t?

B em erk un g: In Figur 34 ist das Verlangte durchgeführt. Es ist leicht zu beweisen, dafs die entstehende Figur ein regelmäfsiges Oktaeder giebt, welches in der Figui- mit einer seiner Flächen aufliegt.

^ u fg a b e 32.

D as re g e lm ä fs ig e T e tr a e d e r aus dem O kta- 5 ? d d a d u r c h a b z u le ite n , d afs m an die F läc h en des l e tz te ­

re n a b w e c h se ln d s te h e n u nd w eg falleil lä f s t, und aus den uden d u rch V e rlä n g e ru n g e in e n g esch lo ssen en . a u ii. .in Figur 35 ist ein regelmäfsiges Oktaeder in Parallel­

perspektive und in unterbrochenen Linien gezeichnet. Man lasse die Flächen A B E , C D E , E G E und A D F wegfallen. Von den stehen bleibenden Flächen gehen A D E und B C E durch die Parallelen A l ) und 7j C, verlängert schneiden sie sich also in einer „Dachfirste“

X II , die parallel zu A I ) und E C ist. Ebenso geben A E E und DCF die „Dachfirste“ (Schnittlinie) Y Z parallel zu A l l und CE]

A B F und C B E geben die Schnittlinie X Y parallel zu A F und ECj B F A und A E E geben die Schnittlinie X Z parallel zu B F und E l ) u. s. w. Der Gesamtkörper X Y W Z ist das gesuchte Tetraeder.

■ B em erk u n g : Figur 35 ist dieselbe wie 34, nur in anderer Läge, die Konstruktion selbst eine Umkehrung der vorigen. Man erhält dasselbe, wenn man auf die Oktaederflächen regelmäfsige Tetraeder aufsetzt. Die Krystallographie nennt jeden Körper, der dadurch ent­

steht, dafs man von einem Krystall die eine Hälfte der Flächen in

H o 1 z in ü 11 c r , stiucom etrisclics Zciehuen.

18 Kapitel l.

gesetzmäfsiger Weise

die andere aber stehen Hilst, den H a lb f lä c h n e r oder die H e m ie d rie des letzteren.

So ist also das regelmäfsige Tetraeder die Hemiedrie des regel­

mäfsigen Oktaeders. Einige andere Halbflächner werden wir noch kennen lernen. — Offenbar sind in der Figur die Totraöderkanten doppelt so lang als die Oktaederkanten.

Aufgabe 33. D as re g e lm ä fs ig e T e tra e d e r um ein en B ru c h ­ te il d er K a n te n a b z u stu m p fe n (Abstumpfung um die Hälfte giebt z. B. das Oktaeder).

Aufgabe 34. D a sse lb e um einen B ru c h te il der K a n te n a b z u k a n te n .

Aufgabe 35. Das Py ra m id e n - T e tr a e d e r an den Py ram i- d e n s p itz e n g le ic ln n ä fsig ab zu stu m p fe n . (Man kann dadurch das zugeschärfte Tetraeder erhalten.)

B em e rk u n g : In Tetraederform krystallisieren z. B Zinkblende und Fahlerz.

§ 5.

Das regelmäfsige Pentagon-Dodekaeder, und seine Beziehungen zum Pyramidenwürfel.

Dafs das regelmäfsige Pentagon-Dodekaeder (Fünfecks-Zwolfflach) wirklich existiert, werde zunächst als richtig angenommen, womit, sich die meisten Lehrbücher der Stereometrie zu begnügen pflegen.

Es soll versucht werden, den Aufbau des Körpers aus regelmäfsigen Fünfecken nach der Aufklappmethode zu verfolgen und den Vorgang in Grund- und Aufrifs zu fixieren.

Aufgabe 36. D as re g e lm ä fs ig e P e n ta g o n -D o d e k a e d e r in G ru n d - und A u frifs fü r eine b e s o n d e rs ein fa ch e S te llu n g zu zeichnen.

Aufl. In Figur 36 sind zunächst drei regelmäfsige Fünfecke ABCDJE, A F (

I I B und A E X Y Z im Grundrifs aneinander ge­

legt, und zwar so, dafs A B vertikal erscheint. Die gleichnamigen Punkte im Aufrifs sind die entsprechenden. Klappt man Fünfeck A E G H B um die Kante A B , so bewegt sich jeder seiner Punkte auf einem Kreise, der im Aufrifs als Kreis um yl, (/>’,), im Grundrifs als Horizontale erscheint. Im Grundriß wandert I I in der Richtung HC, G in der Richtung GH, F in der Richtung FF . Klappt man gleichzeitig das Fünfeck A E X Y Z um die Kante A E , so wandert

D o '

im Grundrifs der Punkt Z in der Richtung Z B . Die Linien F E

und Z B schneiden sich in einem Punkte 0. Dreht man beide Fünf­

§ 5. Das Pentagon-Dodekaeder. 1 9

ecke so weit, dafs F nach 0 und Z nach O wandert, so legen sich die Linien A F und A Z in der Kante A O aneinander, d. h. der erste Schritt zum Aufbau des Körpers ist geschehen. Im Aufrifs ist F so weit nach oben gedreht, dafs es in 0 1) d. h. senkrecht über 0, festgelegt ist. Durch die Verlängerung von A 10 l findet man den Schnittpunkt N s mit dem anderen Kreise. In N also, d. h. senkrecht unter N 1} ist die Wanderung des Punktes Cr zu Ende, d. h. A 0 A PIS ist die Zeichnung des einen Fünfecks in der neuen Lage im Grund­

rifs, die gerade Linie A xN t mit den Punkten A 10 1^ 1P1B l giebt die neue Lage im Aufrifs an.

Um den Grundrifs zu vollenden, hat man um den Mittelpunkt M des einen Fünfecks einen Kreis zu schlagen, der durch N resp.

0 geht, wobei sich übrigens herausstellen wird, dafs beide Punkte auf demselben Kreise liegen, was hier nur vorläufig bemerkt werden soll. Demnach gruppieren sich um das horizontale Fünfeck im Grund­

rifs die fünf benachbarten so, dafs sie ein re g e lm ä fs ig e s Z ehneck bilden. Die andere Hälfte der Flächen erscheint im Grundrifs genau ebenso, nur ist das oberste Fünfeck gegen das unterste so gelegen, dafs den Ecken des einen die Seiten des anderen entsprechen.

Ist dieses Resultat einmal bekannt, so läfst sich die Aufgabe für den Grundrifs schneller lösen.

Die Aufrifsfigur ist nun leicht vollendet: die Horizontale durch 0 1 giebt die Höhe der einen Punktschicht an, die Horizontale durch

die einer zweiten Schicht. Durch senkrechtes Heraufprojizieren aus dem Grundrifs findet man die Punkte J 1} Ls, S L, Ul leicht auf.

Die oberste Punktschicht liegt genau so hoch über N 1} J lf St, wie die Schicht ü t , L u Ot über l ) l; E l} A t. Damit ist die Auf­

gabe gelöst.

[Für mathematische Zwecke läfst sich an dieser Stelle die Not­

wendigkeit der Existenz des Pentagondodekaeders nachweisen, d. li.

es läfst sich zeigen, dafs das Netz von 12 regelmäfsigen Fünfecken wirklich einen geschlossenen Körper geben mufs. In Figur 37 sind drei der Fünfecke mit ihren umgeschriebenen Kreisen gezeichnet.

Zwei dieser Kreise schneiden sich in 0, und aus der Betrachtung der Fünfeckswinkel ergiebt sich leicht, dafs der Peripheriewinltel O A F

— 18° ist. Da ferner die Horizontale durch F gleichfalls mit F A

einen Winkel von 18° bildet, so geht sie, wie leicht zu zeigen, durch

den Kreisschnitt 0 , und A O ist sowohl für den Kreis N , als auch

für die Kreise J und M die Seite des regelmäfsigen einbeschriebenen

Zehnecks. Bezeichnet man diese mit g, den Kreisradius mit r, so

20 Kapitel I.

ist nach bekannter Rechnung (goldner Schnitt) tj — * (j/ö — 1).

Da nun OA (ebenso P B ) verlängert durch M geht, so ist MO = r + y.

Es ist aber auch M K in L nach dem goldenen Schnitt, geteilt, denn K B — B L = M L ist die Zchnecksseite, folglich ist auch

M L + L N = M N = r + g,

d. li. der K re is um M m it R ad iu s MO g e h t d u rc h den Ivreis- m itte lp u n k t N.

Jetzt mufs bewiesen werden, dafs der Weg des Punktes G beim Aufklappen genau bis N geht. Läfst sich aber beweisen, dafs

X Z : X N = X Y : X G

ist, so läfst sich in der That das Fünfeck A B P JS O als Aufklappung des Fünfecks A B H G F betrachten. Die Proportion ist aber richtig, denn es ist X Z = r — L X — Z N — r — - 2 ^ ----= -* ,

X N = r — L X =

X Y = X N + l = - X G = X N + Art R ' Die obige Proportion reduziert sich also auf

(/ = r -J- 2g : -(- g , oder auf

9 i 9

r = r g + g - .

Diese Gleichung ergiebt sich aber als richtig, sobald man den

"Wert g = (Vö — 1) einsetzt. Die obige Proportion war also ebenfalls richtig.

Damit ist bewiesen, dafs die 6 untersten Flächen als regel- mäfsio’es Zehneck erscheinen müssen.

Dasselbe mufs demnach mit den Testierenden 6 Flächen der Fall sein. Beide Körperhälften müssen sich also schliefsend aufeinander klappen lassen, so dafs eben, wie behauptet, ein geschlossener Körper entsteht.]

B em erk u n g : Es läfst sich aus dem paarweisen Parallelismus im Aufrifs der Figur 36 leicht beweisen, dafs die Linie J 1i 1 eine Symmetrielinie ist, und dafs dasselbe von der nicht gezeichneten Linie A i W1 gilt. Man suche auch zu beweisen, d afs die P u n k te E 10 1Qi Si ein Q u a d ra t b ild e n , ein Umstand, der bei einer späte­

ren Betrachtung zur Geltung kommen wird.