Kryteria zbie· zno´sci bezwzgl ¾ ednej

Szeregi liczbowe

Szeregiem o wyrazach an dla n > n0 nazywamy ci ¾ag fSⁿg^n>n0zadany wzorem

S_n :=

n k=1a_k. Oznaczamy go symbolem ¹

n=n0

a_n

Ci ¾ag fSⁿg^n>n0 nazywamy tak·ze ci ¾agiem sum cz ¾e´sciowych szeregu ¹

n=n0

an: Tym samym symbolem ¹

n=n0

a_noznaczamy równie·z granic ¾e ci ¾agu fSⁿg^n>n0, o ile granica ta istnieje — nazywamy j ¾a wówczas

sum ¾a szeregu ¹

n=n0

a_n.

Podstawowy warunek konieczny zbie·zno´sci

Twierdzenie (o warunek konieczny zbie·zno´sci szeregu). Je·zeli szereg ¹

n=n0

a_n jest zbie·zny, to lim

n!1a_n = 0.

Dowód.

Za÷ó·zmy, ·ze ¹

n=n0

an = g. Dla n > n0+ 1 mamy a_n = S_n S_{n 1} ! g g = 0.

Uwaga: Szereg o wyrazach nieujemnych posiada sum ¾e rzeczywist ¾a lub równ ¾a +1.

Jest on zbie·zny wtedy i tylko wtedy gdy jego ci ¾ag sum cz ¾e´sciowych jest ograniczony z góry.

Mówimy, ·ze szereg ¹

n=n0

a_njest bezwzgl ¾ednie zbie·zny, je·zeli zbie·zny jest szereg ¹

n=n0jaⁿj

TwierdzenieJe´sli szereg jest bezwzgl ¾ednie zbie·zny, to jest zbie·zny.

1

Kryteria zbie· zno´sci bezwzgl ¾ ednej

Kryterium porównawcze: Je´sli 0 a_n b_ndla wszyskich n wi ¾ekszych od pewnego n0 oraz szereg ¹

n=n0

b_n jest zbie·zny, to szereg ¹

n=n0

a_n jest tak·ze zbie·zny.

Je´sli 0 a_n b_n dla wszyskich n wi ¾ekszych od pewnego n0oraz ¹

n=n0

a_n= 1 jest rozbie·zny, to ¹

n=n0

b_n=1.

Kryterium d’Alemberta: Niech cn = ^an+1_a

n . Je´sli lim

n!1c_n < 1, to szereg ¹

n=n0

a_n jest zbie·zny bezwzgl ¾ednie. Je´sli lim

n!1c_n > 1, to szereg ¹

n=n0

a_n jest rozbie·zny.

Kryterium Cauchy’ego: Niech cn = pⁿa_n. Je´sli lim

n!1c_n < 1, to szereg

1 n=n0

a_n jest zbie·zny bezwzgl ¾ednie. Je´sli lim

n!1c_n > 1, to szereg ¹

n=n0

a_n jest rozbie·zny.

Szeregi zbie· zne warunkowo i szeregi naprzemienne

Kryterium Leibniza: Je·zeli ci ¾ag (an) jest monotoniczny od pewnego miejsca oraz lim

n!1a_n= 0, to szereg ¹

n=n0

( 1)ⁿa_n jest zbie·zny.

Przyk÷ad. Szereg ¹

n=n0

( 1)ⁿ

n jest zbie·zny.

Ogólniej, dla 2 (0; 1] szereg _n=n¹

0

( 1)ⁿ

n jest zbie·zny, chocia·z nie jest zbie·zny bezwzgl ¾ednie.

2

Szeregi pot¾ egowe

Szeregiem pot ¾egowymnazywamy rodzin ¾e wszystkich szeregów liczbowych danych wzorem

1 n=n0

a_n(x x₀)ⁿ

dla x 2 R , gdzie (aⁿ)jest ustalonym (tj. niezale·znym od x) ci ¾agiem liczb zwanych wspó÷czynnikami szeregu pot ¾egowego oraz x0 jest ustalon ¾a liczb ¾a zwan ¾a ´srodkiem szeregu pot ¾egowego. Zbiór Z z÷o·zony z tych x 2 R dla których szereg powy·zszy jest zbie·zny to zbiór zbie·zno´sci szeregu pot ¾egowego, a funkcja S : Z ! R zadana dla x 2 Z wzorem S(x) := _n=n¹

0

a_n(x x₀)ⁿ jest nazywana sum ¾a tego szeregu pot ¾egowego.

Twierdzenie. Zbiór zbie·zno´sci szeregu pot ¾egowego

1 n=n0

a_n(x x₀)ⁿ jest przedzia÷em o ´srodku w punkcie x0.

Po÷ow¾e d÷ugo´sci tego przedzia÷u nazywamy promieniem zbie·zno´sci sz- eregu pot ¾egowego.

uwaga: Je·zeli szereg liczbowy ¹

n=n0

a_nxⁿ jest zbie·zny dla pewnego x 2 R, to dla dowolnego y takiego, ·ze jyj < jxj szereg _n=n¹

0

a_nyⁿ jest bezwzgl ¾ednie zbie·zny.

3