Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2017/18
Zadania do omówienia na ćwiczeniach 29.01.2018 (grupa 1 lux).
731. Na potrzeby tego zadania funkcję dwukrotnie różniczkowalną f :R→R na- zwiemy superwypukłą, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność f00(x) 1.
Dowieść, że dowolna funkcja superwypukła spełnia nierówność f (1) ¬f (0) + f (2)
2 −1
2.
732. Niech funkcja f :R→R będzie funkcją odwrotną do funkcji g :R→R zdefino- wanej wzorem
g(x) =x3 3 + x .
Podać w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego wartości pochodnej dru- giego rzędu funkcji f w podanych punktach.
f00
4 3
= . . . f00
14 3
= . . . f00(12) = . . . .
733. Udowodnić nierówność
26 · earctg 5< 25 · earctg 7.
734. Dana jest funkcja f :R→Rokreślona wzorem f (x) =√4
x2+ 12 . Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi nierówność
|f (x) − f (y)| ¬|x − y|
6 .
735. Rozstrzygnąć, która z liczb jest większa:
arctg 100 + 2 · arctg 103 + 3 · arctg 106 czy 6 · arctg 104 ?
Lista 65 - 76 - Strona 76
![1. Funkcję f : [0, 1] → R interpolujemy kawałkami wielomianem w f stopnia r − 1 na pododcinkach [(i − 1)/k, i/k], 1 ¬ i ¬ k. Wykaż, że jeśli f ∈ C r−1 ([0, 1]) oraz f (r−1) spełnia warunek Lipschitza ze stałą M to błąd interpolacji](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)