Matematyka podstawowa V Ciągi
Teoria ciąg arytmetyczny
- pierwszy wyraz ciągu - różnica
Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy .
= +
Np. = 2, = 3 : 2, 5, 8, 11
= −4, = 2 : − 4, −2,0,2, 4
Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
= + − 1
Suma n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
= +
2 ·
Własności ciągu arytmetycznego
= +
2
Teoria ciąg geometryczny
-pierwszy wyraz ciągu - iloraz
Kolejny wyraz ciągu geometryczny powstaje po pomnożeniu poprzedniego wyrazu przez iloraz q.
= ·
Np. = 3, = 2 3, 6, 12, 24
Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
= ·
Suma n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
= · lub = · dla = 1 Własności ciągu geometrycznego
= ·
Kapitalizacja:
Proces dopisywania co roku przez bank odsetek
= !· 1 + " dla kapitalizacji rocznej = !· 1 +#$ $ , gdzie x-ilość kapitalizacji w roku
!- k początkowy
"- stopa procentowa - liczba lat
x- ilość kapitalizacji w roku Zadania:
1. Wpłacono 6000zł na konto oprocentowane na 5% w skali roku. Ile będzie pieniędzy na koncie po 7 latach, jeżeli odsetki są dopisywane raz w roku?
2. Wpłacono 8000zł na konto oprocentowane na 4% w skali roku. Ile będzie pieniędzy na koncie po 5 latach, jeżeli odsetki będą dopisywane co pół roku?
3. Wpłacono 4000zł na konto oprocentowane na 8% w Kali roku. Ile będzie pieniędzy na koncie po 9 latach, jeżeli odsetki dopisywane są co kwartał?
Zadania wprowadzające (ciąg arytmetyczny i geometryczny):
1. Dla podanych ciągów arytmetycznych wyznacz pierwszy wyraz i różnicę. Oblicz wartość %! i &!
a) , 7, 14, 21 b) , −7, −5, −3
2. Liczby 102, 105, 108, 111… są kolejnymi, początkowymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego. Zapisz wzór na n-ty wyraz ciągu. Oblicz ( .
3. Wyznacz x jeżeli liczby ) − 3, 5, ) + 7 są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.
4. Liczby 2, ) − 3, 8 są kolejno pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.
5. Wyznacz ciąg arytmetyczny *= 12, ( = 18.
6. Wyznacz ciąg arytmetyczny mając dane + + , = −8
%+ - = −16.
7. Dla podanych ciągów arytmetycznych oblicz sumę pierwszych dwudziestu wyrazów a) 3, 5, 7, 9, 11…
b) −4, −1, 2, 5, 8, …
8. Wyznacz ciąg arytmetyczny tzn. / mając dane + % = 8
- = 57. 9. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych.
10. Zbadaj czy podane ciągi są geometryczne a) = 3
b) = 2
11. Dla poniższych ciągów geometrycznych podaj i iloraz a) 3, 6, 9, …
b) 8, 4, 2, …
12. Wyznacz x, jeżeli liczby 4, 2) + 6, 100 są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.
13. Wyznacz ciąg geometryczny mając dane = 10, % = 20.
14. Dla poniższych ciągów geometrycznych oblicz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów a) 2, 6, 18, …
b) 16, 8, 4, …
15. Które z podanych ciągów są arytmetyczne?
a) 1, 2, 3, 4, 5, … b) 2, 4, 8, 16, 32, … c) −2, −4, −6, −8, … d) 1, 2, 5, 7, 8, … e) , 1, 1 , 2 , 3, 3 , …
f) 1, 4, 9, 16
16. Podaj 5 początkowych wyrazów ciągu a) = 3
b) = 5 − 1 c) = + 1 d) 2 −
17. Sprawdź czy ciąg = 2 − 1 jest arytmetyczny.
18. Oblicz sumę początkowych dziesięciu wyrazów ciągu arytmetycznego = 3 − 2.
Zadania:
1. Suma 2 początkowych liczb naturalnych dodatnich parzystych jest równa a) = 8 + 4
b) = 4 + 2
c) = 4 +
d) = 2 + 2
2. Iloraz ciągu geometrycznego o wyrazie ogólnym = 2 · 7 jest równy a) = 2
b) = 7 c) = 9 d) = 28
3. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym = − + 16 dla ≥ 1. Liczba dodatnich wyrazów tego ciągu jest równa:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 7
4. W ciągu arytmetycznym ( drugi wyraz jest równy 7, a szósty 17. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu .
5. Dane liczby: ) =√*% , 4 =√* + 1, 5 = 3√5 + 2 tworzą rosnący ciąg arytmetyczny w kolejności:
a) 5, 4, ) b) 4, ), 5 c) ), 4, 5 d) 5, ), 4
6. Kwotę 10 000 zł wpłacamy do banku na 4 lata. Kapitalizacja odsetek jest dokonywana w tym banku co kwartał, a roczna stopa procentowa wynosi 3%. Po 4 latach kwotę na rachunku będzie można opisać wzorem
a) 10000 · 1, 0075 &
b) 10000 · 1,03 &
c) 10000 · 1,03 - d) 10000 · 1,0075 -
7. W ciągu geometrycznym ( dane są: = 36, = 18. Wtedy a) & = −18
b) & = 0 c) & = 4,5 d) & = 144
8. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
9. Dany jest ciąg ( określony wzorem = dla ≥ 1. Wówczas a) % =
b) % = − c) % = %( d) % = −%(
10. Ciąg ( jest określony wzorem = √2 + 4 dla ≥ 1. Wówczas a) ( = 2√5
b) ( = 8 c) ( = 5√2 d) ( = √12
11. Ciąg 2√2, 4, jest geometryczny. Wówczas a) = 8√2
b) = 4√2 c) = 8 − 2√2 d) = 8 + 2√2
12. Suma = + + ⋯ + początkowych wyrazów pewnego ciągu
arytmetycznego ( jest określona wzorem = − 2 dla ≥ 1. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.
13. Dany jest ciąg ( określony wzorem = −1 · 8 dla ≥ 1. Wówczas wyraz
* tego ciągu jest równy a) − %*
b) %
*
c) − ,* d) ,*
14. Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 20˚. Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę
a) 40˚
b) 50˚
c) 60˚
d) 70˚
15. Ciąg 9, ), 19 jest arytmetyczny, a ciąg ), 42, 4, 5 jest geometryczny. Oblicz ), 4, 5.
16. Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa 500zł. Za pięć tych akcji zapłacono 2300zł. Cena szóstej akcji jest równa
a) 400zł b) 500zł c) 600zł d) 700zł
17. Osiemnasty wyraz ciągu arytmetycznego 3, 7, 11, … jest równy a) 71
b) 68 c) 75 d) 72
18. Pan Jan spłacał kredyt w wysokości 15000zł w sześciu ratach, z których każda kolejna była o 500zł mniejsza od poprzedniej. Pierwsza rata była równa
a) 2500zł b) 3750zł c) 7500zł d) 3250zł
19. Wykaż, że liczby √%% ,% √%- ,√%& są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
20. Liczy 64, ), 4 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.
21. W ciągu geometrycznym ( dane są =√% i % = −%. Wtedy wyraz jest równy a) −
b) c) −√%
d) √%
%
22. Ciąg arytmetyczny ( jest określony wzorem = −2 + 1 dla ≥ 1. Różnica tego ciągu jest równa
a) −1 b) 1 c) −2 d) 3
23. W ciągu geometrycznym ( dane są =√ / % = −1. Wtedy wyraz jest równy
a) − b) c) −√2 d) √2
24. Liczby 27, ), 3 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz ósmy wyraz tego ciągu.
25. Ciąg arytmetyczny ( jest określony wzorem = 2 − 1 dla ≥ 1. Różnica tego ciągu jest równa
a) −1 b) 1 c) 2 d) 3
26. Liczby ), 4, ) + 2 są w podanej kolejności drugim, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa
a) 2 b) 3 c) 6 d) 1
27. Wciągu geometrycznym ( są dane: = −1, = −2. Suma czterech kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
a) 2,5 b) −7,5 c) −2,5 d) 7,5
28. Liczby 2) + 1, 6, 16) + 2 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.
29. Ile wyrazów ujemnych ma ciąg ( określony wzorem = 2 − 9 dla ≥ 1?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
30. W ciągu geometrycznym ( mamy % = 5 / & = 15. Wtedy wyraz * jest równy a) 10
b) 20 c) 75 d) 45
