Städtisches Gymnasium zu Marienburg. Zu der Donnerstag , den 2. April 1868 stattfindenden öffentlichen Prüfung aller Klassen

der

Sammlung

stufenmässig geordneter und vollständig berechneter Aufgaben aus der reinen Differenzialrechnung

von

H. G. D oerk,

König!. Professor.

§ 42. Beispiele zur Differenziation der implieiten Functionen.

1) Gegeben sei die Gleichung (im plicite Function) 0 — y 3 -)- .r3 — 3 a so ist, wenn man in Bezug auf x differenzirt,

x y >

I ) 0 = 3 y a + 3 x- - II) 3 a y — 3 x - — ( 3 y - n i ) =

o 5 y o a x ^ —

o x - 3 a .r)

O X

3 a y

d x S y 2 — 3 aoc y2 — a x 2) .Gegeben sei die Gleichung (implicite Function)

x l -)- 2 x 2 y - + y i — 8 a x y 2 = 0 , so ist, wenn man in Bezug auf x differenzirt,

I) i x 3 + 4 x y 3 + 4 x 2y + 4 ^ 3 | | — 8 a y 2 - 8>

II) ( x 2y + y 3 — 4 a x y ) p t — — (a;3 + a;^2 — 2 a y 2)

JJJ\ ^— _ Qr3 + x y* — 2 a y 2) d x y* - J - x 2 ? / — 4: a x y

I t a x y ^ L = 0

V

3) Gegeben sei die Gleichung (implicite Function) y ^{-x — aß} 0 ,

1 ff + yX lo9 nat y

so ist, wenn man in Bezug auf x dilferenzirt, I) x y x ~

II) ( x y x III)

xU log nat x ) d v — y aßt — t 8 x

S jl 8 x

xD loa nat x — = 0

d X

y x log nat y

Cy aß * — y x t°9 nat y) x — 1

x y — xy log nat x

Multiplicirt man nun Zähler und Nenner des Bruches rechter Hand mit x y , so ist

jy\ S_y _ y 2 xß — x y , y x log nat y _

^ d x x y i x — ^{x y} . xr log nat x v , D a aus der Bedingungsgleichung

folgt, dass

y x — xt!

y x = aß 0

ist, so ist

y^ d y y 2 aß — x y . x ß log nat y

^ X x 2 aß — x y .x ß log nat x

_ ^{y 2} — x y log nat y x 2 — x y log nat x 4) Gegeben sei die Gleichung (implicite Function)

y - — 2 m x y + x 1 — «2 — 0 , so ist, wenn man in Bezug auf x dilferenzirt,

2 m y dy

) d y

; m x ~

0 X + 2 «z = 0 II) (y — m x ) ^ = m y — x

XU') d JL — my ~ x

' 8 x y — ^{m x} ’

5) Gegeben sei die Gleichung (implicite Function) m — x y log nat x y , so ist, wenn man in Bezug auf x dilferenzirt,

I ) 0 = y + x p . + 1 + - L . p - ,

J " 8 x x y 8 x '

indem man auf log nat x y den § 28 Zusatz anwendet (oder Arithmetik § 188 zuerst, und dann

§ 27 Zusatz 1).

9 .. y + 1

III) S_y _

8 x X + ~

y y

{ x y + ^{1) y}

{ x y + 1) x

X

1. A u f g a b e .

A u f 1 ö s u n g.

A n m e r k u n g .

2. A u f g a b e .

A u f l ö s u n g .

Gegeben sei die Function:

y — x* — 8 x 3 + 22 x 2 — 24 x -j- 1 2 ,

man soll die Bedingungen angeben, unter denen y ein M a x i m u m oder ein M i n i in u ni wird.

E s ist d

J - = 4 x 3 — 24 x- + U x - 24

O X

und = 12 x- — 48 x 44.

3 xJ

Setzt man den W erth des ersten Differenzial-Quotienten gleich Null, so ist x a — 6 .v2 + 11 x — 6 = 0 ,

aus welcher Gleichung sich die W erthe x = 1, x = 2 und x = 3 ergeben.

Für x = 1 ist — -)- 8 3 x 2

„ x = 2 „ „ = — 4 v x = 3 „ „ = + 8 .

Also findet für x = 1 ein M i n i m u m statt, nämlich y — 3

„ x — 2 „ Maximum „ „ y = £

„ * = 3 „ Minimum „ „ y = 3 .

Es soll hiebei n i c h t gesagt sein , der möglich grösste Werth von y sei 4, welches eine ganz falsche Behauptung wäre, denn setzt man x = 4, so wird schon y = 16, während y . wenn man x — cc setzen w ü rd e, auch = oo werden müsste. Aber dennoch findet weder für x — 4 , noch für x — co ein M a x i m u m statt, weil das nächstvorhergehende y z w a r k l e i n e r , a b e r n i c h t das nächstfolgende y a u c h k l e i n e r , sondern grösser als dasjenige y ist, von dem jetzt die Rede ist.

Gegeben sei die Function:

y = x 5 — 5 x* -j- 5 x 3 1,

man soll die Bedingungen angeben, unter denen y ein M a x i m u m oder ein M i n i m u m wird.

Es ist

^ = 5 x ł — 20 x 3 -(- 15 x-

3 x 1

= : 5 X2 (X2 — 4 X + 3) und 20 a;3 — 60 a:2 + 30 a:

3 x 2 1

= 10 x (2 x 2 — 6 « 3 ) .

Setzt man den ersten Differenzial - Quotienten gleich N ull, so ist 5 x 2 (x 2 — 4 x -(- 3) = 0

oder x 2 ( x 2 — 4 x -|- 3) = 0 ,

aus welcher nachfolgende W erthe von x hervorgehen: O o

X — 0 , x — 0 , X =: 1 , x — 3 .

3. A u f g a b e .

A u f l ö s u n g .

4. A u f g a b e .

A u f l ö s u n g .

Für x = 0 ist ~ ,

8 x1

weshalb es hiernach auch u n e n t s c h i e d e n bleibt, ob für x = 0 die Function y ein Maximum oder Minimum hat.

Für x = 1 ist = — 10 8 x 1

» * = 3 „ „ = + 9 0 .

Also findet für x = 1 ein M a x i m u m , nämlich y — 2 T x = 3 „ M i n i m u m , „ y = — "26 statt.

Es ist = 60 x 2 — 120 * + 30 9 x 3

und = 120 x - 120.

ox4

Da der d r i t t e Differenzial - Q uotient, wenn man darin den obigen W erth von x , nämlich x = 0 , setzt, n i c h t gleich N u ll, sondern = 30 w ird, so findet für a- = 0 w e d e r ein M a x i m u m , n o c h ein M i n i m u m statt.

Gegeben sei die Function:

y = 3 x 4 — 28 a x 3 4- 84 a* x 2 — 96 a3 x + 48 a4,

man soll die Bedingungen aufsuchen, unter denen y ein M a x i m u m oder ein M i n i m u m wird.

Aus der gegebenen Function folgt:

= 12 x s — 84 a x 2 + 168 a2 x - 96 a3

d x r

36 x 2 — 168 a x + 168 a2.

8 x 2

Setzt man den ersten Differenzial-Quotienten gleich N ull, so erhält man die Gleichung:

12 x 2 — 84 a x~ + 168 a2x — 96 a3 = 0 oder x 3 — 7 a x -f- 14 u2 x — 8 a3 = 0 ,

aus welcher Gleichung sich die W erthe x — a , x = 2 a und x = 4 a ergeben.

Für x = a ist = . -j- 36 a2

„ x = 2 a „ =r — 24 a2

„ x = 4 a „ = — (— 72 a2 .

Also findet für x — a ein M i n i m u m statt, nämlich j / = 11 n4

„ x = 2 a „ M a x i m u m „ „ = 16 a4

„ x = 4 a „ M i n i m u m „ „ y — — 1 6 a 4 . Gegeben sei die F u n ction :

y — 2 x 3 — 3 x2 — 36 x ,

man soll die Bedingungen aufsuthen, unter denen y ein M a x i m u m oder ein M i n i m u in wird.

Aus der gegebenen Function folgt:

= 6 x 2 — 6 x — 36

0 X

p - = Y2 x - Z .

O X2

5. A u f g a b e .

A u f l 5 s u n g.

Setzt man den W erth des ersten Differenzial - Quotienten gleich N u ll, so folgt die G leichung: 6 x 2 — ß x — 36 = 0 ,

oder x 2 — x — 6 = 0 ,

aus welcher Gleichung die W erthe x = 3 und x — — 2 folgen.

Für x = 3 ist §-4 = + 30

* * = - 2 ‘ = - 3 0 .

Also findet für x — — 2 ein M a x i m u m statt, nämlich y = -j- 44 und „ x = + 3 „ M i n i m u m „ „ y — — 81.

Gegeben sei die Function:

y = 10 x° — 12 x 3 + 15 x* — 20 x 3 -f- 2 0 ,

man soll die Bedingungen aufstellen, unter denen für y ein M a x i m u m oder ein M i n i m u m stattfindet.

Aus der gegebenen Function folgt:

l l — 60 x 3 — 60 x* — 60 x 3 — 60 a2

0 X

dl l = 300 .r1 — 240 x 3 + 180 x 2 — 120 x . d x 2

Setzt man den ersten Differenzial - Quotienten gleich N u ll, so folgt die Gleichung:

60 x 5 — 60 x l + 60 x 3 — 60 x 2 = 0 , oder x 3 — x 4 + x'3 — x 2 = 0 , oder x 2 ( x 3 — x'2 + x — 1) = t 0 , oder x 2 ( x — 1) (x 2 -j— 1) = 0 ,

aus welcher Gleichung sich folgende W erthe von x ergeben:

x — 0, x — 0, x — 1, x = V— 1 und x — — V— 1 •

Offenbar findet für x = ::fc )'— 1 , weder ein Maximum, noch ein Minimum statt;

also handelt es sich hier nur um die Feststellung für die drei ersten W erthe von x.

Für x = 1 ist d2y = -f- 120. Mithin findet für x = 1 ein M i n i m u m statt, nämlich y = + 1 3 .

Für x = 0 ist d2 l = 0 .

o X 2

D a für diesen Werth' von x der zweite Differenzial - Quotient aus der Rechnung verschwindet, so muss man den dritten und vierten Differenzial - Quotienten bilden.

Es ist = 1200 x 3 — 720 .r2 -(- 360 x 120 o x 3

dl l = 3600 x 2 - 1440 .r -F 360 dx*

d

J l = 7200 .r — 1440.

d x 3

D a der d r i t t e und ebenso der f ü n f t e Differenzial - Quotient für den oben ange­

gebenen W erth von x = 0 n i c h t verschwindet, so findet für x — 0 w e d e r e i n M a x i m u m , n o c h e i n M i n i m u m statt.

2

6. A u f g a b e .

A u f 1 ö s u n g.

Gegeben sei die Function:

y

_{X 2} + ¹ '

man soll die Bedingungen aufstellen, unter denen ein M a x i m u m oder M i n i m u m derselben stattfindet.

Aus der gegebenen Function

X 2 - X

y folgt

x 2 + 1

S y _ (x2 + 1) (2 x — T) — (x2 — x) 2 x

S x (x2 + ~ ! ) 2

_ 2 x3 -f- 5 x — x! — t ~ G 3 2 i 2

x 2 + 2 x — 2 (*2 + 2)2

(x2 + ^)2

g 2^ _ (*2 4 • i y (2 X 4- 2) — (x2 2 x —■ /) . 2 (x2 + 1) 2 x

5 a;2 (X2 4- l y

2 (x2 + i y (x 4- 1) --- 4 (X2 Ą- 2 X — 1) (x2 + T) x (x2 4- l y

2 (x2 + 0 (* + 1) ■— 4 (x2 2 x ■-- i) X {x2 + i y

2 X2 -f- 2 x + ^ X2 4• 2 — 4 x 3 — S a :2 -)- 4 a : (x2 + l y

_ — - 2 x3 — 6 x2 + 6 x + 2 (x2 + ?)3

Setzt man den ersten Differenzial-Quotienten gleich N ull, so geht die Gleichung:

X 2 + ^{2 X — 1 __ n}

(x2 + l y hervor. Mithin ist

x 1 -f- 2 x — 1 = 0

x — — 1 + 12 und x — — 1 — V2 . Demnach ist, für x = — 1 — )— V2 ,

« 2 = 3 — 2 V2

« • = (3 — 2 V'2) (— 1 + V2) == — 3 + 2 >'2 + 3 V2_— 4 = 5 VST— 7 und also: — 2 x 3 = -)- 14 — 10 12

— 6 x 2 = — 18 + 12 };2 + 6 x = — 6 -f- 6 12 + 2 = - f - 2

mithin —

und

2

also O2

Folglich ist

4 — 2 V2 = 2 ( 2 — > 2 )

= 2 3 (2 - V2)3 •

8 ( - t + f2) _ (— i 4- VF) g2,!/

gx2 23 (2 — v^)3 (2 - V2)2 (2 - V2)

_ i - i_ + V2) (g + vä) (2 - V 2 f (2 - \'2j (2 + ]/2)

— 2 — \ 2 + 2 \ ‘F + 2

~ (4 - 2 ) (2 - \ 2 f

. V2 _ _ ł V£ _ ł V2

2 {2 — \ 2 f 4 — 4 V 2 + 2 2 (3 — 2 \2 ) _ , l+ ( 5 + 2 VI) _ 3 \ 2 + 4

ł ( 5 - 2 V2) (5 + 2 V 2) 4

= 1 + ł V2

= 2,0606602 ...

Mithin findet für # = — 1 + i 2 ein M in im u m statt, nämlich:

3 — 2 v T — (— 1 -)- V 2 ) __ 3 — 2 V2~ + 1 — v§~

3 — 2 Vif + 1 _ 4 — 2 VF 4 — 3 V'2' _ (4 — 3 V-Jj (4 + 2 V§)

4 — 2 V2 (4 — 2 Vä)- (4 + 2 V§) 16 - 12 V'2 + 8 } T — 12 __ 4 — 4

16 — 8 8

1 - V'2 2

— 0,2071068 . . . .

— 1 - V2“

3 + 2 12"

— 7 — 5 12 + 1 4 + 1 0 12

— 18 — 12 V2

— 6 — 6 >2 + 2

mithin — 2 . + — 6 # 2 + 6 # + 2 = — 8 — 8 12 = — 8 ( 1 + f'2) und « a + 1 = 4 + 2 12“ -— 2 (2 + 12)

also ( x 2 + l ) 3 — 23 (2 + 1 2 )3

Folglich ist '* 1 = ~ J L ± _ M = _ *.+ V [ 3 x2 r (2 + V'2)3 (2 + V'2)3

_ _ fl + V'2) (2 — V'2) (2 + V2)2 (2 + V2) (2 - V'2)

2 + 2 1 + - yiT— 2

2 (2 + 2 V2)2 _ _ 1 V2~_

(2 + V'2)2

x £ — X

X2 + 1

Ferner ist, für # x 2

und also — 2 a;3

—

6

+ 6 x

+ 2

7. A u f g a b e .

A u f l ö s u n g .

= - ł 3 V2 = — | V2 + 1

0 - 8

= — 0,0606602 ...

D a für x — — 1 — ] 2 der z w e i t e Differenzial - Quotient n e g a t i v ist, so findet für diesen W erth von x ein Maximum statt, nämlich

__ x* — x _ 3 + 2 v F + l 4 - Vä~

y ~ x* + 1 _ 4 + 2 w

— 4 + 3 l ä " _ (4 + 3 V§) (4 — 2 V'2)

— 4~ + 2 \-T ~ (4 + 2 V2) (4 — 2 V2) 16 + 12 V2~— 8 V F — 12 __ 4 H- 4 V F

16

8

8

1 + V.F

2

= + 1,2071068 ...

Gegeben sei die Function

y = x 2 (a — x ) 3 ,

man soll die Bedingungen aufsuchen, unter denen ein M a x i m u m oder ein M i n i m u m für y stattfindet.

Aus der gegebenen Function folgt:

| | = (a — x ) 3 . 2 x + x 2 . 3 (a — x ) 2 ( — 1)

= 2 x (a — x ) 3 — 3 x 2 (a — x ) 2

— x (a — x ) 2 [2 (a — x ) — 3 x \

= x (a — x ) 2 (2 a — 2 x — 3 x )

= x (a — x ) 2 (2 a — 5 x )

und — ( a—x ) 2 (2 a —5 x ) -)- x (2 a — 5 x ).'2 (a — x ) ( — 1) -j- x ( a —-x) 2. ( —5)

— (a — x ) 2 (2 a — 5 x ) — 2 x (a — x ) (2 a — 5 x ) — 5 x (a — x ) 2

= (a — x ) 2 (2 a — \0 x ) — 2 x (a — x ) (2 a — h x )

— 2 (a — x ) [(« — x ) (a — h x ) — x (2 a — 5 x)~\

— 2 (a — x ) [a2 — a x — h a x h x 2 — 2 a x h x 2]

— 2 (a — x ) (10 x 2 — 8 a x -f- a2) .

Setzt man den ersten Differenzial - Quotienten gleich N u ll, so geht die Gleichung x (a — x ) 2 (2 a — 5 x ) = 0

hervor, aus welcher Gleichung sieh folgende W erthe für x ergeben, nämlich:

x — 0 , x — a , . v — a , * = | « .

Substituirt man diese W erthe in den zweiten Differenzial - Quotienten, so ist für x = 0 . II + 2 a3

r> x — a ^{. . —} 0

ii Vlj tO . . = 2 . | a Qfi a2 — Q* a2 -f- a2)

= 2 • i a C— 1 «2)

8. A u f g a b e .

A u f l ö s u n g .

9. A u f g a b e .

A u f l ö s u n g .

Also findet für x = 0 ein M i n i m u m statt, nämlich y — 0

„ x = a w e d e r e i n M a x i m u m n o c h e i n M i n i m u m

„ x — ’l a ein Maximum statt, nämlich y = a3 • Gegeben sei die Function:

V = log nat x ’

man soll die Bedingungen aufsuchen, unter denen ein M i n i m u m der Function stattfindet.

Aus der gegebenen Function folgt

M a x i m u m oder ein

_ d x

log nat x — x . — ___________ x

{log nat x)2 log nat x — 1

{log nat x)2

d*j!_

d x2

______ (____ i___ V log nat x \ log nat x )

—— (log nat x )2 — {log nat x — t) 2 log nat x . —

___________________ x

llog nat x)A lo9 X — -2 (log nat x — 1)

x (_/og nat x)3 __ 2 — log nat x

x (log nat x )3

Setzt man nun den ersten Differenzial-Quotienten gleich N ull, so folgt die Gleichung:

log nat x — 1 __ q

{log nat x)2

log nat x — 1 = 0 log nat x = 1

Gegeben sei die Function

y = sin x , man soll die Bedingungen aufstellen, M i n i m u m der Function stattfindet.

Aus der gegebenen Function folgt:

für welche ein M a x i m u m und ein

dg 5 — = COS X

0 X

und p L

V X 2

= — sin x .

Setzt man den ersten Differenzial-Quotienten gleich N ull, so folgt die Gleichung:

cos x = 0 ,

n -(- 1) R . also X = 1 R 3 R , = 5 R , . . . . = (2

Für X — 1 R ist d2 y

d x2 = — ₁ r> X = 3 R YJ r> = + ¹

Y) X = 5 R Y Y! = — 1

Y) X = 7 R Y) Y) = + 1

Y) X = (4 n + 1) R v = — 1

» X = (4 n + 3) R „ = 4- ¹

3

Also findet für x — (4 n ff- 1) R ein M a x i m u m , nämlich y = 1

„ x — (4 n + 3) R „ Minimum, „ y = — 1 statt.

10. A u f g a b e . Z u u n t e r s u c h e n , w e l c h e s d a s g r ö s s t e u n t e r a l l e n D r e i e c k e n i s t , i n d e n e n z w e i S e i t e n d e s e i n e n , e i n z e l n g l e i c h z w e i e n S e i t e n j e d e s a n d e r n D r e i e c k s s i n d .

A u f l ö s u n g . D ie beiden Seiten der Dreiecke seien « u n d b, der zwischen ihnen liegende W inkel sei x , so ist der Flächeninhalt eines jeden solchen Dreiecks

a b sin x y = — —

und es ist die Frage, für welchen W erth von x dieser Ausdruck ein Maximum ist.

Aus der gefundenen F unctions-G leichung folgt

8 a ab

und p L = _ d x 2

a b

Setzt man den W erth des ersten Differenzial - Quotienten gleich N u ll, so erhält man die Gleichung:

ab n

— COS x = () COS X — 0

mithin „ x — 90° = 1 R .

Substituirt man diesen W erth von x in den zweiten Differenzial - Quotienten, so ist für x = 1 R p ? = ^{a b} 1 R = — fL*

8 Xi 2 ... .... 2

D a für diesen Fall der W erth des zweiten Differenzial - Quotienten n e g a t i v ist, so findet also für x = 1 R d. h. wenn die beiden Seiten a und b rechtwinklig

auf einander stehen, ein M a x i m u m statt.

11. A u f g a b e . M a n s o l l u n t e r s u c h e n , w e l c h e s u n t e r a l l e n D r e i e c k e n v o n g l e i c h e n G r u n d l i n i e n u n d g l e i c h e n H ö h e n d e n k l e i n s t e n U m f a n g h a t.

A u f l ö s u n g . Für sämmtliche, der Betrachtung unterworfene Dreiecke sei die Grundlinie g und die Höhe h . Theilt die Höhe h die Grundlinie g in die beiden Theile x und g — x, so ist die eine der beiden übrigen Seiten des Dreiecks \ x 2 -f- A2 und die andere ) (g — x ) 2 -(- h2 ; folglich ist, wenn y den Umfang des Dreiecks bedeutet,

y g -f- Mx2 4 - h 2 + >'0/ x ) 2 h2

■y *= 0 + O 2 + h2y + \_(g — x ) 2 + h2Y .

Es bleibt also zu untersuchen, für welchen W erth von x diese Function y ein M i n i m u m wird.

Man differenzire den obigen Ausdruck in Bezug auf xy so erhält man:

d y x g — x

d x \'x2 -J- h2 V($r — x )2 -f- h2

= X ( x 2 + h 2) ~ - — (g — x ) [(,9 — x ) 2 + A2] “ T

und = ( x 2 A2) ! ^ ( x 2 + A2) '2 *

— ! [ G / - a 0 2 + Ä2] - 5 - 1 ) + ( g - x ) . - 1 [ ( g - x ) 2 + A 2] - *. 2 ( g - x ) ( - 1 ) j

32y 1 x2

dx 2 V*2 + T 2 (x2 + A2) y W + A2

^ — 1 , __________ (ff — W_________

i V(ff - W + A2 + [(ff - X)2 + A2] V(ff - W + Ä2 x2 + A2 — x2 ( — (9 — x)2 — h2 + (ff — x)2 j

_ (x2 + A2) Vx2 + Ä2 _ j [(9 — x)2 + A2] f(7 ^ W ) 2 + A2i __________ A2_______ a ________________ A^_____________

— (X2 + A2) Vx2 + "Ä2 [(9 — x)2 + A2] l(ff — x)2 + A2 ■

Setzt man den Werth des ersten Differenzial-Quotienten gleich N ull, so erhält man die Gleichung:

x g — x

\ x 2 + A2 V(ff — x)2 A2 ^

x \(jg — x y -(- A2 = (g — x ) \ x 2 + A2 x 2 [(y — x y + A2] = Cg — <*)2 ( x 2 + A2)

O — « )2 + A2 == (g — x y x 2 -ff (g — « )2 A2 x 2 A2 = (</ — «)2 Ä2

x h — (g — «) A x — g — x x — \ g .

Setzt man diesen W erth von x in den zweiten Differenzial - Quotienten, so ist

92f f _____________ __________ ! A2

9 x2 (1 ff2 + A2) VI ff2 + A"2 1 (i j ! + A2) Vj. 92 + A2 _______ 2 A2

— (} ff2 + A2) y r 92~^7T2 •

Da der W erth des zweiten Differenzial - Quotienten für den F a ll, dass x — \ g gesetzt w7ir d , p o s i t i v is t , so findet also in dem Ausdrucke von y für x = g ein M i n i m u m statt.

U n t e r a l l e n D r e i e c k e n , w e l c h e g l e i c h e G r u n d l i n i e n u n d g l e i c h e H ö h e n h a b e n , h a t d a s j e n i g e d e n k l e i n s t e n U m f a n g , d e s s e n H ö h e d i e G r u n d l i n i e h a l b i r t , a l s o d a s g l e i c h s c h e n k l i g e .

11. A u f g a b e . W e n n m a n i n e i n e m g e g e b e n e n Q u a d r a t e K e c t a n g e l z e i c h n e t , d e r e n W i n k e l s p i t z e n i n d e n S e i t e n d e s g e g e b e n e n Q u a d r a t s l i e g e n , s o i s t d i e F r a g e , w e l c h e s v o n d i e s e n R e c t a n g e l n d e n g r ö s s t e n F l ä c h e n ­ i n h a l t hat .

I. A u f l ö s u n g . D ie Seite des gegebenen Quadrats sei a . Ist ein W inkelpunkt des Rechtecks

von der einen W inkelspitze des Quadrats um x entfernt, so ist dieselbe von der

anderen W inkelspitze des Quadrats, die in derselben Seite lieg t, um ( a — x~)

entfernt; demnach wird das Quadrat in ein Rectangel und vier rechtwinklige

Dreiecke getheilt, von denen je zwei den Abschnitt x zu'K atheten, und je zwei

Kopernikartska w Toruniu

s ^ ' W progri ^

Bericht über das Schuljahr

von Ostern 1867 bis Ostern 1868.

Lehrverfassung.

I. Prima»

O rdin ariu s: D er D irector.

Latein. 8 St. Cic. de orat. lib. II. Quintil. Instit. lib. X. Tac. Annal. lib. III. 3 St. Hör. Carm.

lib. IV. Epoden Satiren und Episteln mit Auswahl. 2 St. Exercit. Extemp. Aufsätze. *) Sprechübungen. Freie Vorträge und Controlle der Privatlectüre. 3 St. — Der D ir e c to r .

Griechisch. C St. Isocrat. Areopagiticus. Thueyd. lib. VI. mit Auswahl. 2 St. Soph. Oed. Colon.

V. 700 bis zum Schluss. Ilias 21 — 2 4 , das letzte Buch privatim. 2 St. Exercitien und Extemporalien.

Repetitionen der Formenlehre und der Syntax der Casus. Durchnehmen der Lehre von den Modis. 2 St. — Oberlehrer Dr. B o t z o n.

Deutsch. 3 St. Im Sommer Geschichte der Literatur bis Klopstock, im W inter Logik und Propädeutik zur Psychologie. Aufsätze 2), freie Vorträge und Dispositionsübungen. — Dr. G erss.

Französisch. 2 St. Le Cid par Corneille. Cuvier Eloges historiques. Exercit. Extemp. Sprechübungen und grammatische Repetitionen. — Der D ir e c to r .

. Religion. 2 St. Kirchengeschichte bis auf Gregor den Grossen. Hauptsätze aus den beiden ersten Theilen der Dogmatik. Repetition der Einleitungen ins Alte und Neue Testament. Lectüre des Evangel. Johannis.

— P.-A.-C. F u h s t.

Mathematik. 4 St. Cubikzahlen und Cubikwurzeln. Potenzen mit Bruchexponenten. Reihen höherer Grade. Logarithmen, Permutationen, Combinationen und Variationen. Binomischer Lehrsatz. Gleichungen des zweiten und dritten Grades, Stereometrie sowie Repetition und Erweiterung der Trigonometrie. Vierwöchentliche Arbeiten bestehend in Aufgaben aus allen Gebieten der Mathematik und Extemporalien. — Prof. D o e rk .

Physik. 2 St. Statistische und dynamische Erscheinungen der Electricität. Katoptrik und Dioptrik und die darauf basirenden Instrumente. — Dr. L a u tsc h .

Geschichte und Geographie. 3 St. Geschichte der Neuzeit vom Zeitalter der Entdeckungen bis 1789.

Repetitionen der gesammten Geographie. — Dr. E c k e r dt.

') T h e m a t a : 1. De Germanico. 2. De rebus belio tertio Punico gestis. 3. Quälern Homeri tempore Graeci vitam apud inferos esse putaverint. 4. De rebus a Pyrrho Epiri rege gestis. 5. De Philippo Macedonum rege. 6. Exponatur quare apud Romanos historiae et eloquentiae studium magis quam ceterarum artium et literarum flornerit. 7. Oratio a Vitellio in Pisonem habita. 8. Tria ex Horatii arte poetica praecepta eligantur, explicentur, exemplis illustrentur. 9. Quaeritur num recte Horatius senes laudatores temporis acti appellaverit.

2) Themata: 1. Das Urtheil der Menge mache Dich nachdenkend, aber nicht verzagt. 2. Nutzen der Armuth.

3. Difficilis est cura alienarum rerum (Klassenarbeit). 4. Ueber die Quellen des Gehorsams. 5. Weshalb sind wir dem Alter Achtung schuldig? 6. Aus welchen äusseren Umständen lässt sich die Blüthe Griechischer Bildung erklären? 7. Nicht in die ferne Zeit verliere Dich: Den Augenblick ergreife; er ist Dein. 8. Ueber die Temperamente und wie sie von den Dichtern dargestellt werden. 9. Weshalb hat der Deutsche Grund auf seinen Namen stolz zu sein?

1 *

II. Secunda.

O rdin ariu s: Oberlehrer D r . Botsson.

Latein. 10 St. Cicer. Tuscul. disput. I. und V. Catilinarische Reden. Pro Milone. Liv. lib. X X V III.

4 St. Virg. Aen. IV. —VI. 2 St. Privatleetüre. Caes. de bello Gallico. V. und VI. Grammatische Repetitionen, stilistische Uebungen, Uebersetzen aus Süpfle, freie Arbeiten der ersten Abtheilung.') Exereitien, Extemporalien.

4 St. — Dr. B ra u t.

Griechisch. 6 St. Isocr. ad Demonieum. Herodot. lib. VIII. 2 St. Repetition der Formenlehre.

Die Casuslehre. Exereitien und Extemporalien. 2 St. — Dr. Bo t z o n. —- Hom. Ilias 8 — 11. Odyss. 6, 11 — 14, darunter 3 Bücher privatim. 2 St. — Der D ir e c to r .

Deutsch. 2 St. Literaturgeschichte des 14., 15. und 16. Jahrhunderts. Dispositionsübungen, freie Vorträge und Aufsätze.2) Lectüre von Schiller’s Wallenstein. — Oberlehrer Dr. R e ic h a u .

Französisch. 2 St. Souvestre: Un philosophe sous les toits. Repetition des gesammten Gebiets der Grammatik nebst spezieller Durchnahme der Syntax. Exereitien und Extemporalien. -—■ Oberlehrer Dr. B o tzo n .

Religion. 2 St. Einleitung ins Alte Testament und Lectüre des Briefes an die Hebräer. — P.-A.-C. F u h s t.

Mathematik. 4 St. Potenzen. Quadratzahlen und Quadratwurzeln. Verhältnisse und Proportionen.

Arithmetische wie geometrische Reihen und Logarithmen. Gleichungen des ersten und zweiten Grades. Von der Aehnlichkeit und vom Kreise. Trigonometrie. Alle 4 Wochen eine Arbeit enthaltend Aufgaben aus der Planimetrie, Trigonometrie, Arithmetik und Algebra. Extemporalien. — Prof. D o e rk .

Physik. 1 St. Mechanische Erscheinungen der festen, flüssigen und gasförmigen Körper. — Dr. L a u ts e h . Geschichte und Geographie. 3 St. Römische Geschichte. Repetitionen der ganzen Geschichte.

Geographie der aussereuropäischen Erdtheile. — Dr. E c k e rd t.

III. Ober-Tertia.

O rdin ariu s: D r. E ckerdt.

Latein, 10 St. Curt. lib. 9, 10, 3 und 4. Caes. de bello Gallico lib. 4 und 5, de bello civili lib. I.

4 St. Ovid. Metamorph. lib. I. und II. 2 St. Moduslehre und Abschluss der Grammatik. Repetitionen der gesammten Formenlehre. Schriftliches und mündliches Uebersetzen aus dem Uebungsbuche von Schulz. Exereitien und Extemporalien. 4 St. — Dr. B ra u t.

Griechisch. 6 St. Xenoph. Anab. lib. V.—VII. 2 St. Die unregelmässigen Verba sowie die noth- wendigsten Regeln der Syntax. Uebersetzen aus Spiess’ Uebungsbuch. Exereitien und Extemporalien. 2 St. — Dr. E c k e rd t. — Hom. Odyss. lib. VI.— X II. 2 St. — Der D ir e c to r.

Deutsch. 2 St. Die Gattungen der Poesie. Lectüre von Schillerschen und GÖtheschen Gedichten

Aufsätze. — Dr. E c k e r d t. ^

Französisch. 2 St. Capefigue: Charlemagne. Repetition der Elementar - Grammatik, die Syntax nach ihren wichtigsten Regeln. Exereitien und Extemporalien. — Oberlehrer Dr. B otzon.

Religion. 2 St. Die 5 Hauptstücke des kleinen Katechismus. Lieder. Lectüre einzelner Capitel des Evangel. Johannis. — P.-A.-C. F u h st.

Mathematik. 3 St. Repetition des Cursus von U nter-Tertia. Von der Congruenz der Dreiecke und der Polygone. Von der Gleichheit und dem Flächeninhalte der Figuren. Alle 4 Wochen eine Arbeit, enthaltend planimetrische, arithmetische und algebraische Aufgaben. Extemporalien. — Prof. D o erk .

J) 1. Levitatis Atheniensium crudelitatisque in amplissimos cives afterantur exempla. 2. De pugna Salaminia.

2) T h e m a t a : 1. Die Zustände der Schweiz zur Zeit Wilhelm Teils. 2. Ueber das Dunkel der Zukunft. 3. Lerne schweigen, o Freund; dem Silber gleichet die Rede, aber zur rechten Zeit schweigen ist lauteres Gold. (Herder.) 4. Bilder aus meinem Ferienleben (nebst einer poetischen Zugabe nach eigener Wahl). 5. Lobrede auf Alexander den Grossen.

6. Ueber die wohlthätigen Folgen des Ackerbaus. (Nach Schiller’s Eleusischem Fest.) 7. Ferro nocentius aurum. (Chrie.)

8. Vitam non accepimus, sed facimus brevem (Seneca.) 9. Darstellung der Bilder aus Schiller’s Glocke. 10. Dem Tod

entrinnt, wer ihn verachtet, doch den Verzagten holt er ein. 11. Das mannichfaltige Interesse an der Natur nach dem

verschiedenen Standpunkte ihrer Betrachtung. 12. Ueber die Gründe, welche Wallenstein bewogen vom Kaiser abzufallen.

Geschichte und Geographie. 3 St. Preussische Geschichte. Geographie der Ostseeländer und spezielle Geographie von Deutschland. — Dr. E c k e r dt.

Naturgeschichte. 2 St. Botanik und zwar Repetition der Morphologie und Beschreibung der Pflanze.

Elemente der Anatomie nnd Physiologie. In der Zoologie* Anthropologie und ausführliche Besprechung einzelner Ordnungen der Säugethiere. — Dr. L a u ts c h .

IV. Unter-Tertia.

O rd in a riu s: D r. G erss.

Latein. 10 St. Caes. de bello Gallico V.— VII. 4 St. Repetition der elementaren Grammatik und Casuslehre, dazu die Lehre von den Temporibus und Modis. Uebersetzungen aus dem Uebungsbuche von Schulz.

Exercitien und Extemporalien 4 St. -— Dr. G erss. — Ovid Metamorphosen I.— VI. mit Auswahl. Im Sommer Dr. G e rs s , im W inter P.-A.-C. F u h s t.

Griechisch. 6 St. Repetition des Pensums von Quarta. Verba liquida und auf i m . Bildung der zweiten Tempora, unregelmässige Verba mit Auswahl. Schriftliche Uebungen. Lectiire: im Sommer das Uebungs buch von Spiess, im W inter Xen. Anab. III. — Dr. G erss.

Deutsch. 2 St. Erklärung und Einübung Schillerscher Gedichte. Deelamationen und Aufsätze. — Dr. R in d f le is c h .

Französisch. 2 St. Herrig „Premieres lectures franęaises.“ Repetition der früheren Curse.

Unregelmässige Verba, Lehre vom Artikel, Adjectiva, Zahlwörter, Pronomina. Exercitien und Extemporalien. — Oberlehrer Dr. B o tz o n .

Religion. 2 St. Im Sommer Erklärung der 5 Hauptstucke, im W inter des Evangeliums Lucae Lieder und Sprüche. — Dr. G erss.

Mathematik. 3 St. Die 4 einfachen Rechnungsverbindungen in ganzen Zahlen und Brüchen. Potenzen mit ganzen Exponenten. Von den dekadischen Zahlen im Allgemeinen und den Decimalbriichen ins Besondere.

Quadratwurzeln. Gleichungen des ersten und zweiten Grades mit einer und mehren gesuchten Grössen. Alle 4 Wochen Aufgaben aus der Arithmetik und Algebra. Extemporalien. — Prof. D o e rk .

Naturgeschichte. 2 St. Im Sommer Botanik, im Winter Zoologie. — Dr. L a u ts c h .

Geschichte und Geographie. 3 St. Geschichte von Deutschland. Geographie der Staaten von West- und Südeuropa. — Dr. E c k e r d t.

V. Quarta.

Seit Anfang November für 23 Stunden in 2 Coetus getheilt.

O rd in a riu s: P .- A .- C . Fuhst.

Latein. 10 St. Corn. Nepot. Vitae. Repetition des etymologischen Theils der Grammatik. Casuslehre.

Uebersetzen aus dem Uebungsbuche von Schulz. Exercitien und Extemporalien. — P.-A.-C. F u h s t ; im W inter wurden 4 St. in Coet. b von Dr. G e r s s eitheilt.

Griechisch. 6 St. In jedem Semester wurde die Elementargrammatik bis zu den Verb, liquid, excl.

durchgenommen, ausserdem schriftliche und mündliche Uebungen aus Spiess. Im Sommer: Dr. R i n d f l e is c h , im Winter Coet. a.: Dr. R in d f le is c h . Coet. b. 4 St. Grammatik.— Dr. E c k e rd t. 2 St. Lectüre. — Dr. B r a u t.

Deutsch. 2 St. Satzlehre. Uebungen im Deklamiren und Erzählen. Alle 2— 3 Wochen ein Aufsatz.

— Im Sommer Oberlehrer Dr. R e ic h a u ; im W inter Coet. a.: D e r s e lb e . Coet. b.: Dr. L a u ts c h .

Französisch. 2 St. Lectüre aus Herrig’s „Premieres lectures franęaises.“ Elementar - Grammatik, namentlich die Conjugation. Orthographische Uebungen und Extemporalien. — Im Sommer Oberl. Dr. B o tz o n ; im W inter Coet. a.: Derselbe. Coet. b.: Dr. R in d f le is c h .

Religion. 2 St. Die ersten Hauptstücke. Lieder. Sprüche. Die Bergpredigt. — P.-A.-C. F u h s t.

Mathematik. 3 St. Vorübungen in der Arithmetik und Proportionslohre. Gleichungen des ersten Grades. — Im Sommer Prof. D o e r k ; im W inter Coet. a. und Coet. b. D e rs e lb e .

Geschichte nnd Geographie. 3 St. Geschichte der Griechen und Römer nach Cauer’s Tabellen.

Geographie der aussereuropäischen Erdtheile. Uebungen im Kartenzeichnern — Im Sommer Oberl. Dr. R e ic h a u . im W inter Coet. a. und Coet. b. D e r s e lb e .

Zeichnen. 2 St. Zeichnen aus freier Hand und nach Vorlegeblättern und Kreide. — N a u d ie th .

und Holzmodellen mit Kohle

VI. Quinta.

O rdin ariu s: D r . R indfleisch.

Latein. 10 St. Wiederholung und Erweiterung des Pensums von Sexta bis zum Abschluss der Formenlehre. Acc. c. Inf. Abi. absol. und Einzelnes aus der Syntax. Uebersetzen aus dem Uebungsbuche von Spiess. Th. 2. Exercitien und Extemporalien. — Dr. R in d fle is c h .

Französisch. 3 St. Die Anfangsgründe der Grammatik bis zu den 4 Conjugationen incl. Lese- und Schreibeübungen. — Oberlehrer Dr. R e ic h a u .

Deutsch. 3 St. Uebungen im Lesen, Declamiren und mündlichen Erzählen. Aufsätze. — Dr. R in d fle is c h . Religion. 2 St. Biblische Geschichten des Alten nnd des Neuen Testaments. Das erste und zweite Hauptstück. Das Kirchenjahr. Lieder und Sprüche. — Cantor G ra b o w sk i.

Rechnen. 4 St. Einfache und zusammengesetzte Regeldetri und die sich daran anschliessenden Rechnungen des bürgerlichen Lebens. — Im Sommer Lehrer L o o k , im Winter Lehrer Sem rau.

Geographie. 2 St. Wiederholung und Erweiterung des Pensums von Sexta. — Oberl. Dr. R e ic h a u . Naturgeschichte. 2 St. Im Sommer Botanik, im Winter Zoologie. — Dr. L a u t sch.

Schreiben. 3 St. Uebungen nach Lesshaft’s Yorlegeheften. — Dr. R in d fle is c h .

Zeichnen. 2 St. Gerad- und krummlinige Figuren aus freier Hand nach Vorlegeblättern. — N a u d ie th .

VII. Sexta.

O rdinarius: D r . Lautsch.

Latein. 10 St. Elementargrammatik, namentlich die Declination und Conjugation his zum Verb, deponens incl. — Lectüre aus dem Uebungsbuche von Spiess. Exercitien und Extemporalien. — Dr. L a u tsc h .

Deutsch. 3 St. Schriftliche und mündliche Uebungen in Dictaten, kleinen Erzählungen und Declamationen. — Dr. L a u tsc h .

Religion. 3 St. Biblische Geschichte d es. Alten und Neuen Testaments. Lieder und Sprüche.

Geographie von Palästina. — P.-A.-C. F u h st.

Rechnen. 4 St. Bruchrechnung.—Einfache Regeldetri.—Im Sommer Lehrer L o o k , im Winter Lehrer S em r au.

Geographie. 2 St. Topographische Uebersicht der 5 Welttheile. — Oberlehrer Dr. R e ic h a u . Naturgeschichte. 2 St. Im Sommer Botanik, im Winter Zoologie. — Dr. L a u tsc h .

Schreiben. 3 St. Nach Lesshaft’s Vorlegeheften. — Im Sommer Lehrer L o o k , im W inter Lehrer S em rau.

Zeichnen. 2 St. Zeichnen verschiedener Figuren nach Vorlegeblättern aus freier Hand. — N a u d ie th .

VIII. Erste Vorbereitungsklasse (Septima).

O rdin ariu s: Im Somm er L eh rer L o o k , im W in ter L eh rer Sem rau.

Religion. 3 St. Combinirt mit Octava. Ausgewählte biblische Geschichten. Erlernung des Katechismus ohne die lutherische Erklärung, sowie einiger Lieder. — Lehrer S em rau .

Deutsch. 11 St. Grammatik nach Bohm und Steinert. Redetheile und Uebungen im Satzbilden mit den verschiedenen Redetheilen. Die wichtigsten Regeln der Orthographie wurden an Beispielen geübt und zu Hause abgeschriebene Stücke in der Klasse durehgenommen. Diktirübungen. Lesen im Kinderfreund. — Uebungen in schriftlicher Darstellung. 10 St. — Im Sommer Lehrer L o o k , im W inter Lehrer S em rau . — Uebungen im mündlichen Erzählen 1 St. — Im Sommer Lehrer S e m r a u , im Winter Lehrer C h rist.

Geographie. 2 St. Europa. — Im Sommer Lehrer S e m r a u , im Winter Lehrer C h rist.

Rechnen. 5 St. Die 4 Spezies in unbenannten ganzen Zahlen, dann dieselben in einfach und mehrfach benannten Zahlen. — Im Sommer Lehrer L o o k , im Winter Lehrer S em rau .

Schreiben. 3 St. Nach Lesshaft’s Vorlegeheften. — Im Sommer Lehrer L o o k , im W inter Lehrer S em rau.

Singen. 3 St. Combinirt mit Octava. Choräle und leichte Volkslieder. — Im Sommer Lehrer S em rau,

im Winter Lehrer C h rist.

IX. Zweite Vorbereitungsklasse (Octava).

O rd in a riu s: Im Som m er L eh rer S em ra u , im W in te r L eh rer C h rist.

3.

4.

Religion, 3 St. Combinirt mit Septima.

Deutsch, 7 St. Schreibleseunterricht. Anschauungsunterricht nach Wandbildern. — Im Sommer Lehrer S e m r a u , im W inter Lehrer C h r is t.

Rechnen. 6 St. Uebungen im Zahlenkreise von 1 — 100. — Dieselben.

Schreiben. 6 St. — Dieselben.

Singen. 3 St. Combinirt mit Septima.

Lehrstunden, die ausserdem erlheilt wurden.

Katholischer Religionsunterricht. — Caplan C o n ra d t.

a) Prima und Secunda. 1 St. Die Lehre von der Kirche. Die allgemeine Sittenlehre. Die erste Periode der Kirchengeschichte nach M artin’s Lehrbuch. — Die ersten 16 Capitel des Evang. Matth, wurden gelesen und erklärt.

b) Tertia und Quarta. 1 St. Glaubenslehre. Die Vollendung; Sittenlehre: von den allgemeinen Grundbedingungen des sittlich Guten. — Beides nach Diktaten. In der biblischen Geschichte das Alte Testament nach Austen’s Handbuch.

c) Quinta, Sexta und Septima. 1 St. Die Lehre von den Sakramenten nach Deharbes Katechismus No. 2.

— Biblische Geschichte: Das Alte Testament von den Richtern bis zu Ende. — Das Neue Testament bis zur Leidensgeschichte. — Die älteren Schüler lernten nach Austen’s Handbuch, die jüngeren nach dem Auszuge von Kabath.

Hebräisch. — P.-A.-O. F u h s t.

a) Prima. 2 St. In der Grammatik die Nomina. Suffixe. Unregelmässige Verba. Lectüre poetischer, prophetischer und prosaischer Stücke aus Gesenius Lehrbuch.

b) Secunda. 2 St. Elementargrammatik bis zu den Verben mit Gutturalen. Lectüre aus Gesenius.

Genesis Cap, 1— 3.

Englisch.

a) Prima und Secunda. 2 St. Washington Irving’s : Sketch - book. — Shakesperes Coriolanus. — Dr. E ck e r dt.

b) Ober- und Unter - Tertia. 2 St. Grammatik und Uebersetzen nach Fölsing’s Uebungsbuch. — Im Sommer Dr. B r a u t , im Winter Dr. E c k e r d t .

c) Quarta A. u. B. 2 St. Grammatik und Uebersetzen nach Fölsing. •— Nur im Wintersemester.

Dr. E c k e r d t .

Für die vom Griechischen dispensirten Schüler der Tertia und Quarta. Nur im Sommer; der Unterricht wurde für den W inter aufgegeben. (Vgl. S. 12.)

a) F r a n z ö s is c h . 2 St. Lectüre aus Rollin. Hommes illustres de l’antiquite. — Extemporalien. — Oberlehrer Dr. R e ic h au.

b) G e o g r a p h ie . 2 St. Europa. — D e r s e lb e .

c) Z e ic h n e n . 2 St. Uebungen nach Vorbildern und Modellen in Gyps mit Erklärung der Perspective

— N a u d ie th .

Zeichnen. (Die Theilnahme ist freiwillig.)

a) Prima und Secunda. 2 St. Zeichnen nach Vorbildern und Modellen. — Lehre der Perspective.

— N a u d ie th .

b) Ober- und Unter-Tertia. 2 St. Zeichnen nach Vorbildern und Ornamenten in Gips. — N a u d ie th . Singen. — Kantor G ra b o w s k i.

a) Sexta und Quinta. 1 St. Die musikalischen Vorbegriffe und Vorübungen. — Choräle und zwei­

stimmige Lieder, b) Ober-Tertia bis Quarta.

°) Prima bis Unter-Tertia.

Chöre aus Oratorien.

1 St. Choräle und dreistimmige Lieder.

2 St. Choräle, Liturgische Chöre, Volkslieder, Motetten, Kantaten und

7. Turnen. — Bis zum 1. Juli Oberlehrer Dr. Botz.on, seitdem Lehrer F lö g el.

Im Sommer F rei- und Rüstübungen an zwei Nachmittagen, im Winter desgleichen in der Weise, dass die Schüler in 3 Abtheilungen jede in 2 Stunden in der neuerbauten Turnhalle geübt wurden.

Themata im Lateinischen, im Deutschen und in der Mathematik bei den 2 im Laufe des Schuljahres abgehaltenen Abiturienten-Prüfungen.

a. 1. Quaeritur, num Romani semper eam rationem secuti sint, ut subjectis pepercerint et debellaverint superbos.

2. Exponatur, quomodo Tacitus de Tiberio judicaverit.

b. 1. Wie ehrt man das Andenken verdienstvoller Männer? 2. Wie gelangt man zur Selbständigkeit?

c. 1. i . Die Summe der 4 Glieder einer geometrischen Proportion ist gleich 5 6, das Product der inneren Glieder gleich 84, und die Summe der Quadrate der 4 einzelnen Glieder gleich 1250. Wie heisst diese Proportion?

. Es sind drei gerade Linien gegeben: man soll ein Dreieck zeichnen, in welchem die Summe zweier Seiten gleich der grössten dieser gegebenen Linien ist, und die zu diesen Seiten zuge­

hörigen Höhen resp. gleich den beiden kleineren gegebenen Linien sind.

. Man soll das Verhältniss des Flächeninhaltes eines Dreiecks zum Flächeninhalte des umgeschriebenen Kreises bestimmen durcli die goniometrischen Functionen der Winkel des Dreiecks und die ludolphsche Zahl.

. Durch eine Kante in der Grundfläche eines Würfels ist eine Ebene gelegt, welche gegen die Grundfläche unter einem Winkel von a = 40° geneigt ist. In welche zwei Theile wird hiedurch der Würfel getheilt, wenn die Schnittebene a = 76,608 QF. enthält. — 2.

. Ein Pferdehändler kauft für 10,800 Thaler Reitpferde und für die gleiche Summe Wagenpferde und zwar 36 mehr als Reitpferde. Nach kurzer Zeit hat er Gelegenheit, 56 Reitpferde und 92 Wagenpferde mit 20 °/0 Gewinn nach dem Durch­

schnittspreise zu verkaufen und findet bei der Berechnung, dass er nur 480 Thaler weniger eingenommen als für sämmtliche Reitpferde ausgegeben hatte. Wie viele Reitpferde und wie viele Wagenpferde hatte er gekauft?

. Zur Construction eines geradlinigen Dreiecks sind gegeben: a. die Differenz zweier Seiten desselben, b. die Differenz der zu diesen Seiten gehörigen Höhenlinien und c. der an der grösseren Seite anliegende durch die Höhe gebildete Abschnitt der kleineren Seite. 3. Eine begrenzte Linie A B = a = 7 9 ' ist gegen eine unbegrenzte M N unter einem Winkel a = 56° 3 7 ^ ' geneigt und der Endpunkt B der ersteren Linie, welche der unbegrenzten am nächsten is t, hat von der letzteren einen Abstand b = 28'. Wie gross ist der Flächeninhalt des Paralleltrapezes, welches durch AB, die beiden aus A und B gezogenen Perpendikel auf M N und einen Theil von M N gebildet wird?

4

. In einem Paralleltrapeze A B C D , dessen parallele Seiten A B und CD sind, ist die Seite A D im Punkte G halbirt, durch G die gerade Linie G H |j A B gezogen. Ferner sind G J und H R senkrecht auf A B gezogen; man soll den Inhalt des Rotationskörpers bestimmen, welcher entsteht, wenn das Sechseck G J K H C D um J R rotirt, wenn A B = a = 120', D C = b = 8 5 ' und die Entfernung der parallelen Seiten von einander D E = C F -= c = 37' ist.

Aus den Verfügungen der Behörden.

1. Vom 14. Januar 1867. Das Provinzial - Schulkollegium veranlasst die Direktoren, unfähigen Schülern zu widerrathen, sieh dem höheren Schulfache zu widmen.

2. Vom 18. Januar 1867. Erlass des Unterrichts - Ministeriums über das Schliessen der Schulen bei Cholera- Epidemien.

3. Vom 26. Februar 1867. Die städtischen Behörden bestimmen, dass in Zukunft bei Schülern, die ausser der Zeit in die Anstalt aufgenommen werden, das Schulgeld für den vollen Monat zu erheben ist.

4. Vom 21. März 1867. Bestätigung des Lehrplans pro 1867— 68.

5. Vom 1. Mai 1867. Das Provinzial-Schulkollegium veranlasst den Director, für den Fall derbleibenden oder steigenden Frequenz der Anstalt zu Michaelis die Theilung einer Klasse bei dem Patronate zu beantragen.

6. Vom 3. Juni 1867. Uebersendung der Dienst - Instructionen für Direetoren, Ordinarien und Lehrer der

höheren Lehranstalten.

Erlass des Unterrichts-Ministeriums über Privatstunden und Nebenämter der Lehrer.

Das Provinzial-Schulkollegiüm warnt ganz unbemittelte Abiturienten vor dem Beziehen Dasselbe genehmigt die provisorische Beschäftigung des Lehrers F l ü g e l als Turnlehrers Bewilligung eines erledigten Schulstipendiums an den Sekundaner S c h ö n k n e c h t.

Verfügung über die Normirung der Lehrergehälter am hiesigen Gymnasium.

Urtheile der Königl. Wissenschaftlichen Prüfungs- Kommission über das Abiturienten- Examen Ostern 1867.

13. Vom 17. August 1867. Bestätigung des Dr. W. R i n d f l e is c h zum öten ordentlichen Lehrer der Anstalt.

14. Vom 7. November 1867. Bestätigung des für das Wintersemester veränderten Lehrplans.

15. Vom 13. Januar 1868. Ueber die Feier des Geburtstages Sr. Maj. des Königs in diesem Jahr.

16. Vom 13. Februar 1868. Mittheilung der neuen Ferienordnung.

17. Vom 30. Januar 1868. Urtheile der Königl. wissenschaftlichen Prüfungs-Kommission über das Abiturienten- Examen Michaelis 1867.

IS. Vom 2. Februar 1868. Das Provinzial-Schulkollegium übersendet den Bericht des Dr. E c k l e r über das hiesige Turnwesen.

Chronik der Anstalt.

Mit Beginn des neuen Schuljahres trat H err Dr. Carl G otthold Lantech in das Lehrerkollegium ein.

Derselbe, am 19. November 1841 zu Storckow geboren, von dem Friedrichs-Collegium in Königsberg i. Pr. mit dem Zeugnisse der Reife entlassen und alsdann auf der Universität daselbst sowie der zu Heidelberg vorgebildet, promovirte auf Grund seiner Abhandlung „Ueber die Sättigungscapacität der Ueberjodsäure“ zum Doctor und legte im Juni 1867 seine Prüfung pro fae. docemdi ab. Nachdem es so möglich geworden, den durch den Abgang des H errn v. L v h m a n n erledigten physikalischen und naturhistorisehen Unterricht zu besetzen, konnte der U nterricht in der ganzen Anstalt den Sommer hindurch ohne wesentliche Störung fortgeführt werden. Bei Beginn des Wintersemesters jedoch traten Schwierigkeiten ein, für die eine schleunige Abhülfe herbeigeführt werden musste. Die Schülerzahl der Quarta war so gewachsen, dass von Seiten der Königlichen Behörde eine Theilung derselben für nothwendig befunden wurde und da das Gewinnen einer geeigneten Lehrkraft für den Augenblick nicht zu ermöglichen w ar, so wurden 23 Stunden, für welche die Theilung besonders nothwendig schien, von den einzelnen Lehrern gegen eine vom Patronat bewilligte Remuneration übernommen, die Berufung eines neuen Lehrers aber, die jetzt schon erfolgt ist, bis auf den Schluss des Wintersemesters verschoben. Eine zweite Störung des Unterrichts trat dadurch ein, dass der erste Elementarlehrer der Anstalt H err Look im November vorigen Jahres in eine schwere Krankheit verfiel, die ihm zu seinem eigenen und unser Aller Bedauern den W inter über jede amtliche Thätigkeit unmöglich machte. Leider ist sein Leiden auch jetzt noch nicht gehoben, so dass wir auch für den Sommer nicht auf sein Wiedereintreten hoffen dürfen. Der von ihm bisher ertheilte Unterricht ging auf den 2 ten Elementarlehrer Herrn Sem rau über, der seinerseits wieder in der Mehrzahl seiner Stunden von den Zöglingen des hiesigen Seminars Christ und T h eil vertreten wurde. — Auch im Turnunterrichte fand ein Wechsel statt. H err Oberlehrer Dr. B o tz o n , der denselben seit G j- Jahren mit grossem Eifer und glücklichem Erfolge geleitet hatte, legte ihn am 1. Juli 1867 nieder. An seine Stelle trat anfangs provisorisch, später definitiv der Lehrer an der hiesigen höheren Töchterschule Herr F lö g e l , der im W inter 1866 — 67 einen dreimonatlichen Kursus in der Centralturnanstalt zu Berlin durchgemacht hatte. Im Dezember konnte auch das W interturnen seinen Anfang nehmen, da die neue Turnhalle beendigt war und dem Gymnasium zum Gebrauche überwiesen wurde.

Das Schuljahr dauerte vom 25. April 1866 bis zum 3. April 1867. — Am 7. September fand ein Schulactus statt, bei welchem Schüler sämmtlicher Klassen mit Deklamationen in verschiedenen Sprachen und einigen Reden auftraten und die musikalischen Aufführungen von Herrn Kantor G ra b o w sk i geleitet wurden. —

Die schriftlichen Prüfungen der Abiturienten fanden vom 12. bis 17. August 1867, und vom 10. bis 15. Februar 1868 statt, die mündlichen unter dem A orsitze des Provinzialschulraths Hrn. Dr .Schräder am 25. August 1867 und am 3. März 1868. — Zehn Abiturienten erhielten das Zeugniss der Reife.

7. Vom 14. Mai 1867.

8. Vom 20. Juni 1867.

der Universität.

9. Vom 15. Ju li 1867.

der Anstalt.

10. Vom 20. Juli 1867.

11. Vom 27. Juli 1867.

12. Vom 24. Juli 1867.

I

Zwei hoffnungsvolle Schüler sind uns im Laufe des Jahres durch den Tod entrissen. Am ll.O c tb r. 1S67 starb der Schüler der zweiten Vorklasse R u d o lf Eisenack aus Willenberg bei Marienburg, am 15. November der Obertertianer P aul Friese aus Katznase.

Der Geburtstag Sr. Maj. des Königs wurde, weil derselbe auf einen Sonntag fiel, schon Tags zuvor, am 21. März, durch eine Schulfeier begangen.

Statistische Nachrichten.

Die Schlussfrequenz Ostern 1S67 ergab eine Anzahl von 272 Schülern für das Gymnasium und von 90 für die Vorklassen. Die Anfangsfrequenz beim Beginn des ersten Semesters im neuen Schuljahr die Zahlen 322 und 77, beim Beginn des 2. Semesters 321 und 88 ; augenblicklich am 2. März wird die Anstalt von 400 Schülern besucht, die sich nach Klassen, Religion und Wohnort in folgender Weise scheiden:

Evang, Kathol. Israel. Auswärt. Einheim.

i. 14 2 i 12 5

i i . 26 4 2 24 8

l i l a . 33 2 2 26 11

Illb . 44 i 4 32 17

IVa. 3 0 i 3 16 18

IVb. 29 i 2 20 12

V. 46 2 2 ₃₀ 20

VI. 52 5 5 20 42

VII. 4 8 3 5 16 4 0

VIII. 25 — 6 2 ₂₉

347 21 32 198 202

Neu aufgenommen sind im Laufe des Schuljahres 96, abgegängen 5S, unter den letzteren mit dem Zeugniss der Reife zu Michaelis:

1. P a u l G e r s d o r f f , geb. zu Grabow (Kr. Stettin) am 31. Juli 1847, ev. Conf., 6-^ J. a. d. Gymn., 2^ J. in Prima, widmet sich dem Baufach.

2. H e rrm a n n H a h n , geb. zu Thiensdorf bei Elbing am 30. März 1849, ev. Conf., 7 J. a. d. Gymn., 2 J. in Prima, stud. Jura in Königsberg i. Pr.

3. B e rn h a r d R e ic h a u , geb. zu Marienburg am 16. Dezbr. 1848, ev. Conf., 7 J. a. d. Gymn., 2 J.

in Prima, stud. Geschichte in Königsberg i. Pr.

4. J o h a n n e s R in z , geb. zu Marienburg am 7. Jan: 1848, ev. Conf., 7 J. a. d. Gymn., 2^ J. in Prima, stud. Theol. und Philol. in Königsberg i. Pr.

5. J u l i u s R o h d e , geb. zu Altmark bei Christburg am 19. Novbr. 1850, ev. Conf., 7 J. a. d. Gymn., 2 J. in Prima, stud. Jura in Heidelberg.

6. A n to n W ilc z e w sk i, geb. zu Bukowiecz bei Schwetz am 31. Dezbr. 1848, .kath. Conf., 7 J. a. d.

Gymn., 2 J. in Prima, stud. Medizin in Breslau.

7. F r i t z W o lff, geb. zu Marienwerder am 15. Novbr. 1846, ev. Conf., 2 J. a. d. Gymn., 1^- J.

in Prima, stud. »Tara in Berlin.

8. P h ilip p W u n d s c h , geb. zu Barendt bei Dirschau am 23. Jan. 1S50, ev. Conf., 5 J. a. d. Gymn., 1^ J . in Prima, stud. Medizin in Berlin.

Zu O s te rn gehen zur U n i v e r s i t ä t :

9. O tto L u d w ig , geb. zu Tragheim bei Marienburg am 11. Jan. 1849, ev. Conf., 6 J. a. d. Gymn., 2 J. in Prima, stud. Jura in Heidelberg.

10. L o u is W o d a e g e , geb. zu Flederborn (K r. N eu-Stettin) am 19. Juli 1844, ev. Conf., 1-j J.

a. d. Gymn., 2-j J. in Prima (früher in Neu-Stettin), stud. Theol. in Berlin.

Von den genannten wurden H a h n , R o h d e , W o lff, W u n d s c h und L u d w ig von der mündlichen

Prüfung dispensirt.