Krzywe stożkowe

KRZYWE STOŻKOWE

Elipsą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch danych punktów F1 i F2 jest stała i większa od odległości tych punktów. Punkty F1 i F2

nazywamy ogniskami elipsy. Środek odcinka łączącego ogniska nazywamy środkiem elipsy. Osią wielką elipsy nazywamy odcinek A1A2 (punkty A1 i A2 to punkty przecięcia prostej

wyznaczonej przez ogniska z elipsą). Osią małą elipsy nazywamy odcinek B1B2 (punkty B1 i B2 to punkty przecięcia symetralnej osi wielkiej z elipsą). Odległość ognisk elipsy |F1F2|

nazywamy ogniskową elipsy. Stosunek ogniskowej do długości osi wielkiej nazywamy mimośrodem elipsy:

Równaniem elipsy , której ogniska leżą na osi OX symetrycznie względem początku układu współrzędnych, 2a jest długością osi wielkiej, 2b jest długością osi małej, gdzie a > 0 i b > 0, nazywamy równanie:

Elipsa jest zbiorem wszystkich punktów (x, y) spełniających to równanie.

Własność odbiciowa elipsy : każdy promień wystrzelony z jednego ogniska po odbiciu się od elipsy trafia w drugie ognisko.

Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg.

Okręgiem nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od danego punktu S jest stała. Punkt S nazywamy środkiem okręgu, a stałą odległość punktów od środka promieniem okręgu.

Równaniem okręgu o środku S = (0, 0) i promieniu r > 0 nazywamy równanie

Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których moduł (wartość bezwzględna) różnicy odległości od dwóch danych punktów F1 i F2 jest stały i mniejszy od | F1F2| . Punkty F1 i F2 nazywamy ogniskami hiperboli. Odległość między ogniskami

hiperboli |F1F2| nazywamy ogniskową hiperboli. Punkty przecięcia hiperboli i prostej

wyznaczonej przez ogniska nazywamy wierzchołkami hiperboli. Odcinek A1A2 o końcach w

wierzchołkach nazywamy osią rzeczywistą hiperboli. Mimośrodem hiperboli nazywamy stosunek ogniskowej do długości osi rzeczywistej:

Równaniem hiperboli , której ogniska leżą na osi OX symetrycznie względem układu współrzędnych, oś rzeczywista ma długość 2a i ogniskowa jest równa 2c nazywamy równanie:

gdzie b jest taką liczbą dodatnią, że c2 _{= a}2 _{+ b}2 _.

Asymptotami hiperboli , której ogniska leżą na osi OX symetrycznie względem układu współrzędnych, oś rzeczywista ma długość 2a i ogniskowa jest równa 2c nazywamy proste o równaniach:

i gdzie b jest taką liczbą dodatnią, że c2 _{= a}2 _{+ b}2 _.

Parabolą o ognisku w punkcie F nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ogniska jest równa odległości od danej prostej k nieprzechodzącej przez punkt F. Prostą k nazywamy kierownicą paraboli.

Równaniem paraboli , której wierzchołkiem jest (0, 0) , kierownica jest równoległa do osi OY oraz ognisko leży na osi OX nazywamy równanie postaci y2 _{= 2p · x gdzie |p| jest}

odległością ogniska od kierownicy. Ognisko ma współrzędne , a kierownica równanie .

Własności odbiciowe paraboli:

· każdy promień "wpadający" do paraboli, prostopadły do kierownicy po odbiciu się od paraboli trafia w ognisko,

· promienie wychodzące z ogniska po odbiciu się od paraboli tworzą wiązkę równoległą. Zadania:

Napisz równanie elipsy, której oś duża jest równa 20, a mimośród wynosi 0,8.

1. Sprawdź, które z punktów :

 





2. W danej elipsie 9_x2 _25_y2 _225 _{znajdź połowę wielkiej osi}

a

, odległość ogniskową

c

3. Napisz równanie elipsy, która ma ogniska w punktach (-3,0) i (3,0) i zawiera punkt (4,1).

4. Napisać równanie stycznej do elipsy 9_x2 _20_y2 _180 _{w punkcie o odciętej}

3 10 

x .

5. Dana jest elipsa 3_x2 _{ y}5 2 _120_{. Znajdź równanie stycznej do elipsy, poprowadzonej}

równolegle do prostej x y3 60_.

6. Dobierz tak wartość współczynnika

m

7. Sprawdź, które z punktów





8. Znajdź połowę osi rzeczywistej, asymptoty, ogniska i mimośród hiperboli

144 9

16_x2 _{ y}2 _{ .}

9. Napisz równanie hiperboli , mając dane ogniska F₁ (5,0), F₂ (5,0) i połowę osi rzeczywistej a4.

10. Napisz równanie hiperboli o ogniskach w punktach (-10,0), (10,0), która przechodzi przez punkt       _,6 2 1 7 _.

11. Znajdź równanie stycznej do hiperboli 3_x2 _{ y}2 2 _30 _{równoległej do prostej}

2 2   x

y _.