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Propagation of short gravity waves in shoaling waters: Refraction and diffraction

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Academic year: 2021

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(1)

R e p o r t n r . lt\'^L^l L ^ - g - l Z l g g t i o " o f s h o r t R r a v i t v w a v e s . i n s h o a l m g v ; a t e r R e f r a c _ t i o n a n d d i f f r a c t i o n . I . Some a p p r o x i m a t i o n m e t h o d s . A.C. R a d d e r ïbe H a g u e , J u l y 1974 Ryk s v;a t e r s t a a t W a t e r C o n t r o l a n d ' P u b l i c W o r k s D e p a r t m e n t : D a t a P r o c e s s i n g D i v i s i o n The N e t h e r l a n d s . J u l y 1974 •

(2)

O I n t r o d u c t i o n . I n t h i s r e p o r t , a d e s c r i p t i o n i s g i v e n o f some a p p r o x i m a t i o n m e t h o d s , t o s o l v e t h e p r o b l e m o f s h o r t V7ave p r o p a g a t i o n i n s h o a l i n g w a t e r . The p r o b l e m i s s t a t e d a s a n e l l i p t i c i n i t i a l v a l u e p r o b l e m , w h i c h i s i n g e n e r a l n o t p r o p e r l y p o s e d . A f t e r r e d u c t i o n o f t h e w a v e e q u a t i o n t o t h e H e l m h o l t z e q u a t i o n , t h e t r a n s i t i o n t o a m p l i t u d e and .phase i s i n v e s t i g a t e d , i n p a r t i c u l a r a t s i n g u l a r p o i n t s . P e r t u r b a t i o n t h e o r y i s a p p l i e d , b y i n t r o -d u c i n g e x p a n s i o n s i n p o w e r s o f a s m a l l p a r a m e t e r . T h r e e a p p r o x i m a t i o n m e t h o d s h a v e b e e n c o m p a r e d : 1) t h e p h a s e - i n t e g r a l m e t h o d , i n c l u d i n g t h e g e o m e t r i c a l o p t i c s a p p r o x i m a t i o n as a s p e c i a l c a s e , 2 ) R y t o v ' s m e t h o d , 3 ) a m o d i f i c a t i o n o f R y t o v ' s m e t h o d .

(3)

P r o b l e m d e s c r i p t i o n ^ The p r o p a g a t i o n o f p e r i o d i c , s m a l l a m p l i t u d e , s u r f a c e g r a v i t y w a v e s i n s h o a l i n g w a t e r i s d e s c r i b e d b y t h e t w o - d i m e n s i o n a l r e d u c e d wave e q u a t i o n ( r e f . [ 2 ] , 11 ) : i n w h i c h V . ( c c V $ ) + CC k (i) g g 0 ( 1 ) $ ( x , y ) k 03 C c c o m p l e x p o t e n t i a l f u n c t i o n , w a v e n i m i b e r , a f u n c t i o n o f t h e w a t e r -d e p t h h t h r o u g h t h e -d i s p e r s i o n r e l a t i o n 2 W = gk t a n h ( k h ) , a c c e l e r a t i o n o f g r a v i t } ' , a n g u l a r f r e q u e n c y , p h a s e v e l o c i t y , g r o u p v e l o c i t y . The a r e a i n w h i c h e q u a t i o n ( 1 ) s h o u l d be s o l v e d i s c o n f i n e d b y ( s e e f i g . 1) : a d e e p x r a t e r l i n e ( x v r a t e r d e p t h > h a l f w a v e l e n g t h ) a b r e a k e r l i n e ( d e f i n e d b y some b r e a k e r c r i t e r i o n ) , and two b o u n d a r i e s p e r p e n d i c u l a r t o t h e d e e p v j a t e r l i n e .

s

I

A,

(4)

2 R e f l e c t i o n o f t h e w a v e s i s n e g l e c t e d , r e s t r i c t i n g t h e b o t t o m s l o p e t o s m a l l v a l u e s i n t h e w h o l e a r e a ( s a y ^ l e s s t h a n 1 : 1 5 ) . The p r o b l e m i s no\<i s t a t e d as a n i n i t i a l v a l u e p r o b l e m : o n t h e d e e p w a t e r l i n e , t h e p o t e n t i a l f u n c t i o n r e p r e s e n t s a n e l e m e n t a r y p r o g r e s s i v e w a v e : ^ ^ i k ( x c o s a + y s i n a ) /-o-y 0 0 i n v j h i c h : ' • A = c o n s t a n t a m p l i t u d e , 0 k = w a v e n u m b e r i n d e e p w a t e r , 0 a = a n g l e b e t w e e n w a v e f r o n t a n d y - a x i s . F o r X = 0 we h a v e : . • ( 3 ) 8 x 8 x The l i n e a r e l l i p t i c C a u c h y p r o b l e m ( l ) - ( 3 ) i s i n g e n e r a l n o t p r o p e r l y p o s e d ( r e f . [ 6 j ) . . TxTO q u e s t i o n s a r i s e : a ) t h e s o l u t i o n s h o u l d d e p e n d c o n t i n u o u s l y o n t h e d a t a ( r e q u i r e m e n t o f s t a b i l i t y ) , b ) t h e d o m a i n o f i n f l u e n c e o f t h e d a t a s h o u l d be d e f i n e d . C o n t i n u o u s d e p e n d e n c e o n t h e d a t a may b e r e s t o r e d b y r e s t r i c t i n g a t t e n t i o n t o t h o s e s o l u t i o n s s a t i s f y i n g a p r e s c r i b e d g l o b a l b o u n d ( f o r f u r t h e r d e t a i l s , see r e f . [ s J ) . A l t e r n a t i v e m e t h o d s a r e g i v e n i n r e f . [ S j . A p p r o x i m a t e r e d u c t i o n o f t h e r e d u c e d V7ave e q u a t i o n t o t h e H e l m h o l t z e q u a t i o n . I n o r d e r t o s i m p l i f y e q u a t i o n ( 1 ) we i n t r o d u c e a s c a l i n g f a c t o r / c c : '~ • g 4, = $ / ^ r ( 4 ) T h e n ( 1 ) t r a n s f o r m s i n t o ; „ ( ^ ' " - 7 : = : ^ ) ^ ^ o ( 5 ) /cc g

(5)

r We c o m p a r e t h e s i z e o f t h e t e r m — — — - w i t h k : v/ccT g i n f i g . 2 a r e shown c, c a n d / c c ^ a s a f u n c t i o n o f k g h , w i t h g g r e g a r d t o t h e v e l o c i t y ' CQ = -^-tü. F[£j. Z F o r k o h = ! j c h a s a maximum, a n d i/ccT e q u a l s i t s a s y m p t o t i c v a l u e 1 / / F o r k o h — 1.6^ ^/cc h a s a maximum. U s i n g t h e i d e n t i t y : —« 'g _ d h " ^ " g e dh f dh P c c g 'cc ( 6 ) i t f o l l o v 7 s , t h a t t h i s t e r m c a n p l a y a p a r t w i t h r e g a r d t o k o n l y i n s h a l l o w w a t e r . I n t h a t c a s e o n e h a s k f l h < 0 . 1 5 , k — ° , c — c 3 n d ( 6 ) i s a p p r o x i m a t e d b y : /I c c 2h 4h^ ( 7 ) T h i s y i e l d s k ^ -c -c h 2ko 4ko h ( 8 )

(6)

r

4

The f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s a r e now made :

1) V l i « 2ko , . ( 9 a ) i m p l y i n g s h o r t w a v e s o v e r a s l o w l y v a r y i n g b o t t o m .

2) I V h l ^ « 4 k o h , ( 9 b ) i m p l y i n g a s m a l l b o t t o m s l o p e i n c a s e o f s h a l l o v ; w a t e r .

The l a s t two t e r m s i n ( 8 ) c a n t h e n be n e g l e c t e d , and ( 5 ) r e d u c e s t o t h e H e l m h o l t z e q u a t i o n : 2 2 V (}) + k-(j) = 0 ( 1 0 ) D e f i n i n g n = — , ( 1 1 ) ko ( 1 0 ) p a s s e s i n t o : V^^j, + kon^cj) = 0 ( 1 2 ) I n t h e t h e o r y o f e l a s t i c i t y a n d e l e c t r o d y n a m i c s f o r i n h o m o g e n e o u s m e d i a we m e e t e x a c t l y t h e same e q u a t i o n ( 1 2 ) , v a l i d f o r h i g h f r e -q u e n c i e s , w h e r e n i s t h e i n d e x o f r e f r a c t i o n o f t h e m e d i u m ( r e f . [ 9 ] ) . T r a n s i t i o n t o a m p l i t u d e a n d p h a s e . S i n g u l a r p o i n t s . F o r s h o r t w a v e s , t h e p o t e n t i a l f u n c t i o n (fi i s a r a p i d l y o s c i l l a t i n g f u n c t i o n o f x a n d y, w h i c h i s n o t e a s i l y t o h a n d l e i n a d i r e c t n u -m e r i c a l a p p r o a c h ( c f . r e f . [ 2 ] ) . T h e r e f o r e , we t u r n t o t h e a m p l i t u d e A a n d t h e p h a s e F : (f) =^ A c " ' = u + i v . ( 1 3 ) I n s e r t i n g e q u a t i o n ( 1 3 ) i n e q u a t i o n ( 1 0 ) y i e l d s ? V A ? 9 ~ - + k^-|VF|'^ = 0 ( 1 4 a ) ( 1 4 b )

(7)

The J a c o b i d e t e r m i n a n t o f t h e t r a n s f o r m a t i o n ( 1 3 ) a m o u n t s t o : a ( t i , v ) ^ 8'(A,F) a y 3 y 3A 3F = A ( 1 5 ) so t h a t ( 1 3 ) i s n o t r e v e r s i b l e i n t h e n e i g h b o u r h o o d o f p o i n t s w h e r e A = 0. L e t P be s u c h a s i n g u l a r ( i s o l a t e d ) p o i n t . We i n t r o d u c e t h e e n e r g y s t r e a m f u n c t i o n G a n d t h e e n e r g y v o r t i c i t y w: 3 ^ 9 y A^ = u 9^ 9 x 3 x 9 x a £ = .-A2 9 1 9 x 9 y 9 y 9 y ( 1 6 a ) ( 1 6 b ) w=H i y ^ G = 9.V cKi 9 u i v 9 x 3 y 8 x dy ( 1 7 ) T h r o u g h ( 1 6 ) , ( 1 4 b ) i s s a t i s f i e d a u t o m a t i c a l l y , w h i l e G m u s t s a t i s f y : V. ( VG) = 0 A^ ( 1 8 ) F r o m ( 1 6 ) i t f o l l o w s f u r t h e r VF-VG = 0 ( 1 9 ) so t h a t l i n e s o f c o n s t a n t G ( l i n e s o f a v e r a g e e n e r g y f l o w ) a r e t h e o r t h o g o n a l s o f l i n e s o f c o n s t a n t F ( w a v e f r o n t s ) . C f . r e f . [ l ] . The v o r t i c i t y w i s , i n v i e w o f ( 1 7 ) , a m e a s u r e f o r t h e c u r v a t u r e óf t h e s u r f a c e G ( x , y ) . N e x t , we. i n v e s t i g a t e t h e b e h a v i o u r o f -the f u n c t i o n s G,F a n d w i n t h e n e i g h b o u r h o o d o f t h e p o i n t P. A t P we h a v e A = 0 , s o u = v = 0 , c o n s e q u e n t l y 9G 9 x - 3 G ( 2 0 ) F u r t h e r , 9 x ^ 9 y 9 x 9 y = 0 = 9_v 3^u _ ?ru 3^v ^ 9 x 9 y 9x 9 y w ( 2 1 ) ( 2 2 )

(8)

6 so t h a t : a ' s . - w ( 2 3 ) F r o m ( 2 0 ) a n d ( 2 3 ) x^e c o n c l u d e : A t t h e p o i n t P , w h e r e A = Ö a n d w / 0, G h a s a ( r e l a t i v e ) e x t r e m u m . F o r t h i s s i t u a t i o n t h e e n e r g y s t r e a m l i n e s a r e s h o w n i n f i g . 3 ( " e n e r g y v o r t e x " ) . ^ I n t h e n e a r e s t n e i g h b o u r h o o d o f P t h e s t r e a m l i n e s a r e c i r c l e s , b e c a u s e ( 2 2 ) i s v a l i d t h e r e . W i t h i n t h e l o o p a l l s t r e a m l i n e s a r e c l o -s e d , t h e y d o n ' t c o n t r i b u t e t o t h e e n e r g y p r o p a g a t i o n o f t h e w a v e -s . A l o n g s u c h a l i n e , t h e p h a s e F i s a m o n o t o n o u s f u n c t i o n , r e t u r n i n g a f t e r o n e t o u r a t t h e same p o i n t v ^ i t h a new v a l u e , d i f f e r i n g f r o m t h e o l d o n e b y a n a m o u n t o f 2)1. So, F i s a m u l t i p l e v a l u e d f u n c -t i o n a n d -t h e p o i n -t P i s a b r a n c h p o i n -t o f a R i e m a n n - s u r f a c e o f F v ^ i t h i n f i n i t e l y many s h e e t s . A t t h e s t a g n a t i o n p o i n t Q, e q u a t i o n ( 2 0 ) h o l d s a s w e l l , b u t i n g e n e -r a l A 0, so t h a t i n viex'7 o f ( 1 6 ) : 9F 9 x 3F 3 y = 0 ( 2 4 ) T h i s y i e l d s a h o m o g e n e o u s s e t o f e q u a t i o n s i n u a n d v , w h i c h h a s a n o n - t r i v i a l s o l u t i o n o n l y i f : 3 v 9 u _ 3 u 3 v _ Q 3 x 3 y 3 x 3 y ( 2 5 )

(9)

7 We c o n c l u d e : A t t h e p o i n t Q, v j h e r e G i s s t a t i o n a r y a n d A 5^ 0, F i s s t a t i o n a r y and w = 0. I t f o l l o w s f r o m t h e a b o v e , t h a t o n t h e p h a s e c o n t o u r OP t h e v a l u e o f VF i n c r e a s e s f r o m z e r o ( a t Q) t o i n f i n i t e ( a t P ) , so some-w h e r e o n QP m u s t h o l d ( C f . ( 1 4 a ) ) : V F | =k ( 2 6 ) I f we a s s u m e , t h a t a l o n g t h e l o o p , o n a n a v e r a g e , ( 2 6 ) a p p r o x i m a t e -l y h o -l d s , we c a n e s t i m a t e t h e s i z e o f t h e -l o o p : 2n = é ds Z (5 k d s > k •() ds = k n d , ( 2 7 ) " ds 0 0 o r , V 7 i t h ko = 2;yLo : d c L o / r t ( 2 8 ) i n w h i c h d = a v e r a g e d i a m e t e r o f t h e l o o p , ^-"o^ v j a v e l e n g t h i n d e e p w a t e r . I n p h y s i c a l o p t i c s , s i m i l a r phenomena a r e f o u n d , f o r i n s t a n c e i n t h e s o l u t i o n o f S o m m e r f e l d ' s d i f f r a c t i o n p r o b l e m ( r e f . 3 ) . I n o u r p r o b l e m , t h e d e s c r i b e d p h e n o m e n o n i n g e n e r a l a p p e a r s as a s e r i e s o f b r a i i c h p o i n t s , w h i c h i n t h e l i m i t o f L o ^ 0 p a s s e s i n t o a c a u s t i c , a w e l l k n o w n a s y m p t o t i c p h e n o m e n o n i n g e o m e t r i c a l o p t i c s . • Some p e r t u r b a t i o n m e t h o d s . I n o r d e r t o f i n d a n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n o f e q u a t i o n ( 1 2 ) , we a p p l y some m e t h o d s o f p e r t u r b a t i o n t h e o r y ( r e f . [ l O ] ) . T h e s e c o n s i s t i n . i i i t r o d u c i n g a n e x p a n s i o n i n p o w e r s o f a s m a l l p a r a -m e t e r ( e . g . 1 / k p ) , The e x p a n s i o n d o e s n o t i n g e n e r a l c o n v e r g e , b u t i t i s an a s y m p t o t i c e x p a n s i o n , w h i c h , i f b r o k e n o f f a f t e r a f i n i t e n u m b e r o f t e r m s , g i v e s t h e s o l u t i o n t o a g o o d a p p r o x i m a -t i o n i f -t h e p a r a m e -t e r i s s u f f i c i e n -t l y s m a l l : -t h e -t e r m s f i r s -t p r o g r e s s i v e l y d e c r e a s e i n m a g n i t u d e , t h e n r e a c h a m i n i m u m a n d t h e r e a f t e r i n c r e a s e . H o w e v e r , i t f r e q u e n t l y h a p p e n s t h a t t h e e x p a n s i o n i s n o t v a l i d i n c e r t a i n r e g i o n s ( t r a n s i t i o n r e g i o n s o r b o u n d a r y l a y e r s ) , a n d s p e c i a l t e c h n i q u e s m u s t be a p p l i e d t o o b t a i n u n i f o r m v a l i d i t y .

(10)

8 I n r e f . [ 7 ,a g e n e r a l s u r v e y o f s u c h a s y m p t o t i c phenomena i s g i v e n . I n t h i s r e p o r t we i n v e s t i g a t e t h r e e m e t h o d s : 1) The p h a s e - i n t e g r a l ( o r : L i o u v i l l e - G r e e n , o r : WKB ) m e t h o d , v a l i d f o r l a r g e w a v e n u m b e r ICQ ( G e o m e t r i c a l o p t i c s c a n b e c o n s i d e r e d a s a s p e c i a l c a s e ) . 2 ) R y t o v ' s m e t h o d , v a l i d i f t h e i n d e x o f r e f r a c t i o n n d i f f e r s l i t t l e f r o m a c o n s t a n t . 3 ) A m o d i f i c a t i o n o f R y t o v ' s m e t h o d . The p h a s e - i n t e g r a l m e t h o d . L e t (}) = e ( 2 9 ) t h e n ijj m u s t s a t i s f y V^i/j + koVij;.V;|j + k o n ^ = 0 ( 3 0 ) We e x p a n d ij; i n p o w e r s o f t h e p a r a m e t e r 1/ko ( 3 1 ) I n s e r t i n g ( 3 1 ) i n ( 3 0 ) a n d e q u a t i n g t o z e r o c o e f f i c i e n t s o f e q u a l pov/ers o f k g , y i e l d s t h e f o l l o w i n g s e r i e s o f e q u a t i o n s i n i j j ^ : Vi|)o-Vij;o + n = 0

2 Vijj . Vijjo + V ipo = 0

2 Vi|; .ViJJo + V^ijj , +™Z:' Vif;..Vi|; . = o , m > l ^m ^" ^ m-1 j = l ^ m - j . ' S e t t i n g \1}Q p u r e l y i m a g i n a r y ; ( 3 2 ) ijjo = i s = i F / k ( 3 3 ) o n e o b t a i n s f r o m t h e f i r s t e q u a t i o n i n ( 3 2 ) t h e e i c o n a l e q u a t i o n o f g e o m e t r i c a l o p t i c s f o r t h e p h a s e f u n c t i o n S : ( V S ) 2 =-- ( 3 4 ) ( n e g l e c t i n g i n e q u a t i o n ( 1 4 a ) t h e t e r m ^-A ^ ^.,,G g e t t h e same e q u a t i o n ) A

(11)

9 The r e m a i n i n g e q u a t i o n s i n ( 3 2 ) a r e e q u i v a l e n t t o t h e t r a n s -p o r t e q u a t i o n s o f g e o m e t r i c a l o -p t i c s , f r o m w h i c h t h e v a r i a t i o n o f w a v e a m p l i t u d e c a n b e e v a l u a t e d ( C f . e q u . ( 1 4 b ) ) . The s e c o n d o r d e r p r o b l e m ( 3 0 ) i s t h u s r e p l a c e d b y a s e r i e s o f f i r s t o r d e r p r o b l e m s ( 3 2 ) . As a c o n s e q u e n c e , o n e i n i t i a l c o n d i t i o n w i l l g e t l o s t : i f we d r o p i n ( 3 ) t h e c o n d i t i o n ^ = , we o b t a i n t h e f o l l o w i n g i n i t i a l v a l u e s f o r t h e scheme ( 3 2 ) : \po = i ( x c o s a -I- y s i n a ) , } f o r x = 0 ( 3 5 ) 4^ = 0 , m>0 m L e t i n g e n e r a l ; ijjQ = uo -I- i v o ( 3 6 ) T h e e q u a t i o n s o f t h e scheme ( 3 2 ) c a n b e i n t e g r a t e d s u c c e s s i v e l y a l o n g t h e same c h a r a c t e r i s t i c c u r v e s ( o r w a v e r a y s ) : 9 x ' 9 y 3 x ^ 3 y • ^-^^^ The p r o c e s s o f l o s i n g a n i n i t i a l c o n d i t i o n t a k e s p l a c e t h r o u g h n o n - u n i f o r m c o n v e r g e n c e : i t i s w e l l k n o x m t h a t t h e d e s c r i b e d me-t h o d f a i l s a me-t a c a u s me-t i c ( e n v e l o p e o f w a v e r a y s ) , v j h e r e a d j a c e n me-t r a y s i n t e r s e c t a n d t h e a m p l i t u d e o f t h e w a v e f i e l d b e c o m e s i n f i -n i t e l y h i g h . ( A c t u a l l y , w a v e r a y s r e p r e s e -n t a -n a p p r o x i m a t i o -n o f l i n e s o f a v e r a g e e n e r g y f l o w , w h i c h c a n n o t i n t e r s e c t , as f o l l o w s f r o m t h e e q u a t i o n o f e n e r g y c o n s e r v a t i o n ( 1 4 b ) ) . I n o r d e r t o c o n s t r u c t a u n i f o r m a s y m p t o t i c e x p a n s i o n , v a l i d a t a c a u s t i c , i t i s n e c e s s a r y t o know t h e l o c a t i o n a n d t h e n a t u r e o f t h e c a u s t i c . The m e t h o d c o n s i s t t h e n i n i n t r o d u c i n g l o c a l b o u n d a -r y l a y e -r c o o -r d i n a t e s t h -r o u g h a s t -r e t c h i n g t -r a i i s f o -r m a t i o n , a n d j o i n i n g t h e b o u n d a r y l a y e r s o l u t i o n t o t h e s o l u t i o n o u t s i d e t h i s r e g i o n . A s m o o t h c a u s t i c i n v o l v e s A i r y f u n c t i o n s , w h i l e a t a c u s p e d c a u s t i c Weber o r p a r a b o l i c c y l i n d e r f u n c t i o n s a r e a p p r o -p r i a t e ( f o r d e t a i l s , s e e r e f . [ l O j , [ l 2 ] ; r e f . 4 ] d e a l s w i t h w a t e r w a v e s ) .

(12)

10 The m e t h o d o f R y t o v . We i n t r o d u c e t h e n o n - d i m e n s i o n a l v a r i a b l e s X = k n x ' = k o y

= k o V

( 3 8 ) L e t 6 = ( 3 9 ) t h e n i|j m u s t s a t i s f y V' ^i/j + v > . V'lj; + n ^ = 0 ( 4 0 ) By h y p o t h e s i s , n c a n be w r i t t e n as f o l l o w s n = 1 -h e X ( x , y ) ( 4 1 ) w i t h e « 1 , x ( x , y ) = 0 ( 1 ) . We e x p a n d ijj i n p o w e r s o f t h e p a r a m e t e r e : i n w h i c h = e ^ i j ; ^ , j = 0 , 1 , . . ( 4 2 ) (4 3) I n s e r t i n g (4 2) i n ( 4 0 ) and e q u a t i n g t o z e r o c o e f f i c i e n t s o f e q u a l p o w e r s o f e , y i e l d s t h e f o l l o w i n g s e r i e s o f e q u a t i o n s i n i)\ ( t h e s y m b o l ' h a s b e e n o m i t t e d " ) :

V i|Jo + VijJo .VijJo + 1 = 0

V ^ i j j j + 2V.jj(, .Viljj + - 1 = 0

r) m~ 1

V il!^^ + 2Vi|jo .Vi];^^ + V4J_. .Vi|j^^_^ = 0 , m> 1

F r o m t h e i n i t i a l c o n d i t i o n ( 3 ) , i t f o l l o w s t h a t t h e e x a c t s o l u t i o n o f t h e f i r s t e q u a t i o n i n ( 4 4 ) i s g i v e n b y :

( 4 4 )

(13)

r 1 1 x - j h i l e f o r t h e r e m a i n i n g e q u a t i o n s h o l d s ( 4 6 ) The n o n - l i n e a r p r o b l e m ( 4 0 ) i s t h u s r e p l a c e d b y a s e r i e s o f l i n e a r p r o b l e m s ( 4 4 ) o f t h e same o r d e r . The v a l i d i t y o f t h e m e t h o d d e p e n d s 2 o n t h e s i z e o f t h e p e r t u r b a t i o n t e r m n ~ 1 , as w e l l as o n t h e s i z e o f t h e i n v o l v e d a r e a . The m e t h o d h a s b e e n a p p l i e d t o t h e p r o b l e m o f l i g h t p r o p a g a t i o n i n a t u r b u l e n t m e d i u m ( f o r f u r t h e r r e f e r e n c e s o n t h i s s u b j e c t , s e e r e f . 1 o] ) , The m o d i f i e d m e t h o d o f R y t o v . I f t h e p e r t u r b a t i o n t e r m i n ( 4 4 ) i s n o t s m a l l , t h e f i r s t t e r m s i n t h e e x p a n s i o n ( 4 2 ) do n o t n e c e s s a r i l y d e c r e a s e i n m a g n i t u d e . T h e n i t may h a p p e n t h a t ( 4 7 ) We c a n m o d i f y t h e scheme ( 4 4 ) b y i n c l u d i n g i n e a c h e q u a t i o n as many t e r m s o f h i g h e r o r d e r as p o s s i b l e , w i t h o u t i n t r o d u c i n g non-l i n e a r e q u a t i o n s . The f i r s t two e q u a t i o n s r e m a i n u n c h a n g e d , t h e t h i r d o n e - b e c o m e s : ( 4 8 ) T h i s p r o c e d u r e l e a d s t o t h e scheme V iJJo +Vi|;o.Vi!jo +1 =-- 0 V ^ ^ j j + 2Vijjo.Vi|;j H- n ^ - 1 = 0

V X + 2 ( J. V^I;.).Vij; -i- Vi,ü , .Vijj - 0 , m> 1 m J^'o J m m-1 m-1 '

C l e a r l y , e q u a t i o n s ( 4 5 ) and ( 4 6 ) r e m a i n v a l i d . The scheme ( 4 9 ) d o e s n o t , i n g e n e r a l , d e f i n e a n a s y m p t o t i c e x p a n s i o n , b u t i t c a n b e c o n s i d e r e d e q u a l l y x ^ e l l as a m e t h o d o f a p p r o x i m a t i o n f o r s o l v i n g e q u a t i o n ( 4 0 ) .

(14)

C o m p a r i s o n o f t h e d e s c r i b e d m e t h o d s . O n - a c c o u n t o f t h e c r i t e r i o n o f v a l i d i t y , t h e g e o m e t r i c a l o p t i c s a p p r o x i m a t i o n a p p e a r s a p p r o p r i a t e i n c a s e o f s u f f i c i e n t l y s h o r t v;aves, p r o p a g a t i n g o v e r a b o t t o m w i t h s i m p l e c o n t o u r s , so t h a t t h e l o c a t i o n a n d n a t u r e o f c a u s t i c s , i f a n y , c a n e a s i l y b e d e -t e r m i n e d . The ( m o d i f i e d ) m e -t h o d o f R y -t o v s h o u l d b e a p p l i e d i n c a s e o f i r r e g u l a r b o t t o m c o n t o u r s ( c o m p a r a b l e w i t h a t u r b u l e n t m e d i u m ) . The m o d i f i c a t i o n o f t h e m e t h o d i s n e c e s s a r y , i f t h e i n d e x o f r e f r a c t i o n d i f f e r s t o o much f r o m a c o n s t a n t . T a k i n g i n t o a c c o u n t t h e a p p e a r a n c e o f s i n g u l a r p o i n t s i n t h e t r a n s f o r m a t i o n s ( 2 9 ) a n d ( 3 9 ) (com.pare w i t h ( 1 3 ) we c a n d i s t i n g u i s h t h e t h r e e f o l l o w i n g c a s e s : 1) no b r a n c h p o i n t s a r e p r e s e n t i n t h e e x a c t s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m , a n d no c r o s s i n g wave r a y s r e s u l t f r o m t h e g e o m e t r i -c a l o p t i -c s a p p r o x i m a t i o n . T h e n , e a -c h o f t h e m e t h o d s -c a n b e a p p l i e d , w i t h i n t h e i r l i m i t s o f v a l i d i t y . 2 ) no b r a n c h p o i n t s a r e p r e s e n t , b u t c r o s s i n g wave r a y s o c c u r . The ( m o d i f i e d ) m e t h o d o f R y t o v h a s i n t h i s c a s e , w i t h i n l i -m i t s , a w i d e r d o -m a i n o f v a l i d i t y , b e c a u s e i t g i v e s a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n t o t h e l i n e s o f a v e r a g e e n e r g y f l o w . 3 ) b r a n c h p o i n t s a r e p r e s e n t i n t h e s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m . The c o n v e r g e n c e o f t h e ( m o d i f i e d ) m e t h o d o f R y t o v s h o u l d b e i n -v e s t i g a t e d , t o g e t h e r w i t h a t e s t o n e n e r g y c o n s e r -v a t i o n . As a p r e l i m i n a r y c o n c l u s i o n , v/e may s t a t e t h a t t l i e ( m o d i f i e d ) m e t h o d o f R y t o v h a s a w i d e r f i e l d o f a p p l i c a t i o n t h a n t h e v;ave r a y m e t h o d , b e c a u s e d i f f r a c t i o n e f f e c t s a r e t a k e n i n t o a c c o u n t .

(15)

13

R e f e r e n c e s .

' l ] . B a t t j e s , J.A., R e f r a c t i o n o f w a t e r w a v e s , P r o c . ASCE, J . W a t e r w a y s and H a r b o r s D i v . , 94 ( 1 9 6 8 ) , 4 3 7 - 4 5 1 . 2 ] . B e r k h o f f , J.C.W,, C o m p u t a t i o n o f c o m b i n e d r e f r a c t i o n - d i f f r a c t i o n . D e l f t H y d r a u l i c s L a b o r a t o r y , M a t h e m a t i c a l B r a n c h , The N e t h e r l a n d s ( 1 9 7 3 ) . '3 . B o r n , M. , and V J o l f , E., P r i n c i p l e s o f o p t i c s . E l e c t r o m a g n e t i c t h e o r y o f p r o p a g a t i o n , i n t e r f e r e n c e a n d d i f f r a c t i o n o f l i g h t , 4 t h e d . , P e r g a m o n P r e s s , O x f o r d ( 1 9 7 0 ) . 4 . Chao, Y.Y., An a s y m p t o t i c e v a l u a t i o n o f t h e w a v e f i e l d n e a r a s m o o t h c a u s t i c , J . G e o p h y s . R e s . 76 ( 1 9 7 1 ) , 7 4 0 1 - 7 4 0 8 . ' 5 ] . C o o l e n , T.M.T., I m p r o p e r l y p o s e d p r o b l e m s . C o l l o q u i u m e l l i p t i c d i f f e r e n -t i a l e q u a -t i o n s , p a r -t 2, p p . 3 4 - 6 7 , M a -t h e m a -t i s c h C e n -t r u m , A m s -t e r d a m ( 1 9 7 0 , i n D u t c h ) . '61. C o u r a n t , R,, and H i l b e r t , D., M e t h o d s o f m a t h e m a t i c a l p h y s i c s , v o l . I I , P a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , I n t e r s i e n c e P u b l i s h e r s , New Y o r k ( 1 9 6 6 ) . "7]. F r i e d r i c h s , K.O., A s y m p t o t i c phenomena i n m a t h e m a t i c a l p h y s i c s . B u l l . Am. M a t h . Soc. 61 ( 1 9 5 5 ) , 4 8 5 - 5 0 4 . ' 8 ] . M i l l e r , K., L e a s t s q u a r e s m e t h o d s f o r i l l p o s e d p r o b l e m s w i t h a p r e s -c r i b e d b o u n d , SIAM J . M a t h , A n a l , , 1 ( 1 9 7 0 ) , 5 2 - 7 4 . '9]. M u k h i n a , I . V . , A p p r o x i m a t e r e d u c t i o n o f t h e e q u a t i o n s o f t h e t h e o r y o f e l a s t i c i t y and e l e c t r o d y n a m i c s f o r i n h o m o g e n e o u s m e d i a t o t h e H e l m h o l t z e q u a t i o n s , PMM J . o f A p p l i e d M a t h , a n d M e c h . , 36 ( 1 9 7 2 ) , 6 2 9 - 6 3 3 . '10]. N a y f e h , A . H . , P e r t u r b a t i o n m e t h o d s , J o h n W i l e y , New Y o r k ( 1 9 7 3 ) . ' l l ' J . S c h o n f e l d , J.Ch., P r o p a g a t i o n o f t w o d i m e n s i o n a l s h o r t v j a v e s , D e l f t U n i -v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ( 1 9 7 2 , m a n u s c r i p t , i n D u t c h ) . "12I. Z a u d e r e r , E., B o u n d a r y l a y e r a n d u n i f o r m a s y m p t o t i c e x p a n s i o n s f o r d i f f r a c t i o n p r o b l e m s , SIAM J . A p p l . M a t h . , 19 ( 1 9 7 0 ) , 5 7 5 - 6 0 0 .

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