Wykład z równań różniczkowych zwyczajnych

Wykład z równań różniczkowych zwyczajnych

Stanisław Spodzieja

Łódź 2018

Książka ta pomyślana jest jako podręcznik z równań różniczkowych zwyczajnych dla stu- dentów drugiego roku matematyki oraz zaawansowanych studentóww innych specjalności.

Wykład obejmuje podstawowe wiadomości z zakresu równań różniczkowych zwyczaj- nych począwszy od podstawowych metod rozwiązywania równań o zmiennych rozdzielo- nych, równań jednorodnych, zupełnych i układów równań różniczkowych aż po twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań, zagadnienia dotyczące stabilności rozwiązań. W wykładzie będziemy wykorzystywać przede wszystkim wiadomości z analizy matematycz- nej jednej zmiennej takich jak: funkcje elementarne, ciągi i szeregi funkcyjne, ciągłość i różniczkowalność funkcji, funkcji pierwotnej aż po całkę Riemanna. Przydatne bedą również podstawowe wiadomości z topologii takie, jak spójność zbioru, składowa zbioru, homeomorfizm.

W tekście wykładu podane są zadania uzupełniające tekst główny. Na niektóre z nich będziemy powoływać się w dalszej części tekstu.

W opracowaniu wykładu korzystałem z podręczników i monografii następujących au- torów: J. Chądzyńskiego, L. Kaczmarek,

W książce przyjęliśmy następującą konwencję: punkt 2.5 oznacza punkt 5 w rozdziale 2, twierdzenie 2.5.1 oznacza zaś twierdzenie 1 z punktu 2.5 (w rozdziale 2). Wzór (2.3.6) oznacza wzór 6 w punkcie 3 w rozdziale 2.

Pragnę przy tej okazji serdecznie podziękować Panu Profesorowi Jackowi Chądzyń- skiemu i Pani Doktor Ludwice Kaczmarek za wiele cennych uwag, które wpłynęły na ulepszenie tekstu.

Stanisław Spodzieja Łódź, wrzesień 2018 roku

Rozdział 1

Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego

Równanie wyznaczające zależność między nieznaną funkcją y jednej zmiennej x i jej po- chodnymi y⁰, y⁰⁰, . . . , y⁽ⁿ⁾nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym. W przypadku, gdy równanie zapisane jest jako rowność odwzorowań, to mówimy o układzie równań róż- niczkowych zwyczajnych. Na ogół nazwę równanie różniczkowe zwyczjane będziemy uży- wać dla równania wyrażonego przy pomocy pojedyńczej funkcji. Jeśli niewiadoma funkcja zależy od wielu zmiennych, to równanie nazywane jest równaniem różniczkowym cząstko- wym.

1.1 Równania różniczkowe zwyczajne

Niech D ⊂ Rⁿ⁺² i niech F : D → R będzie funkcją. Równanie postaci (1.1.1) F (x, y, y⁰, . . . , y⁽ⁿ⁾) = 0, (x, y, y⁰, . . . , y⁽ⁿ⁾) ∈ D, nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym.

Liczbę n nazywamy rzędem równania (1.1.1).

Rozwiązaniem równania (1.1.1) nazywamy funkcję ϕ : I → R określoną na przedziale¹ I ⊂ R, która jest n-krotnie różniczkowajna oraz dla każdego x ∈ I zachodzą warunki

(x, ϕ(x), ϕ⁰(x), . . . , ϕ⁽ⁿ⁾(x)) ∈ D, F (x, ϕ(x), ϕ⁰(x), . . . , ϕ⁽ⁿ⁾(x)) = 0.

Rozwiązania równania (1.1.1) nazywane są również całkami lub całkami szczególnymi tego równania.

Uwaga 1.1.1. W dalszym ciągu mówiąc o rozwiązaniu ϕ : I → R równania różniczko- wego, będziemy zawsze zakładać, że jego dziedzina I jest przedziałem.

1Przyjmujemy, że zbiór jednoelementowy nie jest przedziałem.

3

Niech ϕ₁ : I₁ → R, ϕ2 : I₂ → R, gdzie I1, I₂ ⊂ R są przedziałami, będą rozwiązaniami równania (1.1.1). Mówimy, że rozwiązanie ϕ₂ jest przedłużeniem rozwiązania ϕ₁, jeśli I₁ ⊂ I₂ oraz ϕ₂(x) = ϕ₁(x) dla x ∈ I₁. Jeśli dodatkowo I₂ 6= I₁, to mówimy, że ϕ₂ jest przedłużeniem właściwym rozwiązania ϕ₁.

Rozwiązanie równania (1.1.1), które nie ma przedłużenia właściwego nazywamy roz- wiązaniem integralnym lub globalnym lub wysyconym tego równania.

Zbiór wszystkich rozwiązań równania (1.1.1) nazywamy ogółem rozwiązań tego rów- nania. Zbiór wszystkich rozwiązań integralnych równania (1.1.1) nazywamy ogółem roz- wiązań integralnych tego równania.

Własność 1.1.2. Każde rozwiązanie równania (1.1.1) ma przedłużenie do rozwiązania integralnego tego równania.

Dowód. Niech X będzie ogółem rozwiązań równania (1.1.1). Rozważmy w X relację ϕ₁ ≺ ϕ₂, gdy rozwiązanie ϕ₂ jest przedłużeniem rozwiazania ϕ₁. Jest to relacja czę- ściowego porządku w zbiorze X. Ponadto, każdy łańcuch w X (tj. podzbiór zbioru X liniowo uporządkowany przez relację ≺) ma w X ograniczenie górne, którym jest funkcja o wykresie będącym sumą wykresów elementów tego łańcucha. Zatem, na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna, dla każdego rozwiązania ϕ ∈ X, w zbiorze X_ϕ = {ψ ∈ X : ϕ ≺ ψ}

istnieje element maksymalny. Element ten jest rozwiązaniem integralnym równania (1.1.1)

i jednocześnie przedłużeniem rozwiązania ϕ. 

Uwaga 1.1.3. Z własności 1.1.2. mamy, że ogół rozwiązań równania różniczkowego jest wyznaczony przez ogół rozwiązań integralnych tego równania. Dalej będziemy się koncen- trować na wyznaczaniu rozwiązań integralnych równań różniczkowych.

Jeśli rozwiązanie ϕ : I → R równania (1.1.1) spełnia warunek ϕ(x0) = y₀, gdzie x₀ ∈ I, to mówimy, że rozwiązanie to przechodzi przez punkt (x₀, y₀).

Jeśli wykres {(x, ϕ(x)) ∈ R² : x ∈ I} rozwiązania ϕ : I → R równania (1.1.1) zawiera się w zbiorze E ⊂ R², to mówimy, że rozwiązanie ϕ przebiega w zbiorze E lub że ϕ jest rozwiązaniem równania (1.1.1) w zbiorze E.

Niech (x₀, y₀, y₁, . . . , y_n−1) ∈ Rⁿ⁺¹. Jeśli ϕ : I → R jest rozwiązaniem równania (1.1.1) takim, że x₀ ∈ I oraz

(1.1.2)















ϕ(x₀) = y₀, ϕ⁰(x₀) = y₁,

...

ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀) = y_n−1,

to mówimy, że rozwiązanie ϕ spełnia warunki początkowe (1.1.2). Warunki (1.1.2) nazy- wamy warunkami początkowymi dla równania (1.1.1) lub warunkami Cauchy’ego dla tego równania, zaś liczby x₀, y₀, y₁, . . . , y_n−1 – wartościami początkowymi.

Uwaga 1.1.4. Warunki początkowe (1.1.2) dla równania (1.1.1) są żądaniami, by roz- wiązanie w danym punkcie x₀ miało z góry zadane wartości wraz z pochodnymi do rzędu n − 1. Nie dotyczą one pochodnej funkcji rzędu n.

Przykład 1.1.1. Rozważmy następujące równanie różniczkowe pierwszego rzędu

(1.1.3) y⁰x − 2y = 0

w zbiorze D = {(x, y, y⁰) ∈ R³ : y 6= 0}.

Łatwo sprawdzamy, że dla każdego punktu (x₀, y₀) ∈ R² takiego, że x₀ > 0 oraz y₀ 6= 0, funkcja określona wzorem ϕ(x) = (y₀/x²₀)x², x ∈ (0, +∞) jest rozwiązaniem tego równania z warunkiem początkowym ϕ(x₀) = y₀.

Podobnie, jesli x₀ < 0, y₀ 6= 0, to funkcja określona wzorem ϕ(x) = (y₀/x²₀)x², x ∈ (−∞, 0) jest rozwiązaniem tego równania z warunkiem początkowym ϕ(x₀) = y₀.

Dla warunku początkowego ϕ(0) = y0, gdzie y0 6= 0, równanie (1.1.3) nie ma rozwiązań.

W przeciwnym bowiem razie 0 = ϕ⁰(0) · 0 = 2ϕ(0) = 2y0 6= 0, co jest niemożliwe.

Przykład 1.1.2. Rozważmy równanie różniczkowe (1.1.3) w zbiorze D = R³. Wówczas, łatwo sprawdzamy, że przez każdy punkt (x₀, y₀) ∈ R², gdzie x₀ > 0, przechodzi nieskoń- czenie wiele rozwiązań ϕ : R → R, postaci

ϕ(x) =







(y₀/x²₀)x² dla x > 0 γx² dla x ¬ 0,

gdzie γ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Podobnie pokazujemy, że istnieje nieskończenie wiele rozwiązań tego równania przechodzacych przez punkt (x₀, y₀) taki, że x₀ < 0. Jak się okaże później, aby równanie różniczkowe miało jednoznaczne rozwiązania musi spełniac pewne dodatkowe warunki.

1.2 Przedłużanie rozwiązania równania normalnego

Weźmy równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci f (x, y) − y⁰ = 0 lub równoważnie

(1.2.1) y⁰ = f (x, y),

gdzie f : D → R jest funkcją określoną na zbiorze D ⊂ R². Równanie (1.2.1) nazywamy równaniem normalnym. Mówimy też, że równanie (1.2.1) jest określone w zbiorze D.

Uwaga 1.2.1. Zgodnie z definicją w punkcie 1.1, równanie (1.2.1) określone jest przez funkcję F : D × R → R, postaci F (x, y, y⁰) = f (x, y) − y⁰. Na ogół trudno jest sprowadzić dowolne równanie różniczkowe pierwszego rzędu do postaci normalnej. Przy dodatkowych założeniach o funkcji F można to uzyskać po zastosowaniu twierdzenia o funkcji uwikłanej lub twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym.

Lemat 1.2.2. Niech f będzie funkcją ciągłą i niech ϕ : (α, β) → R będzie rozwiązaniem równania (1.2.1) w zbiorze D.

(a) Jeśli istnieje skończona granica y_β = lim_x→β⁻ϕ(x) oraz (β, y_β) ∈ D, to funkcja ϕ₁ : (α, β] → R określona wzorem

ϕ₁(x) =







ϕ(x), x ∈ (α, β) y_β, x = β jest rozwiązaniem równania (1.2.1) w zbiorze D.

(b) Jeśli istnieje skończona granica y_α = lim_x→α⁺ϕ(x) oraz (α, y_α) ∈ D, to funkcja ϕ₂ : [α, β) → R określona wzorem

ϕ₂(x) =







y_α, x = α ϕ(x), x ∈ (α, β) jest rozwiązaniem równania (1.2.1) w zbiorze D.

Dowód. Udowodnimy część (a). Część (b) dowodzimy analogicznie. Ponieważ y_β jest granicą funkcji ϕ w punkcie β, więc funkcja ϕ₁ jest ciągła w punkcie β. Zatem stosując regułę de l’Hospitala, wobec ciągłości funkcji f , mamy

ϕ⁰₁(β) = lim

x→β⁻

ϕ₁(x) − ϕ₁(β)

x − β = lim

x→β⁻ϕ⁰(x) = lim

x→β⁻f (x, ϕ(x)) = f (β, ϕ₁(β)).

Oczywiście dla x ∈ (α, β) mamy ϕ⁰₁(x) = ϕ⁰(x) = f (x, ϕ(x)) = f (x, ϕ₁(x)). Ponieważ (β, y_β) ∈ D, więc wykres funkcji ϕ₁ zawiera się w zbiorze D i w konsekwencji ϕ₁ jest

rozwiązaniem równania (1.2.1). To kończy dowód. 

Z lematu 1.2.2. dostajemy natychmiast następny lemat.

Lemat 1.2.3. Niech f będzie funkcją ciągłą i niech ϕ₁ : (α₁, β₁) → R, ϕ2 : (α₂, β₂) → R będą rozwiązaniami równania (1.2.1) w zbiorze D. Jeśli istnieje liczba y₀ ∈ R taka, że

y₀ = lim

x→β⁻ϕ₁(x) = lim

x→α⁺ϕ₂(x)

oraz β₁ = α₂ i (β₁, y₀) ∈ D, to funkcja ϕ : (α₁, β₂) → R określona wzorem

ϕ(x) =











ϕ₁(x), x ∈ (α₁, β₁) y₀, x = β₁ ϕ₂(x), x ∈ (α₂, β₂) jest rozwiązaniem równania (1.2.1) w zbiorze D.

Przykład 1.2.1. Rozważmy równanie normalne postaci

(1.2.2) y⁰ = 2^q|y|

określone w zbiorze D = R². Łatwo sprawdzamy, że funkcja ϕ₁ : (−∞, β) → R określona wzorem ϕ₁(x) = 0, x ∈ (−∞, β), gdzie β ∈ R, jest rozwiązaniem tego równania. Podobnie funkcja ϕ₂ : (β, +∞) → R określona wzorem ϕ2(x) = (x − β)², x ∈ (β, +∞), również jest rozwiązaniem tego równania. Ponadto mamy

x→βlim⁻ϕ₁(x) = 0 = lim

x→β⁺ϕ₂(x).

Zatem z lematu 1.2.3. wynika, że funkcja ϕ_β : R → R określona wzorem

ϕβ(x) =







0, x ∈ (−∞, β]

(x − β)², x ∈ (β, +∞)

jest rozwiązaniem równania (1.2.2). Podobnie pokazujemy, że funkcja ψ_β : R → R okre- ślona wzorem

ψ_β(x) =







0, x ∈ (−∞, β]

−(x − β)², x ∈ (β, +∞)

jest ropzwiązaniem równania (1.2.2). W dalszym ciągu wykładu okaże się, że rozwiązania ϕ_β, ψ_β, gdzie β ∈ R, oraz funkcja ϑ : R → R określona wzorem ϑ(x) = 0 dla x ∈ R, stanowią ogół rozwiązań integralnych równania (1.2.2).

1.3 Równania o rozdzielonych zmiennych

1.3.1 Podstawy równań o rozdzielonych zmiennych

Niech f : (a, b) → R oraz g : (c, d) → R będą funkcjami, gdzie (a, b) ⊂ R oraz (c, d) ⊂ R są przedziałami.

Równanie różniczkowe normalne postaci

(1.3.1) y⁰ = f (x)g(y)

określone w zbiorze T = (a, b) × (c, d), nazywamy równaniem o rozdzielonych zmiennych.

Ponieważ pochodna funkcji określonej w przedziale znika tożsamościowo dokładnie wtedy, gdy jest to funkcja stała oraz każde rozwiązanie równania (1.3.1) określone na przedziale (a, b) musi być integralne, więc mamy nastepującą własność.

Własność 1.3.1. (a) Dla każdego ζ ∈ (c, d) takiego, że g(ζ) = 0, funkcja stała ϕ_ζ : (a, b) → R określona wzorem

(1.3.2) ϕ_ζ(x) = ζ, x ∈ (a, b),

jest rozwiązaniem integralnym równania (1.3.1).

(b) Jeśli funkcja f lub g znika tożsamościowo, to ogół rozwiązań integralnych równania (1.3.1) składa się z funkcji stałych ϕζ : (a, b) → R, postaci (1.3.2), gdzie ζ ∈ (c, d).

Wobec powyższej własności, w dalszym ciągu tego paragrafu będziemy zakładać, że funkcje f i g nie znikają tożsamościowo.

Lemat 1.3.2. Jeśli funkcja f nie znika tożsamościowo i ma w przedziale (a, b) funkcję pierwotną F : (a, b) → R, funkcja g spełnia warunek g(y) 6= 0 dla y ∈ (c, d) oraz funkcja 1/g : (c, d) → R ma w przedziale (c, d) funkcję pierwotną H : (c, d) → R, to:

(a) Zbiór F ((a, b)) jest przedziałem, a zbiór H((c, d)) – przedziałem otwartym.

(b) Funkcja H : (c, d) → H((c, d)) jest homeomorfizmem². W szczególnosci istnieje funkcja H⁻¹ : H((c, d)) → (c, d) odwrotna do funkcji H : (c, d) → H((c, d)).

2Tj., funkcja H : (c, d) → H((c, d)) jest ciągła i ma funkcję odwrotną, która również jest ciągła.

Dowód. Funkcja F , jako różniczkowalna, jest ciągła, przedział (a, b) jest zbiorem spójnym³, więc w myśl własności Darboux, zbiór wartosci F ((a, b)) funkcji F jest zbiorem spójnym. Ponieważ F⁰ = f i funkcja f nie znika tożsamosciowo, więc funkcja F nie jest stała. Zatem zbiór F ((a, b)) jest przedziałem⁴, co daje pierwszą część (a).

Ponieważ funkcja 1/g ma w przedziale (c, d) funkcję pierwotną, więc spełnia w tym przedziale własność Darboux⁵, a ponieważ nie przyjmuje ona wartości zero, więc w prze- dziale (c, d) albo ma tylko wartości dodatnie albo tylko wartości ujemne. Stąd wynika, że pochodna H⁰(y) = 1/g(y), y ∈ (c, d) ma w przedziale (c, d) tylko wartości dodatnie albo tylko wartości ujemne. Zatem H jest funkcją ściśle monotoniczną. W konsekwencji funkcja H : (c, d) → H((c, d)) jest holeomorfizmem. W szczególności istnieje funkcja odwrotna do tej funkcji oraz zbiór H((c, d)) jest przedziałem otwartym. To daje (b), drugą część (a)

i kończy dowód. 

Przyjmijmy następujące założenia:

Funkcja f nie znika tożsamościowo, (Z1)

Funkcja f ma funkcję pierwotną F : (a, b) → R, (Z2)

Funkcja g spełnia warunek g(y) 6= 0 dla y ∈ (c, d), (Z3)

Funkcja 1/g : (c, d) → R ma funkcję pierwotną H : (c, d) → R.

(Z4)

Przy powyższych założeniach, wobec lematu 1.3.2. mamy, że zbiór F ((a, b)) jest przedzia- łem oraz zbiór H((c, d)) jest przedziałem otwartym i funkcja H : (c, d) → H((c, d)) jest monotoniczna i jest homeomorfizmem. Niech więc⁶

F∗, F^∗ ∈ R, F^∗ < F^∗, będą końcami przedziału F ((a, b)), (O1)

H((c, d)) = (H∗, H^∗), gdzie H∗, H^∗ ∈ R, H^∗ < H^∗. (O2)

Lemat 1.3.3. Przy założeniach (Z1)–(Z4) i oznaczeniach (O1), (O2), niech Γ = {H(y) − F (x) : x ∈ (a, b), y ∈ (c, d)}.

Wówczas⁷

(1.3.3) Γ = (H∗− F^∗, H^∗− F∗) oraz dla każdego γ ∈ Γ,

zbiór ∆ := {x ∈ (a, b) : H∗ < F (x) + γ < H^∗} jest niepusty i otwarty.

3Przypomnijmy, że zbiór S ⊂ E jest spójny w pewnej przestrzeni topologicznej E, gdy dla każdych zbiorów U, W ⊂ E niepustych, rozłącznych i otwartych w topologii indukowanej do zbioru S, zachodzi S 6= U ∪ W . Wiadomo, że jedynymi zbiorami spójnymi w zbiorze R są przedziały, zbiory jednoelementowe oraz zbiór pusty.

4jako zbiór spójny zawierający co najmniej dwa punkty.

5gdyż 1/g jest pochodną swojej funkcji pierwotnej H.

6F_∗= inf F ((a, b)), F^∗= sup F ((a, b)), H∗= inf H((c, d)), H^∗= sup H((c, d)).

Przypomnijmy definicje kresów dolnego i górnego zbioru A ⊂ R.

Element m ∈ R nazywamy kresem dolnym zbioru A, co zapisujemy m = inf A, gdy zachodzą warunki (1) ∀_x∈Ax ­ m oraz (2) ∀_m⁰_>m∃_x∈Ax < m⁰.

Element M ∈ R nazywamy kresem górnym zbioru A, co zapisujemy M = sup A, gdy zachodzą warunki (1) ∀x∈Ax ¬ M oraz (2) ∀M⁰<M ∃x∈Ax > M⁰.

7przyjmując, że +∞ − x = +∞, x − ∞ = −∞ dla x ∈ R oraz +∞ − (−∞) = +∞, −∞ − (+∞) = −∞.

Dowód. Dla x ∈ (a, b) oraz y ∈ (c, d), z (O1), (O2) mamy F∗ ¬ F (x) ¬ F^∗ oraz H∗ < H(y) < H^∗. W konsekwencji H∗ − F^∗ < H(y) − F (x) < H^∗ − F∗, co dowodzi inkluzji Γ ⊂ (H∗− F^∗, H^∗− F∗). Udowodnimy inkluzję

(1.3.4) (H∗− F^∗, H^∗− F∗) ⊂ Γ.

Weźmy dowolną liczbę γ ∈ (H∗− F^∗, H^∗− F∗). Ponieważ

F∗ = inf F ((a, b)), F^∗ = sup F ((a, b)), H∗ = inf H((c, d)), H^∗ = sup H((c, d)), więc z definicji kresów górnego i dolnego zbiorów wynika, że istnieją ciągi x⁰_n, x⁰⁰_n ∈ (a, b) oraz y_n⁰, y⁰⁰_n ∈ (c, d), n ∈ N, takie że F^∗ = lim_n→∞F (x⁰_n) i F^∗ = lim_n→∞F (x⁰⁰_n) oraz H∗ = lim_n→∞H(y⁰_n) i H^∗ = lim_n→∞H(y_n⁰⁰). W szczególności

n→∞lim(H(y⁰_n) − F (x⁰⁰_n)) = H∗− F^∗ < γ < H^∗− F∗ = lim

n→∞(H(y_n⁰⁰) − F (x⁰_n)), a więc istnieje n ∈ N takie, że

(1.3.5) H(y_n⁰) − F (x⁰⁰_n) < γ < H(y⁰⁰_n) − F (x⁰_n).

Ponieważ funkcja R : T → R określona wzorem R(x, y) = H(y) − F (x) jest ciągła, a zbiór T = (a, b) × (c, d) jest spójny, więc w myśl własności Darboux, zbiór wartości Γ = R(T ) funkcji R jest spójny. W myśl (1.3.5), wartości R(x⁰⁰_n, y_n⁰) = H(y_n⁰) − F (x⁰⁰_n) i R(x⁰_n, y⁰⁰_n) = H(y_n⁰⁰) − F (x⁰_n) są różne między sobą i oczywiście należą do zbioru Γ.

W szczególności zbiór Γ jest przedziałem i w myśl (1.3.5), γ ∈ [R(x⁰⁰_n, y_n⁰), R(x⁰_n, y_n⁰⁰)] ⊂ Γ, co daje inkluzję (1.3.4) i w konsekwencji równość (1.3.3).

Z określenia zbioru Γ i (1.3.3) wynika, że dla dowolnego γ ∈ Γ istnieją x ∈ (a, b) oraz y ∈ (c, d) takie, że γ = H(y) − F (x). W szczególnosci F (x) + γ = H(y) ∈ (H∗, H^∗). To daje, że x ∈ ∆, a więc ∆ jest zbiorem niepustym. Wobec ciągłości funkcji F mamy, że

jest to również zbiór otwarty. To kończy dowód. 

Twierdzenie 1.3.4. (o ogóle rozwiązań równania o zmiennych rozdzielonych).

Przy założeniach (Z1) – (Z4) i oznaczeniach (O1), (O2):

(a) Ogół rozwiązań równania (1.3.1) składa się z funkcji ϕ : I → R danych wzorem (1.3.6) ϕ(x) = H⁻¹(F (x) + γ_ϕ), x ∈ I,

gdzie γ_ϕ jest stałą taką, że

(1.3.7) γ_ϕ ∈ (H∗− F^∗, H^∗− F∗) oraz I ⊂ (a, b) jest przedziałem zawartym w zbiorze

(1.3.8) ∆_ϕ = {x ∈ (a, b) : H∗ < F (x) + γ_ϕ < H^∗}.

(b) Ogół rozwiązań integralnych równania (1.3.1) składa się z funkcji ϕ : I → R określonych wzorem (1.3.6), gdzie γ_ϕ ∈ (H∗ − F^∗, H^∗ − F∗) jest stałą oraz I ⊂ (a, b) jest przedziałem, który jest składową zbioru⁸ ∆_ϕ określonego wzorem (1.3.8).

8Zbiór S ⊂ E, gdzie E jest przestrzenią topologiczną, nazywamy składową zbioru X ⊂ E, gdy zbiór S jest spójny oraz dla każdego zbioru spójnego Y ⊂ X takiego, że S ⊂ Y , zachodzi S = Y . W związku z tym składowe zbioru ∆γ, gdzie γ ∈ R, są przedziałami lub zbiorami jednoelementowymi, o ile zbiór ∆^γ jest niepusty.

Dowód. Udowodnimy najpierw część (a). Bezpośrednio sprawdzamy, że każda funkcja ϕ postaci (1.3.6) spełnia równanie (1.3.1). Istotnie, dla x ∈ I, mamy x ∈ ∆, więc x ∈ (a, b) i F (x) + γ ∈ (H∗, H^∗), a więc z (1.3.6), mamy ϕ(x) ∈ (c, d). Zatem wykres funkcji ϕ przebiega w zbiorze T oraz

ϕ⁰(x) = 1/H⁰(H⁻¹(F (x) + γ))(F (x) + γ)⁰ = g(ϕ(x))f (x) dla x ∈ I.

Załóżmy, że funkcja ϕ : I → R jest rozwiązaniem równania (1.3.1). Wówczas rozwią- zanie to przebiega w zbiorze T = (a, b) × (c, d), a wiec I ⊂ (a, b) jest przedziałem oraz ϕ(I) ⊂ (c, d). Funkcja g nie przyjmuje wartości zero, więc równanie (1.3.1) można zapisać w postaci y⁰/g(y) = f (x), a ponieważ funkcja ϕ spełnia to równanie, to mamy

(1.3.9) ϕ⁰(x)/g(ϕ(x)) = f (x) dla x ∈ I.

Funkcja H jest funkcją pierwotną funkcji 1/g w przedziale (c, d), więc funkcja H ◦ ϕ : I → R jest funkcją pierwotną funkcji ϕ⁰/(g ◦ ϕ) w przedziale I, a więc wo- bec (1.3.9), funkcja H ◦ ϕ jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I. Ponieważ F |I

również jest funkcją pierwotna funkcji f w przedziale I, to istnieje stała⁹ γϕ ∈ R, że (1.3.10) H ◦ ϕ(x) = F (x) + γ_ϕ, x ∈ I.

Stąd w szczególności mamy γ_ϕ = H(ϕ(x₀)) − F (x₀) dla dowolnego x₀ ∈ I. Zatem z lematu 1.3.3. dostajemy, że γϕ spełnia (1.3.7). Ponadto z (1.3.10) wynika, że

F (x) + γ_ϕ ∈ H((c, d)) = (H∗, H^∗) dla x ∈ I,

a to oznacza, że przedział I jest zawarty w zbiorze ∆_ϕ. Ponadto, w myśl lematu 1.3.3., dla każdego γϕ ∈ R spełniającego (1.3.7) zbiór ∆^ϕ jest niepusty i otwarty. Zatem rozwiązanie ϕ równania (1.3.1) istnieje i jest postaci (1.3.6). To daje część (a) tezy.

Udowodnimy część (b). Weźmy dowolne rozwiązanie integralne ϕ : I → R równania (1.3.1). Wówczas ϕ jest rozwiązaniem tego równania i w myśl części (a) jest ono postaci (1.3.6) dla pewnej stałej γϕ ∈ (H∗− F^∗, H^∗− F∗) i pewnego przedziału I ⊂ ∆ϕ. Wówczas przedział I jest składową zbioru ∆ϕ, gdyż w przeciwnym razie przedział I zawierałby się w pewnym przedziale S będącym składową¹⁰ zbioru ∆ϕ i S 6= I. Wtedy rozwiązanie ϕ miałoby przedłużenie właściwe ψ : S → R określone na zbiorze S wzorem (1.3.6). To jest niemożliwe, bo rozwiązanie ϕ jest integralne.

Jeśli γϕ ∈ (H∗ − F^∗, H^∗ − F∗) i przedział I jest składową zbioru ∆ϕ, to funkcja ϕ : I → R określona wzorem (1.3.6) jest rozwiązaniem integralnym równania (1.3.1).

W przeciwnym razie istniałoby przedłużenie właściwe ψ : S → R rozwiązania ϕ określone na pewnym przedziale S takim, że I S. Wówczas z części (a), ψ(x) = H⁻¹(F (x) + γ_ψ), x ∈ S, dla pewnej stałej γ_ψ oraz przedziału S ⊂ ∆_ψ. W szczególności dla dowolnego x ∈ I zachodzi ϕ(x) = ψ(x) i wobec różnowartościowości funkcji H, mamy γ_ϕ = γ_ψ. W konsekwencji, I S ⊂ ∆ϕ i S jest zbiorem spójnym. To przeczy temu, że I jest składową

zbioru ∆_ϕ, daje tezę (b) i kończy dowód. 

Stałe γϕ w twierdzeniu 1.3.4. nazywamy stałymi dopuszczalnymi równania (1.3.1) wyznaczonymi przez funkcje F i H.

9dowolne dwie funkcje pierwotne danej funkcji w przedziale mogą się różnić co najwyżej o stałą.

10Wiadomo, że każdy podzbiór spójny Y zbioru X zawiera się w pewnej składowej S zbioru X.

Z twierdzenia 1.3.4. i lematu 1.3.3. dostajemy natychmiast następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.3.5. Przy założeniach (Z1) – (Z4) i oznaczeniach (O1), (O2), dla każde- go punktu (x₀, y₀) ∈ (a, b)×(c, d) istnieje dokładnie jedno rozwiązanie integralne ϕ : I → R równania (1.3.1) takie, że x₀ ∈ I oraz ϕ(x₀) = y₀ i jest ono postaci

(1.3.11) ϕ(x) = H⁻¹(F (x) + H(y0) − F (x0)), x ∈ I, gdzie I jest przedziałem, który jest składową zbioru

(1.3.12) ∆ = {x ∈ (a, b) : H∗ < F (x) + H(y₀) − F (x₀) < H^∗}.

Dowód. Liczba γ₀ = H(y₀) − F (x₀), w myśl lematu 1.3.3., jest stałą dopuszczalną równania (1.3.1) wyznaczoną przez F i H. Wobec twierdzenia 1.3.4., funkcja ϕ określona wzorem (1.3.11), gdzie zbiór I jest składową zbioru ∆, jest rozwiązaniem integralnym tego równania oraz ϕ(x₀) = y₀. Ponadto dowolne rozwiązanie integralne ψ : I₁ → R równania (1.3.1) takie, że ψ(x₀) = y₀, jest postaci ψ(x) = H⁻¹(F (x) + γ), x ∈ I₁, więc F (x0) + γ = H(ψ(x0)) = H(y0) i γ = γ0, co daje jednoznaczność rozwiązania ϕ i kończy

dowód. 

Wniosek 1.3.6. Przy założeniach (Z1) – (Z4), każde rozwiązanie równania (1.3.1) w zbio- rze T przedłuża się jednoznacznie do rozwiązania integralnego tego równania w zbiorze T . Wniosek 1.3.7. Przy założeniach (Z1) – (Z4), nastepujące wrunki są równoważne:

(a) lim_y→c⁺H(y) ∈ {−∞, +∞} oraz lim_y→d⁻H(y) ∈ {−∞, +∞}. ¹¹

(b) Zbiorem stałych dopuszczalnych równania (1.3.1) wyznaczonych przez F i H jest R i ogół rozwiązań integralnych równania (1.3.1) składa się z funkcji ϕ : (a, b) → R postaci (1.3.13) ϕ(x) = H⁻¹(F (x) + γ), x ∈ (a, b), gdzie γ ∈ R.

Dowód. Przy oznaczeniach (O2), z lematu 1.3.2. mamy H((c, d)) = (H∗, H^∗).

Załóżmy, że zachodzi (a). Wówczas, H∗ = −∞ oraz H^∗ = +∞. Ponadto, przy ozna- czeniach (O1), mamy −∞ ¬ F∗ < F^∗ ¬ +∞. Stąd i z twierdzenia 1.3.4. dostajemy, że zbiór stałych dopuszczalnych równania (1.3.1) wyznaczonych przez funkcje F i H jest równy Γ = (H∗ − F^∗, H^∗ − F∗) = R. W konsekwencji, dla każdego γ ∈ R, mamy

∆ = {x ∈ (a, b) : −∞ < F (x) + γ < +∞} = (a, b) i jedyną składową zbioru ∆ jest prze- dział (a, b). Reasumując, z twierdzenia 1.3.4. dostajemy, że ogół rozwiążań integralnych równania (1.3.1) składa się z funkcji ϕ : (a, b) → R, postaci (1.3.13). To daje (b).

Załóżmy teraz, że zachodzi (b). Ponieważ H jest funkcją monotoniczną, więc istnieją granice lim_y→c⁺H(y) oraz lim_y→d⁻H(y) i są one końcami H∗, H^∗ przedziału H((c, d)).

Przypuśćmy przeciwnie, że warunek (a) nie zachodzi. Wówczas jedna z powyższych granic jest skończona, a więc H∗ ∈ R lub H^∗ ∈ R.

11Co ma miejsce dokładnie wtedy, gdy H_∗= inf H((ck, dk)) = −∞ oraz H^∗= sup H((ck, dk)) = +∞.

Rozważmy najpierw przypadek, gdy H∗ ∈ R. Weźmy dowolny x0 ∈ (a, b) oraz γ = H∗ − F (x₀). Wówczas x₀ ∈ ∆ = {x ∈ (a, b) : H/ ∗ < F (x) + γ < H^∗}. Zatem, funkcja ϕ we wzorze (1.3.13) nie jest określona w punkcie x₀. To przeczy (b), czyli że ϕ jest rozwiązaniem równania (1.3.1) określonym w przedziale (a, b), i daje (a).

Analogicznie jak wyżej rozważamy przypadek, gdy H^∗ ∈ R. To kończy dowód. 

Uwaga 1.3.8. Przy założeniu, że funkcje f : (a, b) → R i g : (c, d) → R są ciągłe i funkcja g nie przyjmuje wartości zero, twierdzenie 1.3.4. pozwala na podanie algorytmu rozwiązywania równań o rozdzielonych zmiennych (1.3.1). Mianowicie, należy:

1. Sprawdzić, czy funkcja f znika tożsamościowo. Jeśli tak, to wobec własności 1.3.1., zbiór rozwiązań integralnych równania (1.3.1) składa się z funkcji określonych wzorem ϕ(x) = ζ, x ∈ (a, b), gdzie ζ ∈ (c, d). W przeciwnym razie, prechodzimy do punktu 2.

2. Sprawdzić, czy funkcja g przyjmuje wartosci zero w przedziale (c, d). Jeśli tak, to używamy metody, którą podamy w kolejnym paragrafie wykładu. Jeśli nie, to przechodzimy do kolejnego punktu.

3. Wyliczyć funkcje pierwotne F : (a, b) → R i H : (c, d) → R odpowiednio funkcji f i 1/g. Ponieważ funkcje f i 1/g są ciągłe, więc istnieją ich funkcje pierwotne.

4. Wyznaczyć końce F∗, F^∗, F∗ < F^∗, przedziału¹² F ((a, b)) oraz końce H∗, H^∗, H∗ <

H^∗, przedziału¹³ H((c, d)).

5. Zastosować twierdzenie 1.3.4. i wyznaczyć zbiór Γ = (H∗ − F^∗, H^∗ − F∗) stałych dopuszczalnych dla równania (1.3.1).

6. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji H (o ile można ją przedstawić wzorami elementarnymi). Jeśli nie potrafimy wyznaczyć funkcji H⁻¹, to rozwiązania równania po- dajemy w postaci uwikłanej.

7. Wyznaczyć zbiór ∆_γ= {x ∈ (a, b) : H∗ < F (x) + γ < H^∗} dla γ ∈ Γ, tj., rozwiazać w przedziale (a, b) układ nierówności H∗ < F (x)+γ < H^∗ z parametrem γ ∈ Γ. Wyznaczyć składowe zbioru ∆_γ dla γ ∈ Γ.

8. Zastosować twierdzenie 1.3.4. (lub wniosek 1.3.7.) do wypisania ogółu rozwiązań równania (1.3.1) lub do wypisania ogółu rozwiązań integralnych tego równania.

Przykład 1.3.1. Wyznaczymy ogół rozwiązań równania różniczkowego

(1.3.14) y⁰ = x(1 + y²)

określonego w zbiorze T = R². Jest to równanie o rozdzielonych zmiennych postaci (1.3.1), tj., y⁰ = f (x)g(y), gdzie f : R → R jest funkcją określoną wzorem f (x) = x, x ∈ R, a funkcja g : R → R jest określona wzorem g(y) = 1 + y², y ∈ R.

Funkcja f ma funkcję pierwotną F : R → R określoną wzorem F (x) = x²/2, x ∈ R.

Zbiorem wartości funkcji F jest [F∗, F^∗) = [0, +∞).

12F_∗i F^∗ są kresami odpowiednio dolnym i górnym zbioru wartości funkcji F .

13H_∗, H^∗ są kresami dolnym i górnym zbioru wartości funkcji H. Funkcja H jest monotoniczna, więc H_∗, H^∗ są granicami funkcja H na w końcach przedziału (c, d).

Funkcja g nie przyjmuje wartości zero oraz funkcją pierwotną funkcji 1/g jest funkcja H : R → R określona wzorem H(y) = arctg y, y ∈ R.

Z powyższego widzimy, że spełnione są założenia twierdzenia 1.3.4..

Zbiorem wartości funkcji H jest przedział (H∗, H^∗) = (−π/2, π/2). Możemy więc funk- cję H traktować jako funkcję H : R → (−π/2, π/2) i wtedy funkcją odwrotną do funkcji H jest funkcja H⁻¹ : (−π/2, π/2) → R określona wzorem H⁻¹(u) = tg u, u ∈ (−π/2, π/2).

W myśl twierdzenia 1.3.4., ogół rozwiązań równania (1.3.14) jest zbiorem funkcji ϕ : I → R postaci

(1.3.15) ϕ(x) = H⁻¹(F (x) + γ_ϕ) = tg(x²/2 + γ_ϕ), x ∈ I,

gdzie I jest przedziałem, γ_ϕ ∈ (H∗ − F^∗, H^∗ − F∗) = (−∞, π/2) jest stałą takimi, że I ⊂ ∆_γϕ, gdzie

∆γϕ = {x ∈ R : H^∗ < F (x) + γ_ϕ < H^∗} = {x ∈ R : −π/2 < x²/2 + γ_ϕ < π/2}.

Musimy wyznaczyć zbiory ∆_γϕ w zależności od parametru γ_ϕ. Wtedy będziemy mogli wziąć dowolne przedziały I ⊂ ∆_γϕ i wyznaczyć ogół rozwiązań równania (1.3.14).

Zbiór ∆_γϕ jest zbiorem rozwiązań następującego układu nierówności (1.3.16) −π/2 < x²/2 + γϕ < π/2.

Układ ten możemy zapisać w następującej, równoważnej powyższej, postaci

−π − 2γ_ϕ < x² < π − 2γ_ϕ.

Funkcja R 3 x 7→ x² ∈ R przyjmuje wszystkie wartości nieujemne, więc aby układ miał niepusty zbiór rozwiązań, musi być π − 2γ_ϕ > 0, czyli musi zachodzić γ_ϕ < π/2.

Jeśli dodatkowo −π − 2γ_ϕ < 0, czyli γ_ϕ > −π/2, to γ_ϕ ∈ (−π/2, π/2) i wtedy zbiorem rozwiązań układu (1.3.16) jest przedział

∆_γϕ =^−^qπ − 2γ_ϕ ,^qπ − 2γ_ϕ^.

Jeśli −π − 2γϕ ­ 0, czyli γϕ ¬ −π/2, to γϕ ∈ (−∞, −π/2] i wtedy zbiorem rozwiązań układu (1.3.16) jest suma przedziałów

∆_γϕ =^−^qπ − 2γ_ϕ , −^q−π − 2γ_ϕ^∪^q−π − 2γ_ϕ ,^qπ − 2γ_ϕ^.

Pokazaliśmy, że dla każdej stałej dopuszczalnej γϕ ∈ (−∞, π/2) zbiór ∆_γϕ jest niepusty i otwarty, a więc zawiera pewien przedział. Zatem biorąc dowolną stałą γ_ϕ ∈ (−∞, π/2) i dowolny przedział I ⊂ ∆_γϕ dostajemy rozwiązanie postaci (1.3.15) równania (1.3.14).

Wobec twierdzenia 1.3.4. otrzymujemy w ten sposób ogół rozwiązań równania (1.3.14).

Przykład 1.3.2. Wyznaczymy ogół rozwiązań integralnych równania różniczkowego (1.3.14) z przykładu 1.3.1., określonego w zbiorze T = R². Wykorzystując obliczenia z przykładu 1.3.1. widzimy, że funkcje określone wzorami

ϕ(x) = tg(x²/2 + γϕ), x ∈^−^qπ − 2γϕ ,^qπ − 2γϕ

 dla γϕ ∈ (−π/2, π/2), ψ(x) = tg(x²/2 + γ_ψ), x ∈^−^qπ − 2γ_ψ , −^q−π − 2γ_ψ^ dla γψ ∈ (−∞, −π/2), ϑ(x) = tg(x²/2 + γ_ϑ), x ∈

q

−π − 2γ_ϑ,^qπ − 2γ_ϑ



dla γ_ϑ∈ (−∞, −π/2), są rozwiązaniami równania (1.3.14). Jak pokazaliśmy w przykładzie 1.3.1., każde rozwią- zanie tego równania określone jest na pewnym przedziale zawartym w dziedzinie jednego z powyższych rozwiązań, więc powyższe rozwiązania nie mają przedłużeń właściwych i sta- nowią ogół rozwiązań integralnych równania (1.3.14).

Przykład 1.3.3. Wyznaczymy ogół rozwiązań równania różniczkowego

(1.3.17) y⁰ = (3/2)√

x(1 + y²) określone w zbiorze T = [0, +∞) × R.

W prostokącie T₀ = (0, +∞) × R jest to równanie o rozdzielonych zmiennych postaci y⁰ = f (x)g(y), gdzie f : (0, +∞) → R jest funkcją określoną wzorem f (x) = (3/2)√

x, x ∈ (0, +∞), a funkcja g : R → R jest określona wzorem g(y) = 1 + y², y ∈ R. Równanie to spełna w T₀ założenia twierdzenia 1.3.4., gdyż:

Funkcja F : (0, +∞) → R określona wzorem F (x) = x^3/2, x ∈ (0, +∞) jest funkcją pierwotną funkcji f . Zbiorem wartości funkcji F jest przedział (F∗, F^∗) = (0, +∞).

Funkcja g nie przyjmuje wartości zero oraz funkcją pierwotną funkcji 1/g jest funkcja H : R → R określona wzorem H(y) = arctg y, y ∈ R.

Zbiorem wartości funkcji H jest przedział (H∗, H^∗) = (−π/2, π/2). Traktując funkcję H jako funkcję H : R → (−π/2, π/2), podobnie jak w przykładzie 1.3.1. dostajemy, że funkcją odwrotną do tej funkcji jest funkcja H⁻¹ : (−π/2, π/2) → R określona wzorem H⁻¹(t) = tg t, t ∈ (−π/2, π/2).

W myśl twierdzenia 1.3.4., ogół rozwiązań równania (1.3.17) w prostokącie T0 składa się z funkcji określonych wzorem

(1.3.18) ϕ(x) = H⁻¹(F (x) + γ_ϕ) = tg(x^3/2+ γ_ϕ), x ∈ I,

gdzie I jest przedziałem, γ_ϕ ∈ (H∗− F^∗, H^∗− F∗) = (−∞, π/2) jest stałą takimi, że I ⊂ ∆γϕ := {x ∈ (0, +∞) : −π/2 < x^3/2+ γϕ < π/2}.

Podobnie jak w przykładzie 1.3.1. dostajemy, że

∆_γϕ =^0 , (π/2 − γ_ϕ)^2/3, gdy γ_ϕ ∈ [−π/2, π/2),

∆_γϕ =^(−π/2 − γ_ϕ)^2/3 , (π/2 − γ_ϕ)^2/3, gdy γ_ϕ ∈ (−∞, −π/2).

Zatem biorąc dowolną stałą γ_ϕ ∈ (−∞, π/2) i dowolny przedział I ⊂ ∆_γϕ dostajemy rozwiązanie postaci (1.3.18) równania (1.3.17) w prostokącie T₀. Wobec twierdzenia 1.3.4.

otrzymujemy w ten sposób ogół rozwiązań równania (1.3.17) w prostokącie T₀.

Wróćmy do równania (1.3.17) w prostokącie T . Dla γ_ϕ ∈ (−∞, −π/2) punkt 0 nie jest punktem skupienia żadnego przedziału I ⊂ ∆_γϕ, bo (−π/2−γ_ϕ)^2/3> 0. Zatem rozwiązanie ϕ nie przedłuża się na punkt 0. Dla γ_ϕ = −π/2 mamy

lim

x→0⁺ϕ(x) = lim

x→0⁺tg(x^3/2− π/2) = −∞,

więc rozwiązanie ϕ nie przedłuża się na punkt 0 dla żadnego przedziełu I ⊂ ∆−π/2. Nato- miast dla γ_ϕ ∈ (−π/2, π/2) i przedziełu I ⊂ ∆_γϕ o lewym końcu równym 0, mamy

x→0lim⁺ϕ(x) = lim

x→0⁺tg(x^3/2+ γϕ) = tg(γϕ),

więc, wobec lematu 1.2.2., rozwiązanie ϕ przedłuża się na punkt 0 i ϕ₁(x) = tg(x^3/2+ γϕ), x ∈ I ∪{0} jest rozwiązaniem równania (1.3.17) w prostokącie T . Reasumując ogół rozwią- zań równania (1.3.17) składa się z rozwiązań ϕ1 określonych wyżej oraz ogółu rozwiązań tego równania w prostokącie T₀.

Algorytm opisany w uwadze 1.3.8. stosuje się również w przypadku, gdy funkcje f i g nie są ciągłe lecz istnieją funkcje pierwotne funkcji f i 1/g. Świadczy o tym następujący przykład.

Przykład 1.3.4. Wyznaczmy ogół rozwiązań integralnych następującego równania róż- niczkowego

(1.3.19) y⁰ = f (x)g(y), (x, y) ∈ R², gdzie funkcja f : R → R jest określona wzorami

f (x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x) dla x 6= 0 oraz f (0) = 0, a funkcja g : R → R jest określona wzorem

g(y) =^qy²+ 1, y ∈ R.

Łatwo sprawdzamy, że funkaja f nie jest ciągła w punkcie 0 lecz ma funkcją pierwotną F : R → R określoną wzorami

F (x) = x²sin(1/x) dla x 6= 0 oraz F (0) = 0.

Funkcja g nie przyjmuje wartości zero i funkcja 1/g ma funkcję pierwotną H : R → R będącą area sinusem hiperbolicznym, tj., funkcją określoną wzorem

H(y) = arsinh y =: ln(y +^qy²+ 1), y ∈ R.

Stosując regułę de l’Hospitala pokazujemy, że lim_y→−∞H(y) = −∞ oraz łatwo spraw- dzamy, że lim_y→+∞H(y) = +∞. Zatem kresem górnym zbioru wartości funkcji H jest

H^∗ = +∞, a kresem dolnym – H∗ = −∞. Ponieważ dla kresów górnego F^∗ i dolnego F∗ zbioru wartości funkcji F mamy F^∗ > −∞ oraz F∗ < +∞, więc bez wyliczania tych kresów¹⁴, w myśl twierdzenia 1.3.4. możemy stwierdzić, że zbiorem stałych dopuszczalnych równania (1.3.19) wyznaczonych przez F i H jest zbiór Γ = (H∗ − F^∗, H^∗ − F∗) = R.

Bezpośrednio sprawdzamy, że funkcją odwrotną do funkcji H jest sinus hiperboliczny, tj., H⁻¹(t) = sinh t := (1/2)(e^t− e^−t), t ∈ R.

Oczywiście dla każdej stałej dopuszczalnej γ ∈ R, mamy

∆_γ = {x ∈ R : F (x) + γ ∈ (H^∗, H^∗)} = {x ∈ R : F (x) + γ ∈ R} = R,

więc zbiór ∆γ ma jedną spładową I = R. Reasumując, w myśl twierdzenia 1.3.4. ogół roz- wiązań integralnych równania (1.3.19) składa się z funkcji ϕ_γ : R → R, γ ∈ R, określonych wzorem

ϕ_γ(x) = sinh(F (x) + γ) =







sinh(x²sin(1/x) + γ) dla x 6= 0,

sinh γ dla x = 0, γ ∈ R.

1.3.2 Granice rozwiązań równań o rozdzielonych zmiennych

Wniosek 1.3.9. Przy założeniach (Z1) – (Z4), jeśli funkcja ϕ : (α, β) → R jest rozwią- zaniem integralnym równania (1.3.1), to a ¬ α < β ¬ b oraz:

(a) Jeśli a < α, to granica lim_x→α⁺ϕ(x) istnieje i lim_x→α⁺ϕ(x) ∈ {c, d}.

(b) Jeśli β < b, to granica lim_x→β⁻ϕ(x) istnieje i lim_x→β⁻ϕ(x) ∈ {c, d}.

Dowód. Udowodnimy część (a). Część (b) dowodzimy analogicznie.

Przyjmując oznaczenia (O1), (O2), wobec twierdzenia 1.3.4., rozwiązanie ϕ jest postaci ϕ(x) = H⁻¹(F (x) + γ_ϕ), x ∈ (α, β), gdzie γ_ϕ ∈ (H∗− F^∗, H^∗− F∗), a przedział (α, β) jest składową zbioru ∆_ϕ = {x ∈ (a, b) : H∗ < F (x) + γ_ϕ < H^∗}.

Z założenia mamy α > a, więc α ∈ (a, b). Weźmy dowolny ciąg xn ∈ (α, β), n ∈ N taki, że limn→∞x_n= α i istnieje granica y0 = limn→∞ϕ(x_n). Ponieważ rozwiązanie ϕ przebiega w prostokącie T , to ϕ((α, β)) ⊂ (c, d), a więc y₀ ∈ [c, d]. Ponadto H(ϕ(x)) = F (x) + γ_ϕ dla x ∈ (α, β) i funkcja F jest ciągła w punkcie α, więc istnieje granica

(1.3.20) lim

n→∞H(ϕ(x_n)) = F (α) + γ_ϕ.

Jeśli y0 ∈ (c, d), to limn→∞H(ϕ(xn)) = H(y0) i z (1.3.20) mamy γϕ = H(y0) − F (α).

Wobec twierdzenia 1.3.5., istnieje jedyne rozwiązanie integralne ϕ1 : S → R równania (1.3.1) takie, że α ∈ S, y₀ = ϕ₁(α) i jest ono postaci ϕ₁(x) = H⁻¹(F (x) + H(y₀) − F (α)), x ∈ S. W konsekwencji ϕ₁(x) = H⁻¹(F (x) + γ_ϕ) = ϕ(x) dla x ∈ S ∩ (α, β). To daje, że funkcja ψ : (α, β) ∪ S → R określona wzorami ψ(x) = ϕ(x) dla x ∈ (α, β) oraz ψ(x) = ϕ₁(x) dla x ∈ S \ (α, β) jest przedłużeniem właściwym¹⁵ rozwiązania ϕ równania (1.3.1) i przeczy temu, że rozwiązanie ϕ jest integralne. Zatem y₀ 6∈ (c, d).

14można jednak sprawdzić, że F_∗= −∞ oraz F^∗= +∞.

15bo S jest przedziałem otwartym i α ∈ S, wiec I = (α, β) ∪ S jest przedziałem i (α, β I.