• Nie Znaleziono Wyników

Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej."

Copied!
7
0
0

Pełen tekst

(1)

Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.

Caªka oznaczona.

Interpretacja geometryczna caªki oznaczonej (zastosowanie caªki oznaczonej do liczenia pól obszarów pªaskich)

Je»eli funkcja podcaªkowa f jest nieujemna, to caªk¦ oznaczon¡ Rb

a

f (x)dx interpretujemy jako pole P obszaru pªaskiego ograniczonego wykresem funkcji y = f(x), osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b (patrz Rysunek 1 a)):

P =

b

Z

a

f (x)dx, je»eli f(x) ≥ 0 dla x ∈ [a, b].

a) b)

Rysunek 1: Interpretacja geometryczna caªki oznaczonej.

Je»eli funkcja f jest niedodatnia na przedziale [a, b] to pole P obszaru pªaskiego ograniczo- nego wykresem funkcji y = f(x), osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b równe jest −Rb

a

f (x)dx (patrz Rysunek 1 b)).

P = −

b

Z

a

f (x)dx, je»eli f(x) ≤ 0 dla x ∈ [a, b].

Je»eli funkcja f na przedziale [a, b] zmienia znak, to pole P obszaru pªaskiego ograniczonego wykresem funkcji y = f(x), osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b równe jest sumie pól poªo»onych powy»ej osi Ox i poni»ej osi (patrz rysunek 2a), gdzie:

P = P1+ P2+ P3 =

c

Z

a

f (x)dx −

d

Z

c

f (x)dx +

b

Z

d

f (x)dx.

(2)

a) b)

Rysunek 2: Zastosowanie caªki oznaczonej do liczenia pól obszarów pªaskich.

Je»eli krzywe y = f(x) oraz y = g(x) dla x ∈ [a, b] speªniaj¡ nierówno±¢ f(x) ≥ g(x) co oznacza,

»e wykres funkcji f znajduje si¦ powy»ej wykresu funkcji g, to pole obszaru ograniczonego tymi krzywymi oraz prostymi x = a, x = b (patrz rysunek 2b) wyra»a si¦ wzorem:

P =

b

Z

a

[f (x) − g(x)]dx.

Twierdzenie 1. (podstawowe wªasno±ci caªki oznaczonej)

Niech funkcje f i g b¦d¡ caªkowalne na przedziale [a, b], k = const. oraz c ∈ [a, b]. Wówczas:

a) Rb

a

f (x)dx = −

a

R

b

f (x)dx;

b) Rb

a

k · f (x)dx = k

b

R

a

f (x)dx;

c) Rb

a



f (x) + g(x) dx =

b

R

a

f (x)dx +

b

R

a

g(x)dx;

d) Rb

a

f (x)dx =

c

R

a

f (x)dx +

b

R

c

f (x)dx.

Denicja 2. Niech funkcja f(x) b¦dzie caªkowalna na przedziale [a, b], to funkcj¦:

F (x) =

x

Z

a

f (t)dt, dla x ∈ [a, b]

okre±lon¡ na przedziale [a, b] nazywa¢ b¦dziemy funkcj¡ górnej granicy caªkowania.

Twierdzenie 3. (wzór Newtona-Leibniza - cz¦±¢ druga gªównego twierdzenia rachunku caªkowego) Je±li f jest ci¡gªa na przedziale [a, b] i F jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f, to

b

Z

a

f (x)dx = F (b) − F (a).

(3)

Twierdzenie 4. (podstawianie w caªce oznaczonej)

Je»eli za zmienna niezale»n¡ ci¡gªej funkcji f(x) podstawimy now¡ zmienn¡

x = φ(t), dla t ∈ [α, β], gidze:

• φ(t) ∈ [a, b] dla t ∈ [α, β];

• φ(α) = a, φ(β) = b;

• φ0(t) jest ci¡gªa na przedziale [α, β]

to: b

Z

a

f (x)dx =

β

Z

α

fφ(t)φ0(t)dt. (1)

Dalsze zastosowania caªki oznaczonej

Pole obszaru pªaskiego w obszarze biegunowym:

Je»eli w ukªadzie biegunowym jest dana krzywa r = f(ω), ω ∈ [α, β] przy czym funkcja f(ω) jest ci¡gªa w [α, β] i dodatnia w (α, β), to pole obszaru pªaskiego ograniczonego funkcj¡ r = f(ω) oraz promieniami wodz¡cymi f(α) i r(β) (patrz rysunek 3a) wyra»a si¦ wzorem:

P = 1 2

β

Z

α

f2(ω)dω.

a) b)

Rysunek 3: a) pole obszaru pªaskiego w obszarze biegunowym b) dªugo±¢ ªuku.

Dªugo±¢ krzywej:

Dªugo±¢ krzywej Γ : y = f(x) dla x ∈ [a, b] (patrz rysunek 3b) wyra»a si¦ wzorem:

|Γ| =

b

Z

a

p1 + (f0(x))2dx.

(4)

Obj¦to±¢ bryª obrotowych:

Obj¦to±¢ V bryªy powstaªej z:

a) obrotu wokóª osi Ox obszaru N : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) (rysunek 4a) wyra»a si¦ wzorem:

V = π

b

Z

a

f2(x)dx,

b) obrotu wokóª osi Oy obszaru N : 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) (innymi sªowy obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu obszaru "pod krzyw¡"y = f(x)) (rysunek 4b) wyra»a si¦ wzorem:

V = 2π

b

Z

a

xf (x)dx.

a) b)

Rysunek 4: Obj¦to±¢ bryª powstaªych z obrotu f(x) wokóª: a) osi Ox b) Osi Oy.

Pole powierzchni bryª obrotowych:

Pole powierzchni powstaªej z obrotu:

a) wokóª osi Ox wykresu funkcji f(x) dla a ≤ x ≤ b, wyra»a si¦ wzorem:

P = 2π

b

Z

a

f (x)p

1 + (f0(x))2dx,

b) wokóª osi Oy wykresu funkcji f(x) dla 0 ≤ a ≤ x ≤ b, wyra»a si¦ wzorem:

P = 2π

b

Z

a

xp

1 + (f0(x))2dx.

(5)

a) b)

Rysunek 5: Pole powierzchni bryª powstaªych z obrotu f(x) wokóª: a) osi Ox b) Osi Oy.

Caªka niewªa±ciwa

Denicja 5. (caªka niewªa±ciwa pierwszego rodzaju)

Niech funkcja f b¦dzie okre±lona na przedziale [a, ∞). Caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale [a, ∞) deniujemy wzorem:

Z

a

f (x)dx := lim

B→∞

B

Z

a

f (x)dx.

Analogicznie deniuje si¦ caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju na przedziale (−∞, b] :

b

Z

−∞

f (x)dx := lim

A→−∞

b

Z

A

f (x)dx.

Denicja 6. (caªka niewªa±ciwa drugiego rodzaju)

Niech funkcja f okre±lona na przedziale (a, b] oraz a b¦dzie punktem osobliwym tj. funkcja b¦dzie nieograniczona na prawostronnym s¡siedztwie punktu a. Caªk¡ niewªa±ciw¡ drugiego rodzaju funkcji f ci¡gªej na przedziale (a, b] deniujemy wzorem:

b

Z

a

f (x)dx := lim

t→a+ b

Z

t

f (x)dx.

Analogicznie deniujemy caªk¦ niewªa±ciw¡ funkcji f na przedziale [a, b) dla punktu osobliwego b tj. funkcja jest nieograniczona na lewostronnym s¡siedztwie punku b :

b

Z

a

f (x)dx := lim

t→b t

Z

a

f (x)dx.

Je»eli punkt osobliwy c le»y wewn¡trz przedziaªu [a, b] to caªk¦ niewªa±ciw¡ deniujemy wzorem:

b

Z Zt Zb

(6)

1. Oblicz podane caªki oznaczone z wykorzystaniem wzoru Newtona-Leibniza a)

4

R

3 dx

x2+3x+2; b)

1

R

0 x−1

x+1dx; c)

3

R

0 1 x2+9dx;

e)

π/3

R

π/6

1+cos2x

1+cos 2xdx; f )

6

R

0 6x

3

(x2+4)5dx; g)

π/2

R

0

sin3x cos xdx;

h)

e

R

1/e

ln xdx; i)

4

R

0 dx 1+

2x+1; j)

π

R

0

sin3xdx;

k)

2

R

0

4 − x2dx, (t = 2 sin x); h)

e2

R

e 1

x ln xdx; l)

0

R

−1

xe−xdx;

m)

2

R

1

x ln xdx; n)

8

R

3

x

x2+1dx; o)

2

R

1

x2+1

3

x3+3x+1dx.

2. Korzystaj¡c z interpretacji caªki oznaczonej oblicz pole obszaru D ograniczonego:

a) y = ln x, x = e, y = 0; b) y = x2− 6x + 5, y = 5 − x;

c) y = x2, y = 2x2, y = 8, x ≥ 0; d) y = x3− x2− x, y = x;

e) y = x3, y = 4x2− 3x; f) y2 = 4 + x, y2+ x = 2;

g) y = x2 − x − 6, y = −x2+ 5x + 14; h) y2 = 2x, x = 8;

3. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzyw¡ o równaniu biegunowym r = f(ω) oraz promieniami wodz¡cymi r(α) i r(β) :

a) f(ω) = 3 − cos 2ω, α = 0, β = π2; b) f(ω) = 2

cos2ω, α = 0, β = π4. 4. Oblicz dªugo±¢ ªuku krzywej:

a) y =

1 − x2 dla 0 ≤ x ≤ 12; b) y = ln(cos x) dla 0 ≤ x ≤ π3; c) y = 12(ex+ e−x) dla 0 ≤ x ≤ 1; d) y = (4 − x23)32 dla 1 ≤ x ≤ 8.

5. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu gury N wokóª osi OX, gdzie N : a) y = 2x − x2, y = 0; b) y = x2− 4x, y = 0;

c) y = sin2x, x = 0, x = π; d) y = x2, y = x.

6. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu gury N wokóª osi Oy : a) N : 0 ≤ y ≤ tg x2, 0 ≤ x ≤ pπ

3; b) N : y2 = 4 − x, x = 0.

7. Oblicz obj¦to±¢:

a) kuli o promieniu R; b) elipsoidy obrotowej.

8. Znale¹¢ obj¦to±¢ cz¦±ci wspólnej kuli x2+ y2+ z2 = R2 i sto»ka x2 = y2+ z2, gdzie x ≥ 0.

9. Oblicz pole powierzchni powstaªej z obrotu funkcji:

a) y = ln x dla 1 ≤ x ≤

3wokóª osi Oy; b) y = 6x dla 0 ≤ x ≤ 1 wokóª osi Ox;

c) y = sin x dla 0 ≤ x ≤ π wokóª osi Ox; d) y =

25 − x2 dla − 2 ≤ x ≤ 3wokóª osi Ox.

10. Oblicz pole powierzchni:

a) kuli o promieniu R; b) bocznej sto»ka o promieniu r i wysoko±ci h.

(7)

11. Oblicz nast¦puj¡ce caªki niewªa±ciwe pierwszego rodzaju:

a)

R

0

e−2xdx; b)

R

1 1

xdx; c)

0

R

−∞

(x − 2)e3x+!dx;

d)

R

0 x

x2+4dx; e)

R

−∞

1

x2+9dx; f )

R

π

x cos2xdx;

g)

R

1 1

x2(x+1)dx; h)

R

−∞

dx

x2+6x+12dx; i)

R

1 dx x

1+x2dx.

12. Oblicz nast¦puj¡ce caªki niewªa±ciwe drugiego rodzaju:

a)

4

R

0 1 x

xdx; b)

1

R

0 ln x

x dx; c)

−1/2

R

0

1

2x+1dx;

d)

3

R

−3

dx

9−x2; e)

3

R

0 x

x2−1dx; f )

3π/2

R

π 1 sin2xdx;

g)

3

R

2 1

x(x−3)dx; h)

3

R

1 dx

3

(x−2)2; i)

1

R

0 1 x ln xdx.

13. Pr¦dko±¢ pewnej rakiety w czasie pocz¡tkowych 8 sekund po starcie wynosi 72t3

t[m/s], przez nast¦pne 12 sekund wynosi 2t + 40[m/s] w chwili t, a przez kolejne 10 sekund jest staªa. Oblicz drog¦ pokonan¡ przez rakiet¦: a) przez pocz¡tkowych 8 sekund, b) przez pocz¡tkowych 20 sekund, c) przez pocz¡tkowych 30 sekund, d) od upªywu 15-ej do upªywu 25-tej sekundy.

14. Poci¡g zaczyna nagle hamowa¢ w chwili t0 = 0 i jego pr¦dko±¢ w chwili t wynosi 20 − 5t23[m/s] dopóki si¦ nie zatrzyma. Obliczy¢ drog¦ hamowania. Jaka b¦dzie droga ha- mowania przy pr¦dko±ci 40 − t34[m/s] w chwili t?

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

Niech A b¦dzie

Udowodni¢, »e RJXK z dziaªaniami podanymi na wykªadzie jest pier±- cieniem przemiennym z 1.. Udowodni¢, »e R[X] jest

Wykaza¢, »e spo±ród liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele:.. (a) elementów nierozkªadalnych Z[i], (b) elementów

[r]

Wykaza¢, »e spo±ród liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele:.. (a) elementów nierozkªadalnych Z[i], (b) elementów

[r]

[r]