Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.
Caªka oznaczona.
Interpretacja geometryczna caªki oznaczonej (zastosowanie caªki oznaczonej do liczenia pól obszarów pªaskich)
Je»eli funkcja podcaªkowa f jest nieujemna, to caªk¦ oznaczon¡ Rb
a
f (x)dx interpretujemy jako pole P obszaru pªaskiego ograniczonego wykresem funkcji y = f(x), osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b (patrz Rysunek 1 a)):
P =
b
Z
a
f (x)dx, je»eli f(x) ≥ 0 dla x ∈ [a, b].
a) b)
Rysunek 1: Interpretacja geometryczna caªki oznaczonej.
Je»eli funkcja f jest niedodatnia na przedziale [a, b] to pole P obszaru pªaskiego ograniczo- nego wykresem funkcji y = f(x), osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b równe jest −Rb
a
f (x)dx (patrz Rysunek 1 b)).
P = −
b
Z
a
f (x)dx, je»eli f(x) ≤ 0 dla x ∈ [a, b].
Je»eli funkcja f na przedziale [a, b] zmienia znak, to pole P obszaru pªaskiego ograniczonego wykresem funkcji y = f(x), osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b równe jest sumie pól poªo»onych powy»ej osi Ox i poni»ej osi (patrz rysunek 2a), gdzie:
P = P1+ P2+ P3 =
c
Z
a
f (x)dx −
d
Z
c
f (x)dx +
b
Z
d
f (x)dx.
a) b)
Rysunek 2: Zastosowanie caªki oznaczonej do liczenia pól obszarów pªaskich.
Je»eli krzywe y = f(x) oraz y = g(x) dla x ∈ [a, b] speªniaj¡ nierówno±¢ f(x) ≥ g(x) co oznacza,
»e wykres funkcji f znajduje si¦ powy»ej wykresu funkcji g, to pole obszaru ograniczonego tymi krzywymi oraz prostymi x = a, x = b (patrz rysunek 2b) wyra»a si¦ wzorem:
P =
b
Z
a
[f (x) − g(x)]dx.
Twierdzenie 1. (podstawowe wªasno±ci caªki oznaczonej)
Niech funkcje f i g b¦d¡ caªkowalne na przedziale [a, b], k = const. oraz c ∈ [a, b]. Wówczas:
a) Rb
a
f (x)dx = −
a
R
b
f (x)dx;
b) Rb
a
k · f (x)dx = k
b
R
a
f (x)dx;
c) Rb
a
f (x) + g(x) dx =
b
R
a
f (x)dx +
b
R
a
g(x)dx;
d) Rb
a
f (x)dx =
c
R
a
f (x)dx +
b
R
c
f (x)dx.
Denicja 2. Niech funkcja f(x) b¦dzie caªkowalna na przedziale [a, b], to funkcj¦:
F (x) =
x
Z
a
f (t)dt, dla x ∈ [a, b]
okre±lon¡ na przedziale [a, b] nazywa¢ b¦dziemy funkcj¡ górnej granicy caªkowania.
Twierdzenie 3. (wzór Newtona-Leibniza - cz¦±¢ druga gªównego twierdzenia rachunku caªkowego) Je±li f jest ci¡gªa na przedziale [a, b] i F jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f, to
b
Z
a
f (x)dx = F (b) − F (a).
Twierdzenie 4. (podstawianie w caªce oznaczonej)
Je»eli za zmienna niezale»n¡ ci¡gªej funkcji f(x) podstawimy now¡ zmienn¡
x = φ(t), dla t ∈ [α, β], gidze:
• φ(t) ∈ [a, b] dla t ∈ [α, β];
• φ(α) = a, φ(β) = b;
• φ0(t) jest ci¡gªa na przedziale [α, β]
to: b
Z
a
f (x)dx =
β
Z
α
fφ(t)φ0(t)dt. (1)
Dalsze zastosowania caªki oznaczonej
Pole obszaru pªaskiego w obszarze biegunowym:
Je»eli w ukªadzie biegunowym jest dana krzywa r = f(ω), ω ∈ [α, β] przy czym funkcja f(ω) jest ci¡gªa w [α, β] i dodatnia w (α, β), to pole obszaru pªaskiego ograniczonego funkcj¡ r = f(ω) oraz promieniami wodz¡cymi f(α) i r(β) (patrz rysunek 3a) wyra»a si¦ wzorem:
P = 1 2
β
Z
α
f2(ω)dω.
a) b)
Rysunek 3: a) pole obszaru pªaskiego w obszarze biegunowym b) dªugo±¢ ªuku.
Dªugo±¢ krzywej:
Dªugo±¢ krzywej Γ : y = f(x) dla x ∈ [a, b] (patrz rysunek 3b) wyra»a si¦ wzorem:
|Γ| =
b
Z
a
p1 + (f0(x))2dx.
Obj¦to±¢ bryª obrotowych:
Obj¦to±¢ V bryªy powstaªej z:
a) obrotu wokóª osi Ox obszaru N : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) (rysunek 4a) wyra»a si¦ wzorem:
V = π
b
Z
a
f2(x)dx,
b) obrotu wokóª osi Oy obszaru N : 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) (innymi sªowy obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu obszaru "pod krzyw¡"y = f(x)) (rysunek 4b) wyra»a si¦ wzorem:
V = 2π
b
Z
a
xf (x)dx.
a) b)
Rysunek 4: Obj¦to±¢ bryª powstaªych z obrotu f(x) wokóª: a) osi Ox b) Osi Oy.
Pole powierzchni bryª obrotowych:
Pole powierzchni powstaªej z obrotu:
a) wokóª osi Ox wykresu funkcji f(x) dla a ≤ x ≤ b, wyra»a si¦ wzorem:
P = 2π
b
Z
a
f (x)p
1 + (f0(x))2dx,
b) wokóª osi Oy wykresu funkcji f(x) dla 0 ≤ a ≤ x ≤ b, wyra»a si¦ wzorem:
P = 2π
b
Z
a
xp
1 + (f0(x))2dx.
a) b)
Rysunek 5: Pole powierzchni bryª powstaªych z obrotu f(x) wokóª: a) osi Ox b) Osi Oy.
Caªka niewªa±ciwa
Denicja 5. (caªka niewªa±ciwa pierwszego rodzaju)
Niech funkcja f b¦dzie okre±lona na przedziale [a, ∞). Caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale [a, ∞) deniujemy wzorem:
∞
Z
a
f (x)dx := lim
B→∞
B
Z
a
f (x)dx.
Analogicznie deniuje si¦ caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju na przedziale (−∞, b] :
b
Z
−∞
f (x)dx := lim
A→−∞
b
Z
A
f (x)dx.
Denicja 6. (caªka niewªa±ciwa drugiego rodzaju)
Niech funkcja f okre±lona na przedziale (a, b] oraz a b¦dzie punktem osobliwym tj. funkcja b¦dzie nieograniczona na prawostronnym s¡siedztwie punktu a. Caªk¡ niewªa±ciw¡ drugiego rodzaju funkcji f ci¡gªej na przedziale (a, b] deniujemy wzorem:
b
Z
a
f (x)dx := lim
t→a+ b
Z
t
f (x)dx.
Analogicznie deniujemy caªk¦ niewªa±ciw¡ funkcji f na przedziale [a, b) dla punktu osobliwego b tj. funkcja jest nieograniczona na lewostronnym s¡siedztwie punku b :
b
Z
a
f (x)dx := lim
t→b− t
Z
a
f (x)dx.
Je»eli punkt osobliwy c le»y wewn¡trz przedziaªu [a, b] to caªk¦ niewªa±ciw¡ deniujemy wzorem:
b
Z Zt Zb
1. Oblicz podane caªki oznaczone z wykorzystaniem wzoru Newtona-Leibniza a)
4
R
3 dx
x2+3x+2; b)
1
R
0 x−1
x+1dx; c)
3
R
0 1 x2+9dx;
e)
π/3
R
π/6
1+cos2x
1+cos 2xdx; f )
6
R
0 6x
√3
(x2+4)5dx; g)
π/2
R
0
sin3x cos xdx;
h)
e
R
1/e
ln xdx; i)
4
R
0 dx 1+√
2x+1; j)
π
R
0
sin3xdx;
k)
2
R
0
√4 − x2dx, (t = 2 sin x); h)
e2
R
e 1
x ln xdx; l)
0
R
−1
xe−xdx;
m)
2
R
1
x ln xdx; n)
√ 8
R
√3
√x
x2+1dx; o)
2
R
1
x2+1
√3
x3+3x+1dx.
2. Korzystaj¡c z interpretacji caªki oznaczonej oblicz pole obszaru D ograniczonego:
a) y = ln x, x = e, y = 0; b) y = x2− 6x + 5, y = 5 − x;
c) y = x2, y = 2x2, y = 8, x ≥ 0; d) y = x3− x2− x, y = x;
e) y = x3, y = 4x2− 3x; f) y2 = 4 + x, y2+ x = 2;
g) y = x2 − x − 6, y = −x2+ 5x + 14; h) y2 = 2x, x = 8;
3. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzyw¡ o równaniu biegunowym r = f(ω) oraz promieniami wodz¡cymi r(α) i r(β) :
a) f(ω) = 3 − cos 2ω, α = 0, β = π2; b) f(ω) = 2√
cos2ω, α = 0, β = π4. 4. Oblicz dªugo±¢ ªuku krzywej:
a) y =√
1 − x2 dla 0 ≤ x ≤ 12; b) y = ln(cos x) dla 0 ≤ x ≤ π3; c) y = 12(ex+ e−x) dla 0 ≤ x ≤ 1; d) y = (4 − x23)32 dla 1 ≤ x ≤ 8.
5. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu gury N wokóª osi OX, gdzie N : a) y = 2x − x2, y = 0; b) y = x2− 4x, y = 0;
c) y = sin2x, x = 0, x = π; d) y = x2, y =√ x.
6. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu gury N wokóª osi Oy : a) N : 0 ≤ y ≤ tg x2, 0 ≤ x ≤ pπ
3; b) N : y2 = 4 − x, x = 0.
7. Oblicz obj¦to±¢:
a) kuli o promieniu R; b) elipsoidy obrotowej.
8. Znale¹¢ obj¦to±¢ cz¦±ci wspólnej kuli x2+ y2+ z2 = R2 i sto»ka x2 = y2+ z2, gdzie x ≥ 0.
9. Oblicz pole powierzchni powstaªej z obrotu funkcji:
a) y = ln x dla 1 ≤ x ≤√
3wokóª osi Oy; b) y = 6x dla 0 ≤ x ≤ 1 wokóª osi Ox;
c) y = sin x dla 0 ≤ x ≤ π wokóª osi Ox; d) y = √
25 − x2 dla − 2 ≤ x ≤ 3wokóª osi Ox.
10. Oblicz pole powierzchni:
a) kuli o promieniu R; b) bocznej sto»ka o promieniu r i wysoko±ci h.
11. Oblicz nast¦puj¡ce caªki niewªa±ciwe pierwszego rodzaju:
a)
∞
R
0
e−2xdx; b)
∞
R
1 1
xdx; c)
0
R
−∞
(x − 2)e3x+!dx;
d)
∞
R
0 x
x2+4dx; e)
∞
R
−∞
1
x2+9dx; f )
∞
R
√π
x cos2xdx;
g)
∞
R
1 1
x2(x+1)dx; h)
∞
R
−∞
dx
x2+6x+12dx; i)
∞
R
1 dx x√
1+x2dx.
12. Oblicz nast¦puj¡ce caªki niewªa±ciwe drugiego rodzaju:
a)
4
R
0 1 x√
xdx; b)
1
R
0 ln x
x dx; c)
−1/2
R
0
√ 1
2x+1dx;
d)
3
R
−3
√dx
9−x2; e)
3
R
0 x
x2−1dx; f )
3π/2
R
π 1 sin2xdx;
g)
3
R
2 1
x(x−3)dx; h)
3
R
1 dx
√3
(x−2)2; i)
1
R
0 1 x ln xdx.
13. Pr¦dko±¢ pewnej rakiety w czasie pocz¡tkowych 8 sekund po starcie wynosi 72t√3
t[m/s], przez nast¦pne 12 sekund wynosi 2t + 40[m/s] w chwili t, a przez kolejne 10 sekund jest staªa. Oblicz drog¦ pokonan¡ przez rakiet¦: a) przez pocz¡tkowych 8 sekund, b) przez pocz¡tkowych 20 sekund, c) przez pocz¡tkowych 30 sekund, d) od upªywu 15-ej do upªywu 25-tej sekundy.
14. Poci¡g zaczyna nagle hamowa¢ w chwili t0 = 0 i jego pr¦dko±¢ w chwili t wynosi 20 − 5t23[m/s] dopóki si¦ nie zatrzyma. Obliczy¢ drog¦ hamowania. Jaka b¦dzie droga ha- mowania przy pr¦dko±ci 40 − t34[m/s] w chwili t?