f) lim x→0+xsin x g) lim x→π2+ (tg x)2x−π 2

dr Krzysztof ›yjewski Informatyka, rok I, I^o−in». 6 maja 2018

Zadania przygotowuj¡ce do kolokwium nr 2

1. Korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala oblicz poni»sze granice funkcji:

a) lim

x→0⁻ arctg x

x² , b) lim

x→0⁺

x²ln x, c) lim

x→+∞

ln²x

x³ , d) lim

x→0 sin²x x(e^x−1), e) lim

x→0 1

x − _ex¹−1
, f) lim

x→0⁺x^{sin x} g) lim

x→^π₂⁺

(tg x)^2x−π 2. Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczno±¢ funkcji

a) f(x) = _x^4x2+1² b) f(x) = xe^−3x, c) f(x) = x ln²x.

3. Zbadaj wkl¦sªo±¢, wypukªo±¢ wykresu funkcji oraz wyznacz punkty przegi¦cia:

a) f(x) = _1−x^x2, b) f(x) = ln(1 + x²), c) f(x) = x²e^−x.

4. Korzystaj¡c z denicji ró»niczki funkcji oblicz przybli»on¡ warto±¢ funkcji f(x) = √⁵ 31, 98.

5. Znale¹¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsza warto±¢ funkcji f(x) = x²ln x na przedziale [1, e].

6. Wyznacz wszystkie mo»liwe asymptoty podanych funkcji (pozioma, pionowa, uko±na):

(a) f (x) = ^3x_x⁴3⁺¹ (b) g(x) = ^x_x²2^−3x−4

7. Wyznacz pochodn¡ funkcji f(x) = ln x³ w punkcie x0 = 3.

8. Wyznacz wspóªczynnik stycznej do wykresu funkcji f(x) = ¹_xe^1x w punkcie x0 = −1.

9. Oblicz caªki nieoznaczone:

1) R _x3^x+7² dx, 2) R _{x ln}^dx5_x, 3) R x³e^x2dx, 4) R cos³x√

sin xdx, 5) R ^√_e^ex^x+3dx, 6) R √

x ln xdx, 7) R x²ln²xdx, 8) R (x²+ 3) cos 3xdx, 9) R e^xsin 2xdx, 10) R _x(x+1)^x2−32dx, 11) R _x2−6x+13¹ dx, 12) R _x2^2x−1−4x+4dx, 13) R _x^2x2−2x+3²⁺¹¹ dx, 14) R _x(x+1)^x2−32dx, 15) R _x2−6x+13¹ dx, 16) R _x^2x2−2x+3²⁺¹¹ dx 17) R _{2+cos x}^{sin x} dx, 18) R _sin⁴_{x+4 cos}^dx 2x, 19) R sin²x cos⁵xdx, 20) R cos 5x sin 2xdx, 21) R √

x²− 6x − 7dx, 22) R ^√_x2−6x+2¹ dx.

10. Oblicz podane caªki oznaczone z wykorzystaniem wzoru Newtona-Leibniza a)

e²

R

1 ln x

x dx; b)

2

R

0 e^2x 1+e^xdx.

11. Korzystaj¡c z interpretacji caªki oznaczonej oblicz pole obszaru D ograniczonego:

a) y = x²+ 4x, y = x + 4 oraz osia Ox; b) y = x, y = ¹₄x, y = ¹_x.