Schemat badania funkcji
1. Analiza funkcji:
- wyznaczenie dziedziny funkcji,
- obliczenie granic na krańcach dziedziny, - wyznaczenie asymptot,
- wyznaczenie punktów przecięcia z osią Ox , - wyznaczenie punktów przecięcia z osią Oy . 2. Analiza pierwszej pochodnej:
- wyznaczenie punktów stacjonarnych (miejsc zerowych pierwszej pochodnej), - wyznaczenie przedziałów, w których funkcja jest rosnąca,
- wyznaczenie przedziałów, w których funkcja jest malejąca.
3. Analiza drugiej pochodnej:
- wyznaczenie punktów przegięcia (miejsc zerowych drugiej pochodnej), - wyznaczenie przedziałów wypukłości,
- wyznaczenie przedziałów wklęsłości.
4. Sporządzenie tabeli (tzw. tabeli zmienności funkcji).
5. Naszkicowanie wykresu funkcji.
Przykład
Zbadać funkcję 2
3
) 1 ( ) 2
( = −
x x x
f .
1. Dziedzina funkcji Df =R\{1}=(−∞;1)∪(1;+∞). Granice na krańcach dziedziny
−∞
−∞ =
→ ( )
lim f x
x , =+∞
+∞
→ ( )
lim f x
x ,
+∞
− =
→ ( )
lim
1
x f
x
, + =+∞
→ ( )
lim
1
x f
x
. Asymptoty asymptota pionowa x=1,
asymptota ukośna y= 12x+1. Punkt przecięcia z osiami współrzędnych (0;0). 2. Pierwsza pochodna funkcji
3 2
) 1 ( 2
) 3 ) (
( −
= −
′ x
x x x
f , Df′ = R\{1}.
3 0
0 )
( = ⇔ = ∨ =
′ x x x
f .
)
; 3 ( ) 1
; 0 ( ) 0
; ( 0
)
( > ⇔ ∈ −∞ ∪ ∪ +∞
′ x x
f .
) 3
; 1 ( 0
)
( < ⇔ ∈
′ x x
f .
3. Druga pochodna funkcji
)4
1 ( ) 3
( = −
′′ x
x x
f , Df′′ = R\{1}. .
0 0
)
( = ⇔ =
′′ x x
f .
)
; 1 ( ) 1
; 0 ( 0
)
( > ⇔ ∈ ∪ +∞
′′ x x
f .
) 0
; ( 0
)
( < ⇔ ∈ −∞
′′ x x
f .
4. Tabela
x −∞ ... 0 ... 1 ... 3 ... +∞
) (x
f′ + 0 +
Χ
- 0 +) (x
f ′′ - 0 +
Χ
+ +) (x f
∞
−
0 p.p.
∞
+
Χ
+∞ 827
min
∞ +
5. Wykres
