1. Wyznaczy´ c i narysowa´ c dziedziny podanych funkcji

MATEMATYKA lista zada´ n nr 6

1. Wyznaczy´ c i narysowa´ c dziedziny podanych funkcji

a) f (x, y) = 1

√ x sin y , b) f (x, y) = arcsin x

y , c) f (x, y) = ^q 9 − x ² − y ² − ^q x ² + y ² − 4 .

2. Znale´ z´ c poziomice podanych funkcji i na tej podstawie narysowa´ c wykresy tych funkcji

a) f (x, y) = ^q x ² + y ² , b) f (x, y) = 1

x + y , c) f (x, y) = y−x ² , d) f (x, y) = − ^q 9 − y ² .

3. Zbada´ c, czy podane ci¸ agi punkt´ ow s¸ a zbie˙zne (dla ci¸ ag´ ow zbie˙znych wskaza´ c ich granice)

a)



log _n+1 2, 1 n ²



, b) arcsin n ² − 1

n ² + 1 , sin π(n ² + 1) 2n

!

, c)



√

2n, cos 2 n



.

4. Obliczy´ c, je˙zeli istniej¸ a granice funkcji

a) lim

(x,y)→(0,0)

x − y

x + y , b) lim

(x,y)→(0,0)

2xy

x ² + y ² , c) lim

(x,y)→(1,1)

x ³ − y ³

y − x , d) lim

(x,y)→(π,0)

sin x sin y .

5. Obliczy´ c pochodne cz¸ astkowe pierwszego rz¸edu podanych funkcji

a) f (x, y) = x ³ y − x ² y ² + xy ³ − 3, b) f (x, y) = sin(x ² + y ² ), c) f (x, y) = ln x − y x + y , d) f (x, y) = (x ² + y ² )e ^−x

^−y

, e) f (x, y) = arcsin x

y , f ) f (x, y) = ^q x ⁴ + x ² y ² − y ³ . 6. Obliczy´ c gradf (−1, 0) i gradf (0, −2) je˙zeli

a) f (x, y) = x ³ − y ² , b) f (x, y) = sin



π ^q x ² + y ²



, c) f (x, y) = ln(x − y) − ln(x + y).

7. Napisa´ c r´ ownania p laszczyzn stycznych do wykres´ ow podanych funkcji we wskazanych punktach tych wykres´ ow:

a) f (x, y) = x ^y , (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) = (2, 4, 16).

b) f (x, y) = arctg x

1 + y ² , (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) = (1, 0, f (1, 0)).