Ćwiczenia
Metody numeryczne Lista nr 4
rok akademicki 2018/2019, semestr zimowy
Listopad 2018 r.
·interpolacja wielomianami (Lagrange’a, Newtona)
1. (2pkt) Udowodnić, że istnieje jednoznacznie określony wielomian interpo- lacyjny stopnia n dla punktów Z = {(xi, yi)}ni=1 przy założeniu x0 < x1 <
. . . < xn.
2. (1pkt) Obliczyć wielomian interpolacyjny Newtona dla danych X = {(1, 1), (1.5, 0.5), (2, 3), (3.5, 4), (4.5, 2)} (UWAGA: rozwiązanie ma być dobrze przy- gotowane na kartce przed prezentacją na tablicy.).
3. Wielomian Ln stopnia ¬ n interpolujący daną funkcję f w ustalonyxh pa- rami różnych n + 1 węzłach x0, . . . , xnjest określony jednoznacznie wzorem Lagrange’a
Ln(x) :=
n
X
k=0
f (xk)λk(x), (1)
gdzie λk(x) := Qnj=0,j6=k[(x − xj)/(xk − xj)] (k = 0, 1, . . . , n). Uzasadnić następującą postać barycentryczną wielomianu interpolacjnego Lagrange’a
Ln(t) =
( Pn i=0
σi
t−xif (xi)/Pni=0t−xσi
i (t /∈ {x0, x1, . . . , xn}),
f (xk) (t = xk, 0 ¬ k ¬ n), (2)
gdzie σi := 1/Qnj=0,j6=i(xi− xj) (i = 0, 1, . . . , n).
4. Niech L1 ∈ Π1 interpoluje funkcję f w punktach x0 i x1. Wykazać, że dla każdego x ∈ [x0, x1] zachodzi nierówność
|f (x) − L1(x)| ¬ 1
8(x1− x0)2M2, gdzie M2 := maxx0¬x¬x1|f00(x)|.
1
