Czas działania

Zaawansowane algorytmy

Organizacja

Wykład: poniedziałek 8¹⁵-10 – Aula

Ćwiczenia: …

Każdy student musi realizować projekty (treść podawana na wykładzie) : – Ilość projektów : 5-7

– Na realizację każdego projektu studenci będą mieli 2 tygodnie

– Ocena projektów: od 0 do 10 punktów (0 –brak projektu, 7 – projekt poprawnie wykonany, bez zastrzeżeń, 10 – wybitne rozwiązanie)

– Oddanie projektu tydzień po terminie powoduje utratę 2 punktów (później nie będzie już oceniany)

Zaliczenie ćwiczeń:

– Minimalna ilość punktów na zaliczenie: (ilość projektów-1) * 5+2

– Dokładna punktacja dla poszczególnych ocen – później (zależna od ilości projektów)

Egzamin – pisemny ( termin „zerowy” - ?)

Tematyka wykładu

Wprowadzenie (przypomnienie podstaw)

Drzewa binarne i drzewa BST

Drzewa AVL i 2-3-4

Drzewa zbalansowane (czerwono-czarne)

Tablice z haszowaniem

Kompresja danych

Wyszukiwanie wzorca w tekście

Algorytmy grafowe:

– Przeszukiwanie (wszerz i w głąb) – Drzewo rozpinające

– Znajdowanie najlepszej drogi

– Znajdowanie najkrótszych ścieżek pomiędzy wszystkimi wierzchołkami

Literatura

T. Cormen, Ch. Lieserson, R. Rivest, Wprowadzenie do Algorytmów, WNT, 1997 R. Sedgewick, Algorytmy w C++, RM, 1999

R. Sedgewick, P. Rzechonek, Algorytmy w C++. Grafy , RM, 2003

O co w tym wszystkim chodzi?

Rozwiązywanie problemów:

– Układanie planu zajęć

– Balansowanie własnego budżet – Symulacja lotu samolotem

– Prognoza pogody

Dla rozwiązania problemów potrzebujemy procedur, recept, przepisów – inaczej mówiąc algorytmów

Historia

Nazwa pochodzi od perskiego matematyka Muhammeda ibn Musa Alchwarizmiego (w łacińskiej wersji Algorismus) – IX w n.e.

Pierwszy dobrze opisany algorytm – algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego podzielnika, 400-300 p.n.e.

XIX w. – Charles Babbage, Ada Lovelace.

XX w. – Alan Turing, Alonzo Church, John von Neumann

Struktury danych i algorytmy

Algorytm – metoda, zestaw działań (instrukcji) potrzebnych do rozwiązania problemu

Program – implementacja algorytmu w jakimś języku programowania

Struktura danych – organizacja danych niezbędna dla rozwiązania problemu (metody dostępu etc.)

Ogólne spojrzenie

Cele algorytmiczne:

- poprawność, - efektywność,

Cele implementacji:

- zwięzłość

- możliwość powtórnego wykorzystania

Wykorzystanie komputera:

Projektowanie programów (algorytmy, struktury danych)

Pisanie programów (kodowanie)

Weryfikacja programów (testowanie)

Problemy algorytmiczne

Ilość instancji danych spełniających

specyfikację wejścia może być nieskończona, np.:

posortowana niemalejąco sekwencja liczb naturalnych, o skończonej długości:

 1, 20, 908, 909, 100000, 1000000000.

 3, 44, 211, 222, 433.

 3.

Specyfikacja wejścia

?

Specyfikacja wyjścia, jako funkcji

wejścia

Rozwiązanie problemu

– Algorytm opisuje działania, które mają zostać przeprowadzone na danych – Może istnieć wiele algorytmów rozwiązujących ten sam problem

Instancja

wejściowa (dane), odpowiadająca

specyfikacji

algorytm Wyniki

odpowiadające danym

wejściowym

Definicja algorytmu

Algorytmem nazywamy skończoną sekwencję jednoznacznych instrukcji pozwalających na rozwiązanie problemu, tj. na

uzyskanie pożądanego wyjścia dla każdego legalnego wejścia.

Własności algorytmów:

– określoność

– skończoność

– poprawność

– ogólność

– dokładność

Pseudokod

Zbliżony do Ady, C, Javy czy innego języka programowania:

– struktury sterujące (if … then … else, pętle while i for) – przypisanie (←)

– dostęp do elementów tablicy: A[i]

– dla typów złożonych (record lub object) dostęp do pól: A.b

– zmienna reprezentująca tablicę czy obiekt jest traktowana jak wskaźnik do tej struktury (podobnie, jak w C).

Warunki początkowe i końcowe (precondition, postcondition)

Ważne jest sprecyzowanie warunków początkowego i końcowego dla algorytmu:

– INPUT: określenie jakie dane algorytm powinien dostać na wejściu

– OUTPUT: określenie co algorytm powinien wyprodukować. Powinna zostać przewidziana obsługa specjalnych przypadków danych wejściowych

Sortowanie przez wstawianie (Insertion Sort)

A

1 j n

3 4 6 8 9 7 2 5 1

i

Strategia

• zaczynamy od “pustej ręki”

• wkładamy kartę we właściwe miejsce kart poprzednio już posortowane

• kontynuujemy takie postępowanie aż wszystkie karty zostaną

wstawione Strategia

• zaczynamy od “pustej ręki”

• wkładamy kartę we właściwe miejsce kart poprzednio już posortowane

• kontynuujemy takie postępowanie aż wszystkie karty zostaną

wstawione

INPUT: A[1..n] – tablica liczb całkowitych OUTPUT: permutacja A taka, że A[1]≤

A[2]≤ …≤A[n]

for j←2 to n do key←A[j]

wstaw A[j] do posortowanej sekwencji A[1..j-1]

i←j-1

while i>0 and A[i]>key do A[i+1]←A[i]

i--

INPUT: A[1..n] – tablica liczb całkowitych OUTPUT: permutacja A taka, że A[1]≤

A[2]≤ …≤A[n]

for j←2 to n do key←A[j]

wstaw A[j] do posortowanej sekwencji A[1..j-1]

i←j-1

while i>0 and A[i]>key do A[i+1]←A[i]

i--

Analiza algorytmów

Efektywność:

– Czas działania

– Wykorzystanie pamięci

Efektywność jako funkcja rozmiaru wejścia:

– Ilość danych wejściowych (liczb, punktów, itp.) – Ilość bitów w danych wejściowych

Analiza sortowania przez wstawianie

for j←2 to n do key←A[j]

wstaw A[j] do posortowanej sekwencji A[1..j-1]

i←j-1

while i>0 and A[i]>key do A[i+1]←A[i]

i-- A[i+1]:=key

czas c₁ c₂

? c₃ c₄ c₅ c₆ c₇

ile razy n

n-1 n-1 n-1

n-1

2 n

j tj

∑

2( 1)

n

j tj

= −

∑

2( 1)

n

j tj

= −

∑

Określany czas wykonania jako funkcję rozmiaru wejścia

Przypadki: najlepszy/najgorszy/średni

Najlepszy przypadek: elementy już są posortowane →→→→ t_j=1, czas wykonania liniowy (Cn).

Najgorszy przypadek: elementy posortowane nierosnąco (odwrotnie posortowane) →→→→ t_j=j, czas wykonania kwadratowy (Cn²)

Przypadek „średni” : t_j=j/2, czas wykonania kwadratowy (Cn²)

Przypadki: najlepszy/najgorszy/średni

– Dla ustalonego n czas wykonania dla poszczególnych instancji:

1n 2n 3n 4n 5n 6n

Przypadki: najlepszy/najgorszy/średni

– Dla różnych n:

1n 2n 3n 4n 5n 6n

Czas działania

najlepszy przypadek

„średni” przypadek najgorszy przypadek

Przypadki: najlepszy/najgorszy/średni

Analizę najgorszego przypadku stosuje się zwykle wtedy, kiedy czas działania jest czynnikiem krytycznym (kontrola lotów, sterowanie podawaniem leków itp.)

Dla pewnych zadań „najgorsze” przypadki mogą występować dość często.

Określenie przypadku „średniego” (analiza probabilistyczna) jest często bardzo kłopotliwe

Poprawność – praktyczna i całkowita

Praktyczna

Poprawne dane algorytm Wynik

Jeśli ten punkt został

osiągnięty to otrzymaliśmy poprawny wynik

Całkowita poprawność

Poprawne dane algorytm Wynik

i otrzymaliśmy poprawny wynik Ten punkt został

osiągnięty

Dowodzenie

W celu dowiedzenia poprawności algorytmu wiążemy ze specyficznymi miejscami algorytmu stwierdzenia (dotyczące stanu wykonania).

– np., A[1], …, A[k] są posortowane niemalejąco

Warunki początkowe (Precondition) – stwierdzenia, których prawdziwość zakładamy przed wykonaniem algorytmu lub podprogramu (INPUT)

Warunki końcowe (Postcondition) – stwierdzenia, które muszą być prawdziwe po wykonaniu algorytmu lub podprogramu (OUTPUT)

Niezmienniki pętli

Niezmienniki – stwierdzenia prawdziwe za każdym razem kiedy osiągany jest pewien punkt algorytmu (może to zdarzać się wielokrotnie w czasie wykonania algorytmu, np. w pętli)

Dla niezmienników pętli należy pokazać :

– Inicjalizację – prawdziwość przed pierwszą iteracją

– Zachowanie – jeśli stwierdzenie jest prawdziwe przed iteracją to pozostaje prawdziwe przed następną iteracją

– Zakończenie – kiedy pętla kończy działanie niezmiennik daje własność przydatną do wykazania poprawności algorytmu

Przykład: sortowanie przez wstawianie

niezmiennik: na początku każdego wykonania pętli for, A[1…j-1] składa się z

posortowanych elementów

for j=2 to length(A) do key ← A[j]

i ← j-1

while i>0 and A[i]>key do A[i+1] ← A[i]

i--

A[i+1] ←key for j=2 to length(A)

do key ← A[j]

i ← j-1

while i>0 and A[i]>key do A[i+1] ← A[i]

i--

A[i+1] ←key

inicjalizacja: j = 2, niezmiennik jest trywialny, A[1] jest zawsze posortowana zachowanie: wewnątrz pętli while przestawia się elementy A[j-1], A[j-2], …,

A[j-k] o jedną pozycję bez zmiany ich kolejności. Element A[j] jest wstawiany na k-tą pozycję, tak że A[k-1]≤A[k]≤A[k+1]. Stąd A[1..j-1] jest

posortowane.

zakończenie: kiedy pętla się kończy (j=n+1) niezmiennik oznacza, że cała

Notacje asymptotyczne

Cel: uproszczenie analizy czasy wykonania, zaniedbywanie „szczegółów”, które mogą wynikać ze specyficznej implementacji czy sprzętu

– “zaokrąglanie” dla liczb: 1,000,001 ≈ 1,000,000 – “zaokrąglanie” dla funkcji: 3n² ≈ n²

Główna idea: jak zwiększa się czas wykonania algorytmu wraz ze wzrostem rozmiaru wejścia (w granicy).

– Algorytm asymptotycznie lepszy będzie bardziej efektywny dla prawie wszystkich rozmiarów wejść (z wyjątkiem być może „małych”)

Notacje asymptotyczne

Notacja O (duże O)

– Asymptotyczne ograniczenie górne

– f(n) = O(g(n)), jeżeli istnieje stała c i n₀, takie, że f(n) ≤≤≤≤ c g(n) dla n ≥ n₀

– f(n) i g(n) są nieujemnymi funkcjami całkowitymi

Korzysta się z niej przy analizie najgorszego przypadku.

) ( n f

( ) c g n⋅

n0 Rozmiar wejścia

Czas działania

Notacja ΩΩΩΩ (duża ΩΩΩ)Ω

– Asymptotyczne ograniczenie dolne – f(n) = Ω(g(n)) jeśli istnieje stała c i n₀,

takie, że c g(n) ≤≤≤≤ f(n) dla n ≥ n₀

Opisuje najlepsze możliwe zachowanie się algorytmu

Rozmiar wejścia

Czas działania )(

n f

( ) c g n ⋅

n0

Notacje asymptotyczne

Notacje asymptotyczne

Prosta zasada: odrzucamy mniej istotne dla czasu składniki i czynniki stałe.

– 50 n log n jest O(n log n) – 7n - 3 jest O(n)

– 8n² log n + 5n² + n jest O(n² log n)

O jest ograniczeniem górnym więc np. (50 n log n) jest typu O(n⁵), ale interesuje nas najlepsze możliwe oszacowanie – w tym przypadku jest to O(n log n)

Notacja ΘΘΘ ((((duża ΘΘ ΘΘΘ )

– Dokładne oszacowanie asymptotyczne – f(n) = Θ(g(n)) jeżeli istnieją stałe c₁, c₂, i

n₀, takie, że c₁ g(n) ≤≤≤≤ f(n) ≤≤≤≤ c₂ g(n) dla n ≥ n₀

f(n) = ΘΘΘΘ(g(n)) wtedy i tylko wtedy, gdy f(n) = ΟΟΟΟ(g(n)) i f(n) = ΩΩΩΩ(g(n))

Rozmiar wejścia

Czas działania )(

n f

n0

Notacje asymptotyczne

) (n g c₂⋅

) (n g c₁^⋅

Notacje asymptotyczne

Analogie do zależności pomiędzy liczbami:

– f(n) = O(g(n)) ≅ f ≤≤≤≤ g – f(n) = Ω(g(n)) ≅ f ≥ g – f(n) = Θ(g(n)) ≅ f = = = = g – f(n) = o(g(n)) ≅ f < < < < g – f(n) = ω_(g(n)) ≅ f > > > > g

Zwykle zapisujemy: f(n) = O(g(n)) , co formalnie powinno być rozumiane jako f(n) ∈∈∈O(g(n)) ∈

Porównanie czasów wykonania

31 25

19 2ⁿ

244 88

31 n⁴

42426 5477

707 2n²

7826087 166666

4096 20n log n

9000000 150000

2500 400n

1 godzina 1 minuta

1 sekunda

Maksymalny rozmiar problemu (n)