rozmieszczonych w spos ób przedstawiony na rysunku. Obliczenia nale ¿y przeprowadziã dla dwóch przyjêtych przekroi koùowo symetrycznych: peùnego i pier œcieniowego, wyznaczaj¹c wartoœã naprê¿eñ stycznych 

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

Zadanie 2

Pr êt stalowy o staùym wymiarze na caùej dùugoœci obci¹¿ony jest dwiema parami siù o momentach M

s1

i M

s2

rozmieszczonych w spos ób przedstawiony na rysunku. Obliczenia nale ¿y przeprowadziã dla dwóch przyjêtych przekroi koùowo symetrycznych: peùnego i pier œcieniowego, wyznaczaj¹c wartoœã naprê¿eñ stycznych 

s

, k ¹ta skrêcenia  i masy m.

Obliczenia nale ¿y przeprowadziã dla czterech przypadków:

a) sta ù¹ wartoœci¹ jednego z gùównych wymiarów przekroju, b) sta ù¹ wartoœci¹ maksymalnego k¹ta skrêcenia,

c) sta ù¹ wartoœci¹ maksymalnych naprê¿eñ skrêcaj¹cych, d) sta ù¹ mas¹.

Ms2

L

z

y D D

M_s1 d

Dane: Szukane:

M

s1

= 1000 Nm 

^s

= ?

M

s2

= 1000 Nm  = ?

L = 1000 mm m = ?

D = 60 mm d = 50 mm

G = 0.85  10

⁵

MPa

 = 7.86 kg/dm

³

Rozwi ¹zanie:

1. Moment skr êcaj¹cy

0 Ms

2. Obliczenia napr ê¿eñ skrêcaj¹cych 

s

, k ¹ta skrêcenia  oraz masy m dla prêta posiadaj ¹cego staù¹ wartoœã jednego z gùównych wymiarów przekroju

a. Ko ùowym (prêt okr¹gùy)

Przyj êto wymiary: D = 60 mm Biegunowy moment bezw ùadnoœci I

o

=

32 D⁴





= 1272345.0 mm

⁴

Biegunowy wska ênik wytrzymaùoœci W

o

=

16 D³





= 42411.5 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

4 D²





= 2827.4 mm

²

K ¹t skrêcenia

 =

850001272345.0 1000 10 1000 I

G L

M ³

o 1 s

 

 



= 0.009 rad

_

180

0.516  Maksymalna warto œã naprê¿eñ skrêcaj¹cych



s

=

5 . 42411

10 1000 W

M ³

o 1

s  

= 23.6 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (2827.4 1000  0,000001)  7.86 = 22.2 kg

b. Pier œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)

Przyj êto wymiary: D = 60 mm, g = 5 mm, d = D – 2g Biegunowy moment bezw ùadnoœci

I

o

=  

32 d D⁴ ⁴





= 658752.7 mm

⁴

Biegunowy wska ênik wytrzymaùoœci W

o

=

D d D 16

4 4

 

= 21958.4 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

 

D

x x

y

y

x x

y

y

g

Maksymalna warto œã naprê¿eñ skrêcaj¹cych



^s

=

21958.4 10 1000 W

M ³

o 1

s  

= 45.5 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (863.9 1000  0,000001)  7.86 = 6.8 kg

3. Obliczenia wymiar ów przekroju poprzecznego, naprê¿eñ skrêcaj¹cych 

s

oraz masy

m

dla pr êta charakteryzuj¹cego siê okreœlon¹ wartoœci¹ k¹ta skrêcenia  na dùugoœci

L

W obliczeniach przyj êto, i¿ prêt bêdzie charakteryzowaùa staùa wartoœã k¹ta skrêcenia

 = 0.01 rad. Po przeksztaùceniu wzoru na k¹t skrêcenia okreœlono wartoœã biegunowego momentu bezw ùadnoœci I

^o

wymaganego dla analizowanych przekroi

.01 0 85000

1000 10 1000 G

L I M

3 1

s

o    







= 1176470.6 mm

⁴

Warto œã biegunowego momentu bezwùadnoœci posùu¿y do wyznaczenia wymiarów belki oraz warto œci naprê¿eñ skrêcaj¹cych i masy.

a. Ko ùowym (prêt okr¹gùy)

Wymiary przekroju poprzecznego pr êta obliczamy ze wzoru na biegunowy moment bezw ùadnoœci

D =

^{4 32 Io 4 32 1176470.6}



 



= 58.8 mm

Biegunowy wska ênik wytrzymaùoœci W

o

=

16 D³





= 39991.3 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

4 D²





= 2718.8 mm

²

Maksymalna warto œã naprê¿eñ skrêcaj¹cych



^s

=

3 . 39991

10 1000 W

M ³

o

s  

= 25.0 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (2718.8 1000  0,000001)  7.86 = 21.4 kg D

x x

y

y

b. Pier œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)

Przyj êto wymiary: g =

^D

252 

, d = D – 2g =

^D 2521 

Úrednicê D przekroju poprzecznego prêta obliczamy ze wzoru na biegunowy moment bezw ùadnoœci, który po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

D =

^{4 x 4}

12259 6 . 1176470 781250

12259 I 781250





 





= 69.9 mm

d =

69.9 25 D 21 25

21  

= 58.7 mm

Biegunowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

o

=

D d D 16

4 4

 

= 33664.3 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =  

4 d D² ²





= 1129.6 mm

²

Maksymalna warto œã naprê¿eñ skrêcaj¹cych



^s

=

6 . 1129

10 1000 W

M ³

o

s  

= 29.7 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (1129.6 1000  0,000001)  7.86 = 8.9 kg

4. Obliczenia k ¹ta skrêcenia  oraz masy m dla prêta posiadaj¹cego staù¹ wartoœã

maksymalnych naprê¿eñ skrêcaj¹cych s

W obliczeniach przyj êto, i¿ prêt bêdzie charakteryzowaùa staùa wartoœã maksymalnych napr ê¿eñ skrêcaj¹cych 

^s

= 60 MPa. Na tej podstawie okre œlono wartoœã biegunowego wska ênika wytrzymaùoœci W

^o

, jakim powinien charakteryzowa ã przekrój

60 10 1000 W M

3

s 1 s o

 

 

= 16666.67 mm

³

Warto œã biegunowego wskaênika wytrzymaùoœci posùu¿y do wyznaczenia wymiarów prêta oraz warto œci k¹ta ugiêcia i masy.

a. Ko ùowym (prêt okr¹gùy) D

x x

y

y

g

y

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

4 D²





= 1516.9 mm

²

K ¹t skrêcenia

 =

85000 366233.8 1000 10 1000 I

G L

M ³

o 1 s

 

 



= 0.032 rad

_

180

1.841  Masa belki

m = V   = S  L   = (1516.9 1000  0,000001)  7.86 = 11.9 kg

b. Pier œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)

Przyj êto wymiary: g =

^D

252 

, d = D – 2g =

^D 2521 

Úrednicê D przekroju poprzecznego prêta obliczamy ze wzoru na biegunowy wska ênik wytrzymaùoœci, który po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

D =

^{3 o 3}

12259 67 . 16666 390625 12259

W 390625





 







= 55.3 mm

d =

55.3 25 D 21 25

21  

= 46.4 mm

Biegunowy moment bezw ùadnoœci

I

o

=  

32 d D⁴ ⁴





= 460772.7 mm

⁴

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =  

4 d D² ²





= 706.9 mm

²

K ¹t skrêcenia

 =

85000 460772.7 1000 10 1000 I

G L

M ³

o 1 s

 

 

= 0.026 rad

_

180

1.463  Masa belki

m = V   = S  L   = (706.9 1000  0,000001)  7.86 = 5.6 kg

6. Obliczenia k ¹ta skrêcenia  oraz naprê¿eñ skrêcaj¹cych 

s

dla pr êta posiadaj¹cego staù¹

masê m

W obliczeniach przyj êto, i¿ prêt bêdzie charakteryzowaùa staùa wartoœã masy m = 12 kg.

Na tej podstawie mo ¿na okreœliã wartoœã pola powierzchni przekroju poprzecznego S ze wzoru

000001 . 0 86 . 7 1000

12 L

S m



 



 

= 1526.7 mm

²

Warto œã pola powierzchni przekroju poprzecznego posùu¿y do wyznaczenia wymiarów pr êta oraz wartoœci naprê¿eñ skrêcaj¹cych i k¹ta skrêcenia.

D

x x

y

y

g

a. Ko ùowym (prêt okr¹gùy)

Wymiary przekroju poprzecznego pr êta obliczamy ze wzoru na pole przekroju

D =



 

S 4 1526.7

4

= 44.1 mm

Biegunowy moment bezw ùadnoœci I

o

=

32 D⁴





= 370968.9 mm

⁴

Biegunowy wska ênik wytrzymaùoœci W

o

=

16 D³





= 16828.0 mm

³

K ¹t skrêcenia

 =

85000 370968.9 1000 10 1000 I

G L

M ³

o 1 s

 

 

= 0.032 rad

_

180

1.817  Maksymalna warto œã naprê¿eñ skrêcaj¹cych



^s

=

16828.0 10 1000 W

M ³

o

s  

= 59.4 MPa

f. Pier œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)

Przyj êto wymiary: g =

^D

252 

, d = D – 2g =

^D 2521 

Úrednicê D przekroju poprzecznego prêta obliczamy ze wzoru na pole powierzchni, kt óry po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

D =





 





46 1526.7 625 46

S

625

= 81.3 mm

d =

81.3 25 D 21 25

21  

= 68.3 mm

Biegunowy moment bezw ùadnoœci

I

o

=  

32 d D⁴ ⁴





= 2149200.4 mm

⁴

Biegunowy wska ênik wytrzymaùoœci W =

^



^D4d4

 = 52898.3 mm

³

D

x x

y

y

D

x x

y

y

g