S e r i a : ENERGETYKA z . 29 N r k o i . 223
STANISŁAW JERZY GDULA
K a te d r a T e o r i i Maszyn C ie p ln y c h
WSPÓŁCZYNNIK PRZEKAZYWANIA CIEPŁA W REGENERATORZE PRZY STAŁYM WSPÓŁCZYNNIKU WNIKANIA CIEPŁA
S t r e s z c z e n i e . Na d ro d ze a n a l i t y c z n e j u zy sk an o z a le ż n o ść s to s u n k u r ó ż n ic y ś r e d n ic h te m p e r a tu r w y p ełn ie
n i a i te m p e r a tu r gazów w r e g e n e r a to r z e od l i c z b F o u r ie r a i l i c z b y B io ta . Z ależn o ść t a b y ła u p rz e d n io u z y s k a n a in n ą m etodą w p ra c y [1] .
1 . Wstąp
P rz y n i e w i e l k i e j zm ien n o ści w c z a s i e te m p e r a tu r gazów ( g r z e j ą cego i g rzan e g o ) w danym m ie js c u r e g e n e r a to r a o ra z p rz y pomi
n i ę c i u w zdłużnego p rzew o d zen ia c i e p ł a w w y p e łn ie n iu , o b lic z e n i a c ie p ln e r e g e n e r a t o r a można sp ro w ad zić do o b lic z e ń re k u p e - r a t o r a . Z am iast s tr u m i e n ia c i e p ł a Ó o p e ru je s i ę p rz y tym i l o ś c i ą c i e p ł a w ym ienianego w c z a s i e jednego p e rio d u Q, a m ie js c e w sp ó łc z y n n ik a p r z e n i k a n ia c i e p ł a zajm u je tz w . w spół
c z y n n ik p rzek a z y w a n ia c i e p ł a . W spółczynnik t e n w y raża s i ę wzo- rem
k =*
y o g d
(1)6
g d z ie :
de
» Y ^ / A ^ o zn acza połow ę z a s tę p c z e j g r u b o ś c i e l e mentu w y p e łn ie n ia ,c i ę
je g o c i e p ł o w łaściw e i g ę s to ś ć . W ielkość 3f j e s t bezwymiarowym sto su n k ie m r ó ż n ic y ś r e d n ic h te m p e r a t u r w y p e łn ie n ia w momencie r e w e r s j i do r ó ż n ic y ś r e d n ic h w danym m ie js c u te m p e r a tu r gazów. Wyznaczamy go r o z p a t r u ją c p rz e w odzenie c i e p ł a w ele m e n c ie w y p e łn ie n ia poddanym p erio d y c zn o - -skokowym zmianom te m p e ra tu ry śro d o w isk a . Z ag a d n ien ie t o ro z w iązano a n a l i t y c z n i e w p ra c y [i] p rz y z a ło ż e n iu n ie z a le ż n o ś c i w ła ś c iw o ś c i m a te r ia łu w y p e łn ie n ia od te m p e ra tu ry o raz s t a ł o ś c i120 Stanisław Jerzy Gdula
w sp ó łc z y n n ik a w n ik a n ia c i e p ł a . Podane ro z w ią z a n ie może być s t o sowane d l a ró ż n y c h k s z ta łtó w w y p e łn ie n ia , b y le wymiary elem entu b y ły d o s t a t e c z n i e m ałe w s to s u n k u do d łu g o ś c i d r o g i przepływ u gazów.
R ozw iązanie num eryczne d l a przypadku p ł y t y , z u w zg lęd n ie
niem różnych w a r to ś c i w sp ó łczy n n ik a w n ik a n ia c i e p ł a d l a obu f a z d z i a ł a n i a r e g e n e r a t o r a , p o d ał Guzik [2] .
W p ra c y n i n i e j s z e j podano in n e ro z w ią z a n ie a n a lity c z n e wspo
m nianego z a g a d n ie n ia , d l a s t a ł e g o w sp ó łczy n n ik a w n ik a n ia c i e p ł a .
2 . Równanie p rzew o d zen ia c i e p ł a i w aru n k i brzegow e
n ie u s t a l o n e p rzew o d zen ie c i e p ł a w elem en cie w y p e łn ie n ia b ę d z ie p rz e d s ta w io n e n i e z a pomocą je d n e j f u n k c ji p e r io d y c z n e j, a le o d d z ie ln ie d l a f a z y g r z a n i a i f a z y o c h ła d z a n ia . Oba t e p ro c e sy o p is u je t o samo rów nanie różniczk ow e
l H a a ' ' ^ 1,2 (2)
w raz z p rz e strz e n n y m w arunkiem brzegowym
¡
>
o ,,
<3 >
sp ełnionym n a p o w ie rz c h n i elem en tu w y p e łn ie n ia ( r e S ) . W z a le ż n o ś c i od wyboru a lte rn a ty w n e g o w sk a źn ik a 1 lu b 2 uzysku
jemy rów nan ie różn iczko w e d l a f u n k c j i i ^ ( r , ‘C) lu b - ^ g if jr ) o p is u ją c y c h zm ienne p o le te m p e r a tu r w elem en c ie w y p e łn ie n ia , odpow iednio d l a f a z y g r z a n i a lu b o c h ła d z a n ia . T em peratury t^
i tg o z n a c z a ją te m p e ra tu ry gazów g r z e ją c e g o i o o h ład zan eg o . Warunki brzegow e d l a p rz e d z ia łó w c z a su (0 , x ^ ) f a z y g r z a n i a i ( 0 ,1 g ) f a z y o c h ła d z a n ia s ą warunkami r e w e r s j i i w yra
ż a j ą rów ność f u n k c j i i w p u n k tach i c h " sty k u "
(5) (4)
W c e l u w y z n a c z e n ia sto su n k u t w y s ta r c z y z n a le ź ć fu n k c ję
•O y(?,t) . Po u ś r e d n ie n iu j e j w c a ł e j o b j ę t o ś c i elem en tu w yp eł
n i e n i a otrzym ujem y f u n k c j ę
o p is u ją c ą p r z e b ie g czasow y ś r e d n ie j tem p eratu ry, elem en tu wy
p e ł n i e n i a . Poszukiw any s to s u n e k * , z g o d n ie z d e f i n i c j ą , wy
r a ż a s i ę wzorem
3 . Zmienne bezwymiarowe
W c e lu u p r o s z c z e n ia d a ls z y c h ro zw ażań , jak i końoowego w yn iku , wprowadzamy zm ienne bezwym iarowe:
Zredukowane tem p e r a tu ry
Zredukowane w sp ó łr z ęd n e
(V)
(6)
^m 1( t 1 } “ ' V l (0)
* --- (7)
(9)
Zredukowany c z a s ( l i o z b a F o u r ie r a )
122 Stanisław Jerzy Gdula
l i c z b ą B io t a
(B I) - — 2 , (11)
Bezwymiarowa p o s ta ć równań (2 ) — (7 ) j e s t n a stą p u ją o a
904 o 2
3T*oT = v 0 1 ,2
“OT*“ + (Bi) 01,2 " 0
(2a)
(3a)
61 (Rt (Po) ^) - 6>2 ( f , 0 ) - 1 (4a)
0 2 (R, ( P o ) 2 ) » *91 ( 5 , 0 ) + 1 (5a)
e ml (Po) « y / f t|( f f f ( * ° ) ) dV (6a) (V)
3 f - e ffli ( ( P o ) i ) - 0 mi ( ° ) (7a)
4 . W yznaczenie sto su n k u x
Z rów nan ia (2 a) i warunku brzegow ego (3 a ) można w yznaczyć fu n k c je 6^ i # 2 w p o s t a c i r o z w in ią c ia w s z e r e g i w edług f u n k c j i w ła sn y ch
0j\ 2 M Ck 1 ,2 Tk ^ e x p ( - ¡ “^ (B o )) (12) k*1
z d o k ła d n o ś c ią do w sp ółczyn n ik ów Ck 1 ,2 BzeregU-
F un kcje w ła s n e i w a r t o ś c i w ła sn e s ą ro zw ią za n ia m i n a stęp u j ą c e g o z a g a d n ie n ia brzegow ego
2 2
V ▼ + f i Y « 0
(13 )
| 5 + (B i) v - 0
W sp ó łczy n n ik i s z e r e g u w yznacza s i ę zw yk le z r o z w i n ię c ia w s z e r e g w ed łu g t y c h samych f u n k c j i w ła sn y c h f u n k c j i w y r a ż a ją c e j początk ow y r o z k ła d tem p eratu r* W tym wypadku początkow e r o z k ła d y tem p e r a tu r n i e s ą znane i w s p ó łc z y n n ik i Cj^ ^ n a le ż y wy
z n a c z y ć z warunków r e w e r s j i ( 4 a ) f ( 5 a ) . P o d sta w ia ją c rów nan ie (1 2 ) do t y c h warunków otrzym ujem y
Z X l ▼k e z p i - ^ i F o ^ ) = J T Ck2 v k - 1 , (14)
k»1 k«*1
Z ” ck2 Tk exP(-#Jk ( p ° ) 2 ) * ¿ L °k1 Tk + 1 * (1 5 )
k»1 k»1
J e ż e l i wprowadzimy c i ą g w i e l k o ś c i z d e fin io w a n y c h na
s t ę p u j ą c o
i
vk (E) dY
- (1 6)
1(V)
v£(H ) dV
i będąoyoh w sp ó łczy n n ik a m i r o z w in ię o ia ,w s z e r e g f u n k c j i je d n o s t
kow ej
124 Stanisław Jerzy Gdula
t o r o z w i n ię c ia (1 4 ) i (1 5 ) przyjm ą p o sta ć
/ L (Ck1 e x p ( - ^ ( F o ) ^) - Ck2 + Ak )vk (R) = 0 (1 8 )
k=1 o o
(ck2 e x p ( - f k (P o )2 ) - Ck1 - Afc)vk (Ś) » 0 (19) k=1
S z e r e g i fu n k c y jn e ( 1 8 ) , (1 9 ) s ą to żsa m o ścio w o równe zeru d l a w s z y s t k ic h w a r t o ś c i R, p r z y s p e łn ie n i u n a s tę p u ją c y c h wa~
funków
Ck ^ e x p (—pk (Po) ^ \ a (20)
Ck2 e x p (-{ ^ (P o )2 ) — Cjj.ij — = 0 (21)
d l a w s z y s t k ic h k« Z równań (20) i (2 1 ) w yznacza s i ę w s p ó ł- c z y n n ik i Ck1 i Ck2
ck , . ( 22)
* 1 - « c * «P (-iJ^ ( ( i 'o ) i + (P o )2 ))
c . i 1 - g p H f o o ) , ) k 2 1 - e i p ( - f k ( ( P o ) 1 + (P o )2 ! )
P oszukiw ane fu n k o je 0^ i ©2 w y r a ż a ją ce p r z e b ie g i z r e dukowanych tem p era tu r elem en tu w y p e łn ie n ia w o z a s ie f a z y g r z a n i a i o c h ła d z a n ia , m ają o s t a t e c z n ą p o s ta ć
. 2 1
* 1 -
V
A* T (I) 6Xg ^ ---— exp(-^(P0)),¿ 1 1 “ ex p (-fik ( ( P o ) 1 + (P o )? ) )
V - , 1 - e z p (-^ - ( P o ) ,) p
%
= / ,K
---——TT
,— T — “ T T exP H V ^ p °))»toil 1 ~ e x p (-lu ^ ( ( p o ) 1 + (P o )2 )) ^
(25) W c e lu w y zn a cze n ia s to s u n k u ac u ś r e d n ia n y f u n k c ją zgod
n ie z równaniem ( 6 a ) . J e ż e l i p rz y tym 'oznaczym y
\
" \ 7 / vk (f)d V » (26)(V) t o otrzymamy
Z
exp (-fi? (Po) p) - 1 , o ,B. — e z p ( - f i f ( P o ) ) . (27)
■ k=1 1 - ex p (-fi2 ( ( P o ) 1 + (P o)2 ))
W stawiając t o do równania (?a) uzyskujemy o s t a t e c z n ie
^ ^ ( 1 -e z p (-fijj. (Po) ^ ) ) ( 1 -e z p (-fi^ (Po) 2 ))
3?= / , B^. . — ... (28)
k=1 1 exp(-fxk ( ( P o ) 1 + (P o )2 ))
Poniew aż w a r to ś c i w ła sn e fu k o ra z w s p ó łc z y n n ik i A^, a w ięc i 3. , s ą fu n k c ja m i l i c z b y B io ta , w ięc # z a le ż y od n a -
£
s tę p u ją c y c h zm iennych
* » J p ( ( B i ) , (P o )1f (P o )2 )
F u n k c ja t a j e s t sy m etry cz n a wzglądem zm iennych (Po),, i (p o )g . Szczegółow ą d y s k u s ją ró w n a n ia (28) przeprow adzono w p ra c y [1] . Zamieszczono tam ró w n ież w ykres t e j f u n k c j i d l a w y p e łn ie nia regeneratora w p o s t a c i symetrycznie ogrzew anych p ły t« Wy
kres ten dotyczy przypadku równych liczb P o u r i e r a .
126 Stanisław Jerzy Gdula
LITERATURA
[1] GRULA S . J . : P rzepływ c i e p ł a w c i a ł a c h s t a ł y c h p rzy sk o k o w ych, p e rio d y o zn y o h zm ianach tem p era tu ry o śro d k a . A rchi
wum Budowy M aszyn, 1 1 , 2 , 1 9 6 4 .
f2] GUZIK A .: O b lic z a n ie p o la p o w ierzo h n i g r z e j n e j n ag rzew n icy w ie lk o p ie c o w e j . Z e s z . Nauk. P o l . S I . , E n ergetyk a z . 2 6 ,
19 6 7 .
KOOłSMUHEHT TEIUIOREPEJUUiM B PErEHEPATOPE IIPM IIOCTOHHHOM K03$$MUHEHTE TEIUI OOTflAHH
P e 3 n m e
A H a B H T M u e c K H M n y T e z n o z y z e H O 3 a B z c z u o c T B o t h o i b c h h e p a 3 H 0 C T Z c p e ^ H i u t T e u n e p a T y p T B e p ^ o R H a dz b k z z T e w n e p a T y p r a 3 0 B b p e r e - H e p a T O p e o t zzcea $yPE z uzeza EMO.
9 T y 3 a B z c z m o c t ł n o a y v e H O n a H M i e b p a d o T e fi] a p y r z M M e T O s o n .
OVER-ALL HEAT TRANSFER COEFFICIENT IN THE REGENERATOR
AT THE STABLE CONVECTIVE HEAT TRANSFER COEFFICIENT
S u m m a r y
A dependence o f r e l a t i o n of a d i f f e r e n c e in medium te m p e ra tu re o f f i l l i n g and gas te m p e r a tu r e s i n th e r e g e n e r a to r on th e FOURIER»s numbers and BIOTs num ber, h a s b een i n t h e a n a l y t i c a l way a c h ie v e d . T h is dependence was fo r m e r ly ac h ie v e d by means
o f a n o th e r method i n th e p a p e r ft] .