• Nie Znaleziono Wyników

Częstotliwościowe kryteria stabilności nieliniowych układów automatyki przy wymuszeniach przypadkowych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Częstotliwościowe kryteria stabilności nieliniowych układów automatyki przy wymuszeniach przypadkowych"

Copied!
6
0
0

Pełen tekst

(1)

Serias Automatyka z. 28 Kr kol. 397

Lesław Socha

CZĘSTOTLIWOŚCIOWE KRYTERIA STABILHOŚCI KIELINIOWYCH UKŁADÓW^AUTOMATYKI PRZY WYMIIS Z EHIACH PRZYPADKOWYCH

Streszczenie. W pracy przedstawiono częstotliwościowe kryteria stabil­

ności przy stale działających zaburzeniach przypadkowych dla pewnej kla­

sy nieliniowyoh układów regulacji stacjonarnych i niestacjonarnych.

Wstęp

Zagadnienie stabilności układów równań różniczkowych nieliniowych przy stale działających wymuszeniach przypadkowych były rozważane w Q1J. Po­

dano tam między innymi dwa twierdzenia podstawowe dotyczącej tej stabilno­

ści w dowodach, których posłużono się funkcją Lapunowa.

W niniejszym artykule przedstawimy w oparciu o wyniki prac [1],[X1»M częstotliwościowe kryteria stabilności nieliniowych układów automatyki przy wymuszeniach przypadkowych. Hajpierw wprowadzimy oznaczenia, którymi będziemy się później posługiwali

E1 “ ^ x If gdzie

En - przestrzeń Euklidesa n-wymiarowa

I = |ti 0 < t < o o j

\

|x| = (x2 + ... + 1

( 2

n

2

n \ ’i

i=i j=i / o

C0 - klasa funkcji absolutnie ciągłych względem t spełniających glo­

balny warunek Lipszica.

(2)

Rozpatrzmy układ równań

ij| - Px + qf (6) + R(x,t,(20 < r , x > = 6 O J

= Px + q<P(6^ < r , x > = 6 , (1) gdzie

P - macierz Hurwitza o współczynnikach stałych, q,r- wektory n-wymiarowe o współczynnikach stałych,

<P(6) - funkcja nieliniowa ciągła spełniająca nierówność 0< 6 . < P ( 6 ) < p0 6 2 (jio< - o o )

¡i - element przestrzeni probabilistycznej (B„§,P)

R(x,t,p>) proces stochastyczny taki, że dla równania (1) spełnione są wa­

runki twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania.

Załóżmy, że przypadkowy proces

T?(t,(S) = sup |R(x,t,p>)| (2) ma skończoną wartość oczekiwaną.

Podamy teraz definicję stabilności przy stale działających zaburzeniach przypadkowych .

Definicja 2

Rozwiązanie x = 0 układu (1ł) jest stabilnie przy stale działających zaburzeniach opisanych równaniem (1), jeśli spełnione jest następujące zdanie logiczne:

A A V (xQ

+ sup E^(t,(i>^<

^A

P|p>: |x(t,(i>)|

> ój

< g ,

g > 0 5 > 0 fl>0 0 tSsto *• J

gdzie xQ = x(t0,(J>).

Sformułujemy teraz twierdzenie orzekające o stabilności przy stale dzia­

łających zaburzeniach przypadkowych.

Twi erdz enie 1

Niech wartości własne macierzy P położone będą w obszarze

Re\<- c«o< 0 (3)

j ^ | istnieje i jest ograniczona. (4)

(3)

Jeśli dla pewnego V i wszystkich spełniony jest warunek ,-1

jj,“1 + Re

j(

1 + icoV) rT [p - (ico - oC0) i] q}>0 (5) dla równania (i), to rozwiązanie x a 0 równania (1) stabilne dla przy małych przypadkowych wymuszeniach .

Dowód

Na mocy twierdzenia 2 w [2] wynika, że zachodzi następujące oszaco­

wanie rozwiązania równania (1’) dla dowolnych "t> tQ i pewnego cOoCo

|x( t,x0,tQ)| << k |x(t0i| exp [-cC(t - t0j] , (6)

gdzie stałe k i <* są niezależne od xQ i tQ.

Wtedy (patrz Krasowski [3], str. 72) <łla układu (1*) istnieje funkcja W(x,t) spełniająca oszacowania

I. c1 <W(x,t)<c2 |x| 2

TT d°W - r. |_l 2 i;c* ~3t < " °3|x|

m - | 1 | < C4 X*

gdzie

I 3(t )*>x

Założenie ograniczoności ||§^ || jest spełnione, gdzie

F = Px + q<? I ( r ,x i | (7)

(4)

1

Z tych oszacowań wynika, że funkcja V(x,t) = [w(x,t/]^ spełnia warunki twierdzenia (6.1 str. 50 QG }, tzn. W istnieje funkcja lapunowa V(x,t)eCo o właściwościach

1. V(0,t) = 0, V > 0 przy 6 > 0

2. dla każdego 8 > 0 istnieje <%>0 takie, że w obszarze ||x|>6jx spełniona jest nierówność

V « inf V(x,t) t>0, |x| > 6.

Ha mocy twierdzenia (6.1 str. 50 [1] ) rozwiązanie równania 1 x » 0 jest abilne dla ż > t Q przy małych staj

kowych (w sensie powyższej definioji)

stabilne dla t > t Q przy małych stale działających zaburzeniach przypad-

CBDO.

W podobny sposób można wyprowadzić częstotliwościowe kryterium stabil­

ności dla nieliniowych niestacjonarnych układów automatyki przy stale dzia­

łających zaburzeniach przypadkowyoh. W tym celu sformułujemy zagadnienie:

Rozważmy układ regulacji, który opisany jest równaniami

|f - Px + q<p(6-,t; + R(x,t,gO 1*

ff • cr,x>

f(0,t) - 0,

gdzie macierz P i wektory r, q oraz proces R(x,t,(S) są określone tak jak w równaniu 1.

Odnośnie funkcji <p(&,t) zakłada się, że spełnia ona warunki istnie­

nia i Jednoznaczności rozwiązań i że dla każdego ż > t Q i dowolnych 6 spełnia nierówność

Sformułujemy teraz twierdzenie.

(5)

Twierdzenie 2 Niech układ

•j| = Px + ąfie.t) (r,x) 2*

będzie sterowalny i obserwowalny. Niech także dj.a każdego co^O spełniona będzie nierówność

i - + RejrT (P - 1031) 1 q j > 0

oraz j 1 jest ograniczona (istnieje).

Jeśli macierze P i P t ¡i0 . ą . r spełniają warunek Hurwica, ro rozwiąza­

nie x 5 O 2* jest stabilne dla przy małych stale działających, przypadkowych zaburzeniach.

Dowód

Na mocy twierdzenia M otrzymujemy oszacowanie takie jak w twierdze­

niu (1 ), tzn.

—c?( t-t )

|x(x0,t0,t)|¥;k|Xo| e

*>*o

stałe k,c< nie zależą od xQ i tQ,

a dalej dowód przebiega analogicznie jak w twierdzeniu 1.

LITERATURA

1. Chaśminskij R. Z. ł Ustojcziwost sistiem difierlencjalnych urawnienii pri słuczajnych wozmuszczeniach ich paramietrow. Izd. Nauka. Uoskwa 1969

.

2. Jakubowicz W.A.: Rieszienie niekatorych matrioznych nierawienriw wsrtrie- ozajuszczich8ia w nieliniejnoj tieori regulirowania. Dokłady Akademii Nauk ZSRR 156, No 2.

.3- Krasowskij N.N.» Niekatoryje zadaczi tieori ustojcziwosti dwiżenia- Pizmatfiz. Moskwa 1959.

4. Piatnickij E.S.: Razszirenie czastnowo kritieria absoliutnoj ustojczi- wosti regulirujemych sistiem s odnim nieliniejnym niestacjonarnym, ele- mientom. Radiofizika, No 3, 1972.

(6)

UACTOTOHHHE KFV.TEFVH! YCTOtiMM BOCTK HEJMHlfiHHX CMCTEM ABTOMATHKH M M OJiyMAtillUX B03IiyiiEH 11flX

P e 3 d m e

B p a f i o T e n p e ^ C T a B J i e H H 'łuC T O T O u iu ie KpnTepHH CT afiK JtbHo cTH n p n iio c t o h h h o f l e B c T B y B ą i o c cjryuaftHbDC B03uyiueHH«x: ,h;ih. o n p e ^ e J i e H H o r o u a o c a HOJiMHeiłHJtac c t b- UMOHapHbDC u HecTanMOHupHHx c u C T e u p e r y j i n p o B a H n a .

FREQUENCY CRITERIA OF STABILITY OF NONLINEAR AUTOMATION SYSTEMS WITH SANDOM PARAMETERS S u m m a r y

In the paper there was presented the theorem in which was consider ed the stability with constantly acting stochastic.perturbation for the non­

linear system with rondom parameters.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Pierwszy czynnik w liczniku pod całką to model przejścia, zaś drugi czynnik można wyrazić tym samym wzorem (9) po zaktualizowaniu chwili czasowej. Takie rekurencyjne podejście

W pole Ustaw komórkę wpisuję adres komórki, zawierającej analizowaną funkcję, w pole Wartość wpisuję liczbę 0 (gdyż właśnie komórka, przechowująca formułę

[r]

[r]

W szystkie te zjawiska mogą zostać opisane za pom ocą stanu początkowego reprezentowanego przez pewien wektor przestrzeni o skończonej ilości wymiarów oraz przez

Istnienie błędów związanych z odchyłką szerokości impulsu funkcji y» od założonej równej T/n jest niekorzystną cechą metody modelowania układów RS metodą ze

W pracy przedstawiono w syntetycznej formie zasadnicze rezultaty dotyczące teorii nieliniowych układów dyskretnych ze szczególnym uwzględnieniem zagadnień różnego

Zależność tę ot rz ymano dla układu regulacji z zależną od czasu nieliniowością