Programowanie liniowe jako technika obliczeniowa użyteczna w szacowaniu odporności ogniowej stalowej ramowej konstrukcji nośnej

99

© by Wydawnictwo CNBOP-PIB Please cite as: BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. 99–120 DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.8

dr hab. inż. Mariusz Maślak, prof. PK

1

mgr inż. Anna Tkaczyk

2

Przyjęty/Accepted/Принята: 17.01.2016;

Zrecenzowany/Reviewed/Рецензирована: 30.11.2016; Opublikowany/Published/Опубликована: 30.12.2016;

Programowanie liniowe jako technika obliczeniowa użyteczna

w szacowaniu odporności ogniowej

stalowej ramowej konstrukcji nośnej

3

Linear Programming as a Computational Procedure Useful in the Fire Resistance

Evaluation of a Steel Loadbearing Frame Structure

Использование линейного программирования как метода расчёта

огнестойкости стальной рамной несущей конструкции

ABSTRAKT

Cel: Przedstawiono i przedyskutowano oryginalną procedurę szacowania odporności ogniowej stalowego ramowego ustroju nośnego opartą

na zastosowaniu metodyki programowania liniowego. Tego typu podejście wymaga dokonania linearyzacji zarówno klasycznych warunków równowagi, jak i warunku opisującego uplastycznienie krytycznego przekroju poprzecznego w elemencie stalowym miarodajnym do oceny nośności badanej ramy. Przekroje wybrane do analizy odpowiadają lokalizacji aktywujących się w pożarze przegubów plastycznych.

Metody: Miarą poszukiwanej odporności jest określona dla całej ramy temperatura krytyczna odpowiadająca osiągnięciu przez badany ustrój

stanu granicznego nośności ogniowej. Stan ten identyfikowany jest z realizacją tego spośród potencjalnie możliwych mechanizmów czysto plastycznego zniszczenia ramy, który odpowiada najniższej możliwej wartości temperatury aktywacji. Taka specyfikacja wymaga akceptacji założenia, że przez cały czas trwania pożaru prognozowanego dla analizowanego ustroju nośnego wszystkie elementy tego ustroju będą efektywnie stężone. Dzięki temu nie występuje ryzyko jego wcześniejszego zniszczenia przez globalną lub lokalną formę utraty stateczności.

Wyniki: Pokazano sposób ogólnego formułowania problemu oraz specyfikacji funkcji celu, a także zasady budowy nierówności definiujących

miarodajne ograniczenia. Uwzględniono przy tym interakcję momentu zginającego i siły podłużnej. Algorytm postępowania zilustrowano na załączonym przykładzie numerycznym. Uzyskane z rekomendowanych w pracy obliczeń oszacowanie temperatury krytycznej badanej ramy odniesiono do odpowiadającego mu wyniku alternatywnej analizy, przeprowadzonej w celach porównawczych, opartej na zastosowaniu klasycznego kinematycznego podejścia do teorii nośności granicznej.

Wnioski: Zaproponowane podejście obliczeniowe w opinii autorów artykułu jest bardziej uniwersalne w stosunku do możliwych procedur

alternatywnych, rekomendowanych we wcześniejszych pracach. Pozwala bowiem na jednoznaczne i czytelne w interpretacji oszacowanie odporności ogniowej także w przypadku ram o złożonej geometrii i rozbudowanym schemacie obciążenia. W świetle założeń modelu formalnego, przytoczonych i szczegółowo dyskutowanych w tekście, uzasadnione może być również twierdzenie o znacząco większej wiarygodności uzyskanych w ten sposób oszacowań temperatury krytycznej analizowanej ramy w porównaniu do oszacowań otrzymanych w sposób konwencjonalny.

Słowa kluczowe: stalowa ramowa konstrukcja nośna, pożar, odporność ogniowa, temperatura krytyczna, programowanie liniowe Typ artykułu: oryginalny artykuł naukowy

ABSTRACT

Aim: A new original procedure which can be applied to evaluate the fire resistance of a steel frame, based on the linear programming approach,

is presented and discussed in this article. Such a computational technique requires the linearisation of both the classical equilibrium conditions and a condition describing the yield of a critical cross-section relating to the structural member conclusive in assessing the frame resistance. The sections selected for the analysis correspond to the location of the plastic hinges forming as a consequence of fire exposure.

Methods: The critical temperature, determined for the whole structure, and associated with the structure reaching its fire resistance limit state, is

considered to represent the measure of such a fire resistance. This critical temperature corresponds to the realisation of such a potentially possible purely plastic failure mechanism that is bound to the lowest possible formation temperature. Such a specification requires the assumption that 1 _{Politechnika Krakowska / Cracow University of Technology; mmaslak@pk.edu.pl;}

2 _{Biuro Budowlane Bauko S.C., Kielce;}

3 _{Artykuł został wyróżniony przez Komitet Redakcyjny / The article was recognised by the Editorial Committee; Procentowy wkład merytoryczny} w opracowanie artykułu / Percentage contribution; M. Maślak – 60%, A. Tkaczyk – 40%;

100

BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. 99–120 BADANIA I ROZWÓJ

DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8 throughout the duration of the fire foreseen for the considered bearing structure, all the components of this system will be effectively braced, so that there is no risk of their earlier failure by local or global loss of stability.

Results: The general problem formulation approach, the formulation of the objective function, and the rules governing the development of

inequalities defining the representative constraints, are presented in detail. The interaction between the longitudinal force and the bending moment is taken into account as well. The obtained results are illustrated by the numerical example. The estimate resulting from the calculation recommended in this article is related to the corresponding one based on the use of the kinematical approach to the theory of plasticity.

Conclusions: The proposed computational approach seems to be more universal in relation to the possible alternative procedures recommended

by the authors of this study in their earlier works. It facilitates an unambiguous and clearly interpretable estimate of the steel frame fire resistance also sought in the case of the frame with complex geometry and a complicated load arrangement. In the light of the assumptions of a formal model discussed in detail in this article, the conclusion can also be made that the reliability of the estimates so obtained is significantly greater in comparison to the corresponding results calculated conventionally.

Key words: steel frame load bearing structure, fire, fire resistance, critical temperature, linear programming Type of article: original scientific article

А ННОТА ЦИЯ Цель: Представить и обсудить оригинальную процедуру оценки огнестойкости стальной рамной несущей конструкции на основе методологии линейного программирования. Такой подход требует проведения линеаризации как классических условий равновесия, так и условия, описывающего размягчение критического сечения стального элемента, достоверного в оценке несущей способности исследуемой рамы. Сечения, выбранные для анализа, соответствуют размещению активизирующихся при пожаре пластических шарниров. Методы: Мерой огнестойкости является определенная для целой рамы критическая температура, связанная с достижением тестовой конструкцией предельного состояния несущей способности. Это условие определяется реализацией потенциала возможных механизмов при его пластическом разрушении, что соответствует самой низкой возможной величине температуры активации. При данной спецификации необходимо принять утверждение, что за все время пожара, прогнозированного как достоверный для анализируемой конструкции, все элементы конструкции будут иметь эффективную концентрацию. Благодаря этому нет никакого риска, что она разрушится раньше из-за общей или локальной (формы) потери устойчивости. Результаты: Указан способ общей формулировки проблемы и спецификации целевой функции, а также принципы создания неравенств, определяющих достоверные ограничения. Учтено при этим взаимодействие изгибающего момента и продольной силы. Результаты проиллюстрированы на численном примере, приложенном к формальной презентации модели. Результаты, полученные из предложенных в этой работе расчетов оценки критической температуры испытуемой рамы относятся к соответствующему результату альтернативного анализа, проведенного для сравнительных целей, основанного на использовании классического кинематического подхода к теории предельной нагрузки. Выводы: Предложенный вычислительный подход по мнению авторов представляется более универсальным в отношении к возможным альтернативным процедурам, рекомендованных авторами в предыдущих работах. Он позволяет дать четкую оценку и интерпретацию огнестойкости, также в случае рам со сложной геометрией и большой нагрузкой. В свете предположений формальной модели, перечисленных и подробно обсуждаемых в тексте, оправданным может быть также утверждение о значительно большей достоверности полученных таким образом значений оценки критической температуры анализируемой рамы по сравнению с оценками, полученными обычным способом. Ключевые слова: стальная рама, несущая конструкция, пожар, огнестойкость, критическая температура, линейное программирование Вид статьи: оригинальная научная статья

1. Wprowadzenie

Inżynierską ocenę odporności ogniowej złożonego sta-lowego ramowego ustroju nośnego można uznać za wiary-godną jedynie wtedy, gdy w modelu formalnym towarzyszą-cym analizie statycznej odpowiadającej wyjątkowej sytuacji projektowej pożaru rozwiniętego zostanie rozważona kon-strukcja potraktowana całościowo. Tego typu badanie można ewentualnie zastąpić, choć nie zawsze jest to możliwe, przez szczegółową analizę zachowania się w pożarze funkcjonalnie jednorodnych podukładów ocenianej ramy, o jednoznacz-nie określonym schemacie i sposobie oddziaływania na po-zostałe części konstrukcji. Jak dotąd w praktyce projektowej powszechnie stosowane jest myślowe wydzielanie z ustroju pojedynczych elementów nośnych (rygli, słupów) i przypisy-wanie do nich lepiej lub gorzej zamodelowanych warunków brzegowych opisujących zmieniającą się wraz z rozwojem pożaru podatność więzów krępujących te elementy. Pozwala to na otrzymanie stosunkowo prostych algorytmów weryfi-kujących możliwość bezpiecznego przenoszenia przyłożo-nych do konstrukcji obciążeń zewnętrzprzyłożo-nych wraz z siłami wewnętrznymi generowanymi wskutek ograniczenia możli-wości swobodnej realizacji odkształceń będących skutkiem rozszerzalności termicznej stali. Niemniej jednak uzyskane w ten sposób wyniki z uwagi na prostotę podejścia oblicze-niowego nie zawsze odpowiadają rzeczywistemu zachowa-niu się badanego ustroju w warunkach ekspozycji ogniowej.

1. Introduction

An engineering evaluation of the fire resistance of a com-plex steel frame load bearing structure can be considered re-liable only when the formal model associated with the statical analysis corresponding to the accidental design situation of a fully developed fire considers the structure as a whole. If needed, although not always possible, this type of test may be substituted with a detailed fire behaviour analysis relating to the functionally homogeneous substructures of the tested frame with an unambiguously defined pattern and the manner of exerting impact on other parts of the structure. So far, it has been common for design practice to mentally select individ-ual load bearing members (beams, columns) from the struc-ture and assign them to more-or-less well-modelled boun- dary conditions describing the susceptibility of the bonds that tie together these members as it changes with the spread of the fire. This can provide relatively simple algorithms that ver-ify whether the external loads applied to the structure can be transferred together with the internal loads generated by the constraints in the free realisation of the strains resulting from the thermal expansion of steel. However, due to the simplicity of this computational approach, the results so obtained do not always correspond to the actual behaviour of the tested struc-ture when exposed to fire. Indeed, it is difficult for such a sim-ple physical model to reflect alone the redistribution of the internal forces in the members exposed directly to fire which

101

RESEARCH AND DEVELOPMENT Please cite as: BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. 99–120

DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8 ИССЛЕДОВАНИЯ И РАЗВИТИЕ

Trudno bowiem w tak prostym modelu fizycznym odwzoro-wać chociażby zachodzącą w elementach konstrukcji podda-nych bezpośredniemu oddziaływaniu ognia redystrybucję sił wewnętrznych determinującą ich wynikowy stan naprężenia czy odkształcenia. Ponadto sposób ten nie pozwala zidenty-fikować, a zatem i oszacować istotność pewnych specyficz-nych dla ogrzewanej ramy efektów, które uwidaczniają się dopiero dzięki jej analizie globalnej. Przykładem może być generowanie się w ryglach rozpatrywanej ramy na skutek ich dużego ugięcia siły rozciągającej o znacznej wartości, bardzo groźnej ze względu na stateczność słupów szkieletu stalowe-go. Wartość takiej siły zależy bowiem głównie od podatności słupów ograniczających te rygle, a ta z kolei między innymi od geometrii całej ramy, sposobu jej obciążenia i jej schema-tu statycznego. Z tego względu dąży się do tego, aby miarą odporności ogniowej specyfikowanej dla badanej ramy była wielkość jednoznacznie do niej przypisana i stanowiąca nie-jako jej charakterystykę, niezależną od dodatkowych czynni-ków czy okoliczności. Należy zaznaczyć, że jeśli za taką miarę przyjmie się czas, przez który w warunkach potencjalnie za-grażającego jej pożaru konstrukcja zapewni bezpieczne prze-noszenie przyłożonych do niej obciążeń zewnętrznych wraz z termicznie indukowanym i zmiennym w czasie polem sił wewnętrznych, to miara ta będzie zależała od charakterystyki pożaru przyjętego do analizy. Zmiana intensywności nagrze-wania lub chociażby maksymalnej temperatury gazów spali-nowych osiąganej w strefie pożarowej, do której należy ana-lizowana rama, oznaczać będzie równoczesną zmianę osza-cowanej odporności. W opinii autorów bardziej uniwersalną miarą jest w tym przypadku temperatura krytyczna szacowa-na dla całego ustroju ramowego. Pod tym pojęciem rozumie się temperaturę odniesioną do osiągnięcia przez badaną ramę stanu granicznego nośności ogniowej, określoną w ustalo-nym, miarodajnym dla tej ramy elemencie i jednoznacznie powiązaną z wartościami temperatury osiągniętymi w tym samym czasie w pozostałych jej elementach [1]. Wyznaczenie wartości tej temperatury nie zawsze jest możliwe, zwłaszcza w przypadku konstrukcji żelbetowych. Trzeba jednak pod-kreślić, że konstrukcje stalowe należą do obiektów, dla któ-rych tego typu podejście obliczeniowe jest, zdaniem autorów, szczególnie przydatne. Ma to związek z dobrą przewodnością cieplną stali, dzięki której można uzasadnić założenie o wy-równanym rozkładzie temperatury zarówno w przekrojach poprzecznych stalowych elementów konstrukcyjnych, jak i na całej długości tych elementów. Istnieją różne sposoby wyznaczania temperatury krytycznej ramy stalowej. Powinny one uwzględniać możliwe sposoby jej zniszczenia. W takim ujęciu byłaby to zatem na przykład mniejsza z dwóch war-tości temperatury, z których pierwszą zidentyfikowano dla zniszczenia przez globalną utratę stateczności ramy, drugą natomiast dla wyczerpania nośności plastycznej jej najsłab-szego elementu. Ważne, że ustalona w ten sposób wartość poszukiwanej temperatury nie będzie zależeć od przebiegu rozwoju pożaru. Od tego przebiegu zależy bowiem jedynie czas, po którym zostanie ona osiągnięta w reprezentatywnym dla całej ramy elemencie konstrukcyjnym. Celem niniej-szych rozważań jest prezentacja sposobu określania drugiej z przytoczonych powyżej wartości temperatury, to znaczy tej kojarzonej ze zniszczeniem typu plastycznego. Do jej wyzna-czenia autorzy rekomendują wykorzystanie uogólnionego na sytuację pożaru formalizmu klasycznej teorii nośności granicznej. W prostych przypadkach tego typu podejście sprowadza się do rozważania możliwych i kinematycznie do-puszczalnych mechanizmów plastycznego zniszczenia ramy [2-3] lub ewentualnie do przeprowadzenia metodą częściowo graficzną redystrybucji momentów zginających w elementach ustroju nośnego, takiej aby wyrównać te momenty w prze-krojach, w których mają powstać przeguby plastyczne [4-5].

determine their resultant stress or strain states. Furthermore, it is impossible with this method to identify, and, by extension, to estimate, the significance levels of certain effects specific to the heated frame, which require a global analysis of the frame to become evident. Take, for instance, the substantial tensile force in the beams of the frame under consideration created by their substantial deflection, which is very dangerous to the stability of steel-frame columns. The value of such a force de-pends mainly on the susceptibility of the columns that restrict these beams, with this susceptibility depending mainly on the geometry of the whole frame, its statical scheme, and on how it is loaded. For this reason, the aim is to measure the fire resistance specified for the tested frame based on a quantity assigned unambiguously to such a frame, and that, to some degree, determines the characteristics of the frame unaffected by any additional factors or circumstances. It should be noted that if this is to be measured as the time for which a struc-ture potentially exposed to fire is capable of ensuring the safe transfer of loads applied to it, together with the thermally in-duced and temporally variable internal-force field, the meas-ure, then, will depend on the characteristics of the fire under analysis. A change in the heating intensity, or in the maxi-mum temperature of exhaust gases reached in the fire zone of which the analysed frame is part, will also mean a change in the estimated resistance. The authors of this article claim that the critical temperature estimated for the frame struc-ture as a whole is a more universal measure in this case. Such a temperature is defined as the temperature relative to the fire resistance limit state reached by the tested frame, defined for a specific member that is representative of this frame, and unambiguously linked with the temperature values reached over the same time in its other members [1]. It is not always possible to determine such a temperature, especially for rein-forced-concrete frames. Notably, however, the authors of this article believe that such a computational approach is particu-larly useful for steel structures. This is due to the high ther-mal conduction of steel, which can explain the assumption involving the equal distribution of temperature in both the cross-sections and over the whole length of steel members. The critical temperature of a steel frame can be determined in a number of ways. These should consider the potential ways in which the frame might fail. Defined as such, this would be, for instance, the lesser of two temperature values, where the former is identified for frame failure as a result of the whole frame’s losing stability and the latter is identified for the loss of the plastic resistance of the frame’s weakest member. What is important is that the temperature so determined will not depend on how the fire develops. What will depend on how the fire develops is only the time after which such the tem-perature is reached in a member that is representative of the whole frame. This article aims to demonstrate a method of de-termining the latter of the two temperature values mentioned above, i.e. the one involving plastic failure. The authors of this article recommend that the formalism of the classical plas-tic limit load theory, generalised for a fire situation, be used to determine such the temperature. In simple cases, such an approach involves considering the possible and kinematically admissible mechanisms of the plastic failure of the frame [2-3] or, possibly, determining, through a semi-graphic approach, the bending moment redistribution in the load bearing struc-tural members such that it balances these moments in the cross-sections in which plastic hinges are to form [4-5]. The computational approaches mentioned above lead only to an approximate estimation of the plastic limit load of the frame from the top in the former case, i.e. from the dangerous side (meaning “overly optimistic”), and from the bottom in the latter case, i.e. meaning from the “underestimated” side. An overestimated load limit of the load bearing structure must be

102

BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. 99–120 BADANIA I ROZWÓJ

DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8

Przytoczone powyżej podejścia obliczeniowe prowadzą do uzyskania jedynie przybliżonego oszacowania nośności gra-nicznej ramy, odpowiednio w pierwszym przypadku od góry, czyli od strony niebezpiecznej (w rozumieniu „nadmiernie optymistycznej”), w drugim natomiast od dołu, co ozna-cza „niedoszacowanej”. Przeszacowanej nośności granicznej ustroju nośnego towarzyszyć musi nadmiernie restrykcyjne oszacowanie jego temperatury krytycznej, zaś nośność nie-doszacowana oznacza zawsze wyznaczenie temperatury kry-tycznej na poziomie zbyt ryzykownym. Zawsze jednak będą to oszacowania bardziej wiarygodne od tych, które uzyskuje się metodami przybliżonymi, po analizie jedynie pojedyn-czych elementów konstrukcyjnych. W ogólnym przypadku, przy bardziej złożonych układach konstrukcyjnych, wykorzy-stanie zaproponowanych algorytmów może być trudne lub co najmniej uciążliwe. Z tego względu w prezentowanej pracy autorzy starają się przybliżyć czytelnikowi podejście bardziej uniwersalne, oparte na formalizmie programowania liniowe-go. Może ono wydawać się żmudne i pracochłonne w odnie-sieniu do prostych przypadków obliczeniowych. Jego zalety stają się jednak bardziej dostrzegalne w obliczeniach z dużą liczbą zmiennych, w których liczba możliwych przypadków jest trudniejsza do identyfikacji.

2. Ograniczenia w stosowaniu metody

Jak zaznaczono powyżej oszacowania temperatury kry-tycznej ramy stalowej uzyskane dzięki zastosowaniu forma-lizmu programowania liniowego będą miarodajne jedynie przy realizacji plastycznego mechanizmu zniszczenia ustroju nośnego. Mechanizm taki jest reprezentatywny dla ram wy-konanych z kształtowników stosunkowo krępych, niepodat-nych na globalną ani też na lokalną utratę stateczności. Ściślej mówiąc, przyjęte przekroje rygli i słupów oraz ich smukłości powinny umożliwić bezpieczne przenoszenie obciążeń w wa-runkach ekspozycji ogniowej aż do uplastycznienia najsłab-szego z punktu widzenia pracy statycznej elementu nośnego. Mechanizm plastycznego zniszczenia ramy zostanie uzyska-ny wtedy, gdy będzie ona efektywnie stężona przez cały czas oddziaływania pożaru. W ogólnym przypadku wyliczona w ten sposób krytyczna temperatura ramy może stanowić je-dynie jedno z oszacowań, które wspólnie z oszacowaniami ko-jarzonymi z innymi możliwymi mechanizmami zniszczenia w pożarze (na przykład zniszczeniem typu czysto sprężyste-go), pozwoli na wiarygodną ocenę odporności ogniowej roz-patrywanego ustroju.

W rozważaniach przytoczonych poniżej zakłada się, że temperatura poszczególnych elementów stalowych narasta wraz z rozwojem pożaru proporcjonalnie do jednego usta-lonego parametru, wspólnego dla wszystkich części badanej ramy. Dzieje się tak faktycznie jedynie w przypadku, gdy słupy i rygle tej ramy wykonano z tej samej stali oraz z ele-mentów o takim samym przekroju poprzecznym (zarówno w odniesieniu do jego kształtu, jak i rozmiaru). Na ogół jed-nak przekroje i smukłość słupów różnią się od tych odnie-sionych do rygli rozpatrywanej ramy. Różne mogą być rów-nież sposoby ich ekspozycji ogniowej (dla słupów zwykle miarodajne jest nagrzewanie na całym obwodzie przekroju poprzecznego, podczas gdy pasy górne rygli bywają osłonięte przed ogniem przez opierającą się na nich masywną żelbe-tową płytę stropową). Z powyższego wynika, że temperatura w tych elementach narasta wraz z rozwojem pożaru z reguły w odmienny sposób. Jeżeli jednak przyjąć, że miarodajnym scenariuszem pożaru w strefie pożarowej, do której należy rozpatrywana rama nośna, jest pożar w pełni rozwinięty, to temperatura gazów spalinowych będzie narastać, ale w danej chwili pożaru będzie wyrównana w całej strefie. Przy szaco-waniu temperatury krytycznej ramy przyjmuje się, że jej

ele-accompanied by an overly restrictive estimation of its critical temperature, whereas an underestimated load bearing capac-ity always means that the critical temperature is determined on an excessively high-risk level. However, these estimations will always be more reliable than those made using approxi-mate approaches following an analysis of members on an in-dividual basis only. In a general case involving more complex structures, the use of the proposed algorithms can be difficult or at least burdensome. Accordingly, the authors of this article attempt to describe a more universal approach based on the formalism of linear programming. As arduous and laborious an approach this might seem compared to simple design situ- ations, its advantages become more clear in computations involving a large number of variables, where the number of possible cases is more difficult to identify.

2. Restrictions in the application

As noted above, the critical temperatures values of a steel frame estimated using the formalism of linear programming will be more reliable only if the plastic mechanism of load bearing structure failure takes place. Such a mechanism is representative of frames made of relatively stocky sections that are not susceptible to global and local loss of stability. More specifically, the assumed cross-sections of beams and columns, and their slenderness ratios, should allow the safe transmission of loads when exposed to fire until the load bearing members that are the weakest in terms of static per-formance are plasticised. The mechanism of the plastic failure of the frame can be achieved when the frame is effectively braced throughout the fire exposure time. In the general case, the critical temperature of the frame so calculated might only be one of a number of estimations that, together with estima-tions associated with other possible mechanisms of fire-relat-ed failure (for instance, a purely elastic failure), could facili-tate a reliable assessment of the fire resistance of the structure under consideration.

The discussion below assumes that the temperature of individual steel members increases with the development of a fire proportionately to a single specific parameter that is common to all parts of the tested frame. This is actually the case only when the beams and columns of this frame are made of the same steel and of members with the same cross-section (in relation to both the shape and the size). Generally, howev-er, the cross-sections and slenderness ratios of columns differ from those relating to the beams of the frame under consider-ation. The ways in which they are exposed to fire can differ as well (for columns, the exposure of the whole cross-sectional perimeter is usually representative, whereas the top flanges of beams sometimes have a fire barrier in the form of a massive reinforced-concrete floor slab). This means that the temper-ature in these members usually increases with the develop-ment of a fire in a different manner. If, however, a fully devel-oped fire is assumed to be a representative fire scenario for the fire zone of which the load bearing frame under consideration is part, then the temperature of exhaust gases will increase, but at any given moment of the fire it will be equal for the whole zone. To estimate the critical temperature of the frame, it is assumed that its members are in no way isolated from direct fire exposure. In such conditions the differences in the beams’ and columns’ temperature values determined through detailed computations will thus be negligible, which renders the previously made assumption about the proportionate in-crease in the temperature of frame members fully admissible. The classical algorithm for the assessment of the plastic limit load of the frame is based on the identification of all possible and kinematically admissible movement mecha-nisms for the frame, followed by the determination, for each

103

RESEARCH AND DEVELOPMENT Please cite as: BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. 99–120

DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8 ИССЛЕДОВАНИЯ И РАЗВИТИЕ

menty nie są w żaden sposób izolowane przed bezpośrednią ekspozycją ogniową. Różnice w wyznaczonych ze szczegóło-wych obliczeń wartościach temperatury rygli i słupów będą zatem w takich warunkach zaniedbywalne, co czyni przyjęte wcześniej założenie o proporcjonalnym wzroście temperatu-ry elementów ramy w pełni akceptowalnym.

Klasyczny algorytm oceny nośności granicznej ramy opiera się na identyfikacji dla tej ramy wszystkich możliwych i kinematycznie dopuszczalnych mechanizmów ruchu, a na-stępnie na wyznaczeniu dla każdego z tych mechanizmów granicznego obciążenia, którego przyłożenie do badanej konstrukcji skutkuje jego uaktywnieniem. Najmniejsze z tak wyznaczonych obciążeń interpretuje się jako obciążenie de-terminujące nośność ustroju, a skojarzony z nim mechanizm ruchu jako mechanizm krytyczny. Podstawą do szczegóło-wych obliczeń jest w tym przypadku wielokrotne stosowanie zasady prac wirtualnych. Należy jednak zwrócić uwagę, że w równaniach konstytuujących tę zasadę jedynym parame-trem zależnym od zaprojektowanych wcześniej przekrojów poprzecznych słupów i rygli badanej ramy jest plastyczna nośność tych przekrojów na czyste zginanie, czyli M pl. Stąd

wniosek, że nośność graniczna analizowanej ramy nie zale-ży od pola sił wewnętrznych indukowanych w konstrukcji w warunkach pożaru na skutek skrępowania swobodnej reali-zacji generowanych termicznie odkształceń. Nie zależy zatem także od historii, czyli zrealizowanego programu obciążenia ramy. Uogólnienie powyższego podejścia na przypadek bez-pośredniej ekspozycji ogniowej ustroju nośnego sprowadza się do założenia ustalonego poziomu obciążeń zewnętrznych, skutkującego określonym stanem deformacji ramy, a następ-nie do poddania go monotonicznemu ogrzewaniu aż do wy-czerpania nośności. W takim ujęciu oszacowana odporność ogniowa rozpatrywanej ramy specyfikowana poprzez ziden-tyfikowaną dla tej ramy temperaturę krytyczną nie będzie zależała od sposobu jej ogrzewania. Będzie taka sama, jeśli wyznaczy się ją w odniesieniu do sytuacji, gdy pożar począt-kowo rozwijał się powoli, po czym jego rozwój uległ znacz-nemu przyspieszeniu oraz w relacji do alternatywnego sce-nariusza, gdy pożar na początku rozwijał się bardzo szybko, aby w końcu tempo jego wzrostu uległo spowolnieniu, jeżeli tylko na skutek zadziałania obydwu porównywanych ze sobą scenariuszy gazy spalinowe w strefie pożarowej osiągnęły w miarodajnej do oceny chwili tę samą wartość temperatury.

3. Podstawowe założenia metody

Zgodnie z zasadami programowania liniowego zarów-no sama funkcja celu, jak i wszystkie zdefiniowane dla niej ograniczenia, muszą zostać wyrażone przez odpowiednie równania i nierówności o postaci liniowej [6]. Z tego względu w dalszej analizie dla przypadku pożaru przyjęto uogólnie-nie klasycznego algorytmu obliczeniowego opartego na roz-ważaniu kolejnych potencjalnie możliwych i kinematycznie dopuszczalnych mechanizmów ruchu ustroju nośnego. Mogą to być zarówno mechanizmy typu globalnego, jak i lokalnego. Mechanizmy te uaktywniają się w badanej ramie po powsta-niu w składających się na nią elementach odpowiedniej liczby odpowiednio zlokalizowanych przegubów plastycznych, jeśli tylko zaistnieją warunki do uruchomienia sekwencji nieskrę-powanych obrotów w tych przegubach, takich że kierunki poszczególnych obrotów będą ze sobą odpowiednio skorelo-wane i nie będą się wzajemnie wygaszać. Realizacja w warun-kach pożaru któregokolwiek z takich mechanizmów oznaczać będzie osiągnięcie przez ustrój stanu granicznego nośności ogniowej skojarzonego z poszukiwaną dla całej konstrukcji temperaturą krytyczną. Podstawowa idea zadania rozwiązy-wanego w niniejszej pracy stanowi sekwencję następujących stwierdzeń [7]:

of these mechanisms, of the plastic limit load which, if ap-plied to the tested structure, triggers the mechanism. The smallest of loads so determined is interpreted as the load that determines the structural load bearing capacity, with the re-lated movement mechanism being interpreted as the critical mechanism. The basis for detailed computations in this case is the multiple application of the virtual performances prin-ciple. It should be noted, however, that the only parameter that depends on the pre-designed cross-sections of columns and beams in the constitutive equations of this principle is the plastic resistance of these cross-sections to pure bending, i.e.

M pl . By extension, the plastic limit load of the analysed frame

does not depend on the field of internal forces induced in the structure when exposed to fire as a result of restricting the free realisation of thermally generated deformations. Hence, it also does not depend on the history, i.e. the realised frame load programme. The generalisation of this approach for the purposes of the load bearing-structure direct fire exposure event involves assuming a specific level of external loads re-sulting in a specific state of frame deformation, followed by subjecting the structure to monotonic heating until it loses its load-bearing capacity. Estimated as such, the fire resistance of the frame under consideration, specified through the critical temperature identified for this frame, will not depend on how the frame is heated. The fire resistance will be the same if it is determined relative to the situation where the fire is develop-ing slowly at the start and much faster later, and relative to the alternative scenario, where the fire is developing rapidly at the start to ultimately slow down, provided only that both com-parable scenarios have caused the exhaust gases in the fire zone to reach the same temperature at a representative time.

3. The basic assumptions of the method

According to linear-programming principles, both the objective function and all the constraints defined for it must be expressed by corresponding linear equations and inequal-ities [6]. Consequently, further analysis makes a generalisa-tion, for the purposes of a fire event, of a classical algorithm based on the consideration of the consecutive possible and kinematically admissible movement mechanisms of a load bearing structure. These mechanisms can be of both the glob-al and the locglob-al types. These mechanisms are triggered in the analysed frame after a sufficient number of appropriately lo-cated plastic hinges form in its constituent components, pro-vided that there are conditions to trigger a sequence of free rotations in these hinges, such that the directions of individu-al rotations are properly correlated and do not neutrindividu-alise each other. The occurrence of any such mechanisms in a fire situ-ation will lead the structure to reach its fire resistance limit state associated with the critical temperature sought for the whole structure. The underlying idea of the problem solved in this article is a sequence of the following propositions [7]:

• for the analysed possible and kinematically admissible movement mechanism, the number K and location of each of k = 1,..., K plastic hinges of this mechanism is known,

• the considered movement mechanism will occur only when a plastic hinge will form in each of K previously identified cross-sections, i.e. when:

(1)

(the lower index Θ here means interrelation with the steel temperature),

BADANIA I ROZWÓJ BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. XX-XX

DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x

smallest of loads so determined is interpreted as the load that determines the structural load bearing capacity, with the related movement mechanism being interpreted as the critical mechanism. The basis for detailed computations in this case is the multiple application of the virtual performances principle. It should be noted, however, that the only parameter that depends on the pre-designed cross-sections of posts and beams in the constitutive equations of this principle is the plastic resistance of these cross-sections to pure bending, i.e. M_pl. By extension, the plastic limit load of the analysed frame does not depend on the field of internal forces induced in the structure when exposed to fire as a result of restricting the free realisation of thermally generated deformations. Hence, it also does not depend on the history, i.e. the realised frame load programme. The generalisation of this approach for the purposes of the load bearing-structure direct fire exposure event involves assuming a specific level of external loads resulting in a specific state of frame deformation, followed by subjecting the structure to monotonic heating until it loses its load-bearing capacity. Estimated as such, the fire resistance of the frame under consideration, specified through the critical temperature identified for this frame, will not depend on how the frame is heated. The fire resistance will be the same if it is determined relative to the situation where the fire is developing slowly at the start and much faster later, and relative to the alternative scenario, where the fire is developing rapidly at the start to ultimately slow down, provided only that both comparable scenarios have caused the exhaust gases in the fire zone to reach the same temperature at a representative time.

3. The basic assumptions of the method

According to linear-programming principles, both the goal function and all the constraints defined for it must be expressed by corresponding linear equations and inequalities [6]. Consequently, further analysis makes a generalisation, for the purposes of a fire event, of a classical algorithm based on the consideration of the consecutive possible and kinematically admissible movement mechanisms of a load bearing structure. These mechanisms can be of both the global and the local types. These mechanisms are triggered in the analysed frame after a sufficient number of appropriately located plastic hinges form in its constituent components, provided that there are conditions to trigger a sequence of free rotations in these hinges, such that the directions of individual rotations are properly correlated and do not neutralise each other. The occurrence of any such mechanisms in a fire situation will lead the structure to reach its fire endurance limit state associated with the critical temperature sought for the whole structure. The underlying idea of the problem solved in this article is a sequence of the following propositions [7]:

 for the analysed possible and kinematically admissible movement mechanism, the number K and location of each of k1,...,K plastic hinges of this mechanism is known,  the considered movement mechanism will occur only when a plastic hinge will form in

each of K previously identified cross-sections, i.e. when:

 , ,..., 1 K M_k,Θ M_pl k   (1)

(the lower index  here means interrelation with the steel temperature),

 according to the classical static approach of the plastic limit load theory, the load bearing capacity of the considered frame will not be reached as long as it is possible to conceive of such a statically admissible and self-equilibrated system of reactions – generating an appropriate distribution of residual moments summed up with the bending moments induced by other loads – that will ensure the safe performance of the whole structure after the redistribution of all bending moments has been factored in.

104

BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. 99–120 BADANIA I ROZWÓJ

DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8

• dla wybranego do analizy potencjalnie możliwego do re-alizacji i kinematycznie dopuszczalnego mechanizmu ru-chu znana jest liczba K i lokalizacja każdego z k = 1,..., K przegubów plastycznych formujących ten mechanizm, • rozważany mechanizm ruchu zostanie zrealizowany tylko

wtedy, gdy w każdym z K wyróżnionych wcześniej prze-krojów powstanie przegub plastyczny, czyli gdy:

(1) (dolny indeks Θ oznacza tu zależność od temperatury stali), • zgodnie z klasycznym podejściem statycznym teorii no-śności granicznej nośność rozpatrywanej ramy nie zonie osiągnięta tak długo dopóki można wymyślić taki sta-tycznie dopuszczalny i samozrównoważony układ reakcji, generujący odpowiedni rozkład momentów rezydualnych sumowanych z momentami zginającymi pochodzącymi od pozostałych obciążeń, który po uwzględnieniu redys-trybucji wszystkich momentów zginających zapewni bez-pieczną pracę całej konstrukcji,

• można zatem poszukiwać maksymalnej wartości tempe-ratury Θ, rozumianej w tym zadaniu jako funkcja celu, która przy określonych ograniczeniach wynikających zarówno z warunków równowagi, jak i z warunków pla-styczności pozwoli na niespełnienie warunku (1),

• zadanie sformułowane powyżej jest typowym zadaniem rozwiązywanym metodami programowania liniowego.

4. Liniowe warunki równowagi

Do specyfikacji liniowych warunków równowagi w ni-niejszej pracy wykorzystano równania kanoniczne metody sił. Rozważmy dla przykładu statycznie niewyznaczalną ramę pokazaną na ryc. 1. W ustroju tym kolejne niewiadome hi-perstatyczne oznaczono symbolami X j przy czym j = 1,..., m

(w przykładzie m = 12). Ponadto poszczególnym obciążeniom przyłożonym do ramy przypisano symbole P_i , gdzie i = 1,...11. Należy zauważyć, że obciążenia Pi to nie tylko zewnętrzne

ob-ciążenia mechaniczne, skupione lub rozłożone na określonej długości elementów ramy, ale również obciążenia wewnętrz-ne gewewnętrz-nerowawewnętrz-ne na skutek skrępowania swobody odkształceń termicznych. W analizowanym przykładzie założono, że pożar rozgorzał jedynie na dolnej kondygnacji badanej ramy i nie przedostał się przez strop i ściany na jej górne piętro. Tempe-ratura gazów spalinowych narasta zatem monotonicznie tylko na tym poziomie budynku. Ponieważ rozważany pożar wsku-tek rozgorzenia osiągnął fazę pożaru rozwiniętego, tempera-tura ta jest w każdej chwili pożaru wyrównana na całej kon-dygnacji opanowanej przez ogień, rozumianej w takim ujęciu jako jedna strefa pożarowa. Narastanie temperatury gazów spalinowych w tej strefie skutkuje równoczesnym narastaniem temperatury dolnych słupów i rygli ramy, co na ryc. 1 przy tych elementach zaznaczono symbolem Θ. Temperatura stali w każdym z nagrzewanych elementów konstrukcyjnych jest w danej chwili pożaru taka sama ze względu na wcześniejsze założenie o zastosowaniu do nich kształtowników stalowych o jednakowych przekrojach poprzecznych. Można zatem tem-peraturę Θ potraktować jako kolejne obciążenie, przyjmując, że dla i = 11 zachodzi P_i = Θ. Mamy zatem do czynienia z sytu-acją, gdy w czasie ekspozycji ogniowej wartości obciążeń Pi dla i = 1,...10 pozostają na stałym poziomie i nie zależą od

tempe-ratury Θ. Wzrasta jedynie wartość obciążenia P₁₁ = P_{11, Θ}. Z formalizmu metody sił wynika, że:

(2)

• according to the classical static approach of the plastic limit load theory, the load bearing capacity of the consi-dered frame will not be reached as long as it is possible to conceive of such a statically admissible and self-equilibra-ted system of reactions – generating an appropriate distri-bution of residual moments summed up with the bending moments induced by other loads – that will ensure the safe performance of the whole structure after the redistri-bution of all bending moments has been factored in. • the aim, therefore, might be to look for the maximum

temperature value Θ, defined here as the goal function that, under specific constraints attributable to both the equilibrium and yield conditions, will facilitate the con-dition’s (1) not being satisfied.

• the problem defined above is a typical problem solvable with linear-programming methods.

4. Linear equilibrium conditions

In this article the canonical equations of the force me-thod are used to specify the linear equilibrium conditions. Consider as an example a statically indeterminate frame as shown in Figure 1. In this structure, individual hyperstatic unknows are marked with the X j symbols, with j = 1,..., m

(the example shows m = 12 ). Also, individual loads applied to the frame are assigned the P_i symbols, where i = 1,...11. It

should be noted that the P_i loads are not only external loads,

concentrated or distributed along a specific length of the fra-me fra-members, but also internal loads induced by constraints on free thermal deformations. The analysed example assumes that the fire involved only the lower floor of the analysed fra-me without penetrating to its upper floor through the floor slab and walls. The exhaust gas temperature, then, increases monotonically only at this level of the building. Since the considered fire flashed over to become a fully developed fire, this temperature is equal for the whole floor which is on fire, defined here as the only fire zone, at any given moment of the fire. The rising exhaust gas temperature in this zone cau-ses a simultaneous increase in the temperature of the lower frame columns and beams, as marked for these members in Figure 1 with the Θ symbol. The steel temperature in each of the heated members is the same at any given moment of the fire because of the assumption that these members are made of steel sections with the same cross-section. The Θ tempera-ture, then, can be considered as another load, assuming that for i = 11 there is Pi = Θ. Therefore, this is a situation where

the load values of Pi for i = 1,...10 remain at a constant level

and are independent of the temperature when exposed to fire. The only value that increases is the load P₁₁ = P₁₁, Θ.

It follows from the formalism of the forces method that: (2) where б kj are displacements of a statically determinate

basic system, as specified in point k, induced by hyperstatic forces with the values of xj = 1 , and ∆ki Θare corresponding

displacements of the same basic system induced by the load

Pi (or Pi,Θ). The equation (2) is often used to prove that the

principle of the superposition of the bending moment is true. Consequently, the value of the bending moment in point k of the analysed frame is determined by the equation:

(3)

BADANIA I ROZWÓJ BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. XX-XX

DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x

smallest of loads so determined is interpreted as the load that determines the structural load bearing capacity, with the related movement mechanism being interpreted as the critical mechanism. The basis for detailed computations in this case is the multiple application of the virtual performances principle. It should be noted, however, that the only parameter that depends on the pre-designed cross-sections of posts and beams in the constitutive equations of this principle is the plastic resistance of these cross-sections to pure bending, i.e. M_pl. By extension, the plastic limit load of the analysed frame does not depend on the field of internal forces induced in the structure when exposed to fire as a result of restricting the free realisation of thermally generated deformations. Hence, it also does not depend on the history, i.e. the realised frame load programme. The generalisation of this approach for the purposes of the load bearing-structure direct fire exposure event involves assuming a specific level of external loads resulting in a specific state of frame deformation, followed by subjecting the structure to monotonic heating until it loses its load-bearing capacity. Estimated as such, the fire resistance of the frame under consideration, specified through the critical temperature identified for this frame, will not depend on how the frame is heated. The fire resistance will be the same if it is determined relative to the situation where the fire is developing slowly at the start and much faster later, and relative to the alternative scenario, where the fire is developing rapidly at the start to ultimately slow down, provided only that both comparable scenarios have caused the exhaust gases in the fire zone to reach the same temperature at a representative time.

3. The basic assumptions of the method

According to linear-programming principles, both the goal function and all the constraints defined for it must be expressed by corresponding linear equations and inequalities [6]. Consequently, further analysis makes a generalisation, for the purposes of a fire event, of a classical algorithm based on the consideration of the consecutive possible and kinematically admissible movement mechanisms of a load bearing structure. These mechanisms can be of both the global and the local types. These mechanisms are triggered in the analysed frame after a sufficient number of appropriately located plastic hinges form in its constituent components, provided that there are conditions to trigger a sequence of free rotations in these hinges, such that the directions of individual rotations are properly correlated and do not neutralise each other. The occurrence of any such mechanisms in a fire situation will lead the structure to reach its fire endurance limit state associated with the critical temperature sought for the whole structure. The underlying idea of the problem solved in this article is a sequence of the following propositions [7]:

 for the analysed possible and kinematically admissible movement mechanism, the number K and location of each of k1,...,K plastic hinges of this mechanism is known,  the considered movement mechanism will occur only when a plastic hinge will form in

each of K previously identified cross-sections, i.e. when:

 , ,..., 1 K Mk,Θ Mpl k   (1)

(the lower index  here means interrelation with the steel temperature),

 according to the classical static approach of the plastic limit load theory, the load bearing capacity of the considered frame will not be reached as long as it is possible to conceive of such a statically admissible and self-equilibrated system of reactions – generating an appropriate distribution of residual moments summed up with the bending moments induced by other loads – that will ensure the safe performance of the whole structure after the redistribution of all bending moments has been factored in.

BADANIA I ROZWÓJ BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. XX-XX

DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x

Ryc. 1 Przykładowa rama z zaznaczonymi siłami hiperstatycznymi i obciążeniami

zewnętrznymi.

Fig. 1. Sample frame with marked hyperstatic forces and external loads

Źródło: Rysunek na podstawie pracy [8] uzupełniono o obciążenie termiczne wynikające z

nagrzania wyróżnionych elementów konstrukcji.

Source: Figure based on [8] supplemented by the thermal load due to the heating of selected

structural members.

It follows from the formalism of the method of forces that:

0

1 ,



,







 m j



kj

x

j i



ki

(2)

where



kj

are displacements of a statically determinate basic system, as specified in point

k

induced by hyperstatic forces with the values of

x

_j



1

, and



ki,

are corresponding

displacements of the same basic system induced by the load

P (or

i

P ). The (2)

,i

interrelation is often used to prove that the principle of the superposition of the bending

moment is true. Consequently, the value of the bending moment in point

k of the analysed

frame is determined by the equation:

i m j i p ki j kj k

m

x

m

P

M











1 , , 

(3)

where

m is the bending moment defined in point k of the statically determinate basic

_kj

system of this frame and induced by the hyperstatic force

x

_j



1

, and

m is the

_kip

corresponding bending moment that is also interrelated with the statically determinate basic

system of the considered frame, except that it is induced by the load

P

_i



1

. It is

self-BADANIA I ROZWÓJ BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. XX-XX

DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x

Ryc. 1 Przykładowa rama z zaznaczonymi siłami hiperstatycznymi i obciążeniami

zewnętrznymi.

Fig. 1. Sample frame with marked hyperstatic forces and external loads

Źródło: Rysunek na podstawie pracy [8] uzupełniono o obciążenie termiczne wynikające z

nagrzania wyróżnionych elementów konstrukcji.

Source: Figure based on [8] supplemented by the thermal load due to the heating of selected

structural members.

It follows from the formalism of the method of forces that:

0

1 , ,









 m j



kj

x

j i



ki

(2)

where



_kj

are displacements of a statically determinate basic system, as specified in point

k

induced by hyperstatic forces with the values of

x

_j



1

, and



_ki,

are corresponding

displacements of the same basic system induced by the load

P (or

_i

P ). The (2)

,i

interrelation is often used to prove that the principle of the superposition of the bending

moment is true. Consequently, the value of the bending moment in point

k of the analysed

frame is determined by the equation:

i m j i p ki j kj k

m

x

m

P

M











1 , , 

(3)

where

m is the bending moment defined in point k of the statically determinate basic

_kj

system of this frame and induced by the hyperstatic force

x

_j



1

, and

m is the

_kip

corresponding bending moment that is also interrelated with the statically determinate basic

system of the considered frame, except that it is induced by the load

P

_i



1

. It is

self-BADANIA I ROZWÓJ BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. XX-XX

DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x

Ryc. 1 Przykładowa rama z zaznaczonymi siłami hiperstatycznymi i obciążeniami

zewnętrznymi.

Fig. 1. Sample frame with marked hyperstatic forces and external loads

Źródło: Rysunek na podstawie pracy [8] uzupełniono o obciążenie termiczne wynikające z

nagrzania wyróżnionych elementów konstrukcji.

Source: Figure based on [8] supplemented by the thermal load due to the heating of selected

structural members.

It follows from the formalism of the method of forces that:

0

1 ,



,







 m j



kj

x

j i



ki (2)

where

 are displacements of a statically determinate basic system, as specified in point

_kj

k

induced by hyperstatic forces with the values of

x

_j



1

, and



ki,

are corresponding

displacements of the same basic system induced by the load

P (or

_i

P

,i

). The (2)

interrelation is often used to prove that the principle of the superposition of the bending

moment is true. Consequently, the value of the bending moment in point

k

of the analysed

frame is determined by the equation:

i m j i p ki j kj k

m

x

m

P

M











1 , , 

(3)

where

m

_kj

is the bending moment defined in point

k

of the statically determinate basic

system of this frame and induced by the hyperstatic force

x

_j



1

, and

m

_kip

is the

corresponding bending moment that is also interrelated with the statically determinate basic

system of the considered frame, except that it is induced by the load

P

_i



1

. It is