Teoria potencjaªu dla uªamkowych pot¦g operatora Laplace'a

55  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Teoria potencjaªu dla uªamkowych pot¦g operatora Laplace'a

Mateusz Kwa±nicki Skªad rozprawy doktorskiej:

[1] Estimates and structure of α-harmonic functions (praca z K. Bogdanem i T. Kulczyckim, Prob. Theory Rel. Fields 2008) [2] Spectral gap estimate for stable processes on arbitrary

bounded open sets (Probab. Math. Statist. 2008)

[3] Eigenvalues of the Cauchy process on an interval have at most double multiplicity (praca wysªana do redakcji)

[4] Intrinsic ultracontractivity for stable semigroups on unbounded open sets (praca wysªana do redakcji)

(2)

Izotropowe procesy stabilne

Denicja

Izotropowym procesem α-stabilnym nazywamy proces Lévy'ego X (t) w Rd i funkcji charakterystycznej exp(−t|x|α), α ∈ (0, 2].

generator innitezymalny: ∆α/2 (±ci±lej: −(−∆)α/2) dla α = 2  ruch Browna

dla α ∈ (0, 2)  proces skokowy

(3)

Oznaczenia

Je±li nie jest powiedziane inaczej, to:

α ∈ (0, 2)

d ∈ {1, 2, 3, ...}  wymiar D ⊆ Rd  otwarty

Xt  izotropowy proces α-stabilny w Rd βt  ruch Browna w Rd

Px  rozkªad prawd. procesu startuj¡cego z x ∈ Rd Ex  warto±¢ oczekiwana wzgl¦dem Px

(4)

τD =inf {t ≥ 0 : Xt ∈/D}

dla α = 2  β(τD) ∈ ∂D dla α < 2  X (τD) ∈Rd \D

τD

D,X (τD))

(5)

Funkcje α-harmoniczne

x U D

Denicja Funkcj¦ f : D

Rd

→ [0, ∞) nazywamy

α-

harmoniczn¡ w D, je±li

∆f (x) = 0 , gdy x ∈ D.

A b B oznacza, »e A jest zwarty i A ⊆ B f musi by¢ okre±lona na caªym Rd regularna α-harmoniczno±¢ wi¡»e si¦ z ci¡gªo±ci¡ na brzegu

(6)

Funkcje α-harmoniczne

x U D Denicja

Funkcj¦ f : D

R

→ [0, ∞) nazywamy

-

harmoniczn¡ w D, je±li f (x) =Z

B(x,r)f (y)σ(dy) , gdy x ∈ D, B(x, r) ⊆ D.

A b B oznacza, »e A jest zwarty i A ⊆ B f musi by¢ okre±lona na caªym Rd regularna α-harmoniczno±¢ wi¡»e si¦ z ci¡gªo±ci¡ na brzegu

(7)

Funkcje α-harmoniczne

x U D Denicja

Funkcj¦ f : D

Rd

→ [0, ∞) nazywamy

α-

harmoniczn¡ w D, je±li f (x) = Exf (β(τU)) , gdy U = B(x, r);

gdzie βt  ruch Browna.

A b B oznacza, »e A jest zwarty i A ⊆ B f musi by¢ okre±lona na caªym Rd regularna α-harmoniczno±¢ wi¡»e si¦ z ci¡gªo±ci¡ na brzegu

(8)

Funkcje α-harmoniczne

x U D Denicja

Funkcj¦ f : D

R

→ [0, ∞) nazywamy

-

harmoniczn¡ w D, je±li f (x) = Exf (β(τU)) , gdy x ∈ U b D;

gdzie βt  ruch Browna.

A b B oznacza, »e A jest zwarty i A ⊆ B

f musi by¢ okre±lona na caªym Rd regularna α-harmoniczno±¢ wi¡»e si¦ z ci¡gªo±ci¡ na brzegu

(9)

Funkcje α-harmoniczne

x U D Denicja

Funkcj¦ f : D

Rd

→ [0, ∞) nazywamy α-harmoniczn¡ w D, je±li f (x) = Exf (X (τU)) , gdy x ∈ U b D;

gdzie Xt  izotropowy proces α-stabilny.

A b B oznacza, »e A jest zwarty i A ⊆ B

f musi by¢ okre±lona na caªym Rd regularna α-harmoniczno±¢ wi¡»e si¦ z ci¡gªo±ci¡ na brzegu

(10)

Funkcje α-harmoniczne

x U D Denicja

Funkcj¦ f : Rd → [0, ∞) nazywamy α-harmoniczn¡ w D, je±li f (x) = Exf (X (τU)) , gdy x ∈ U b D;

gdzie Xt  izotropowy proces α-stabilny.

A b B oznacza, »e A jest zwarty i A ⊆ B f musi by¢ okre±lona na caªym Rd

regularna α-harmoniczno±¢ wi¡»e si¦ z ci¡gªo±ci¡ na brzegu

(11)

Funkcje α-harmoniczne

x U D Denicja

Funkcj¦ f :

D

Rd → [0, ∞) nazywamy α-harmoniczn¡ w D, je±li f (x) = Exf (X (τU)) , gdy x ∈ U b D; ♠ f jest singularnie α-harm. w D, je±li dodatkowo f = 0 na Dc; f jest regularnie α-harm. w D, je±li ♠, gdy x ∈ U ⊆ D.

A b B oznacza, »e A jest zwarty i A ⊆ B f musi by¢ okre±lona na caªym Rd regularna α-harmoniczno±¢ wi¡»e si¦

z ci¡gªo±ci¡ na brzegu

(12)

Brzegowa nierówno±¢ Harnacka

Tw. (K. Bogdan, T. Kulczycki, M. Kwa±nicki; PTRF 2008) Je±li x0 ∈ ∂D, f , g ≥ 0  regularnie α-harmoniczne w D, f = g = 0 na B(x0,2R) \ D, to

f (x)

g(x)≤C f (y)

g(y) dla x, y ∈ D ∩ B(x0,R).

Ponadto lim

x→x0

f (x)

g(x) istnieje.

B(x0,2r) D

B(x0,r) x0 xy

(13)

Brzegowa nierówno±¢ Harnacka

Tw. (K. Bogdan, T. Kulczycki, M. Kwa±nicki; PTRF 2008) Je±li x0 ∈ ∂D, f , g ≥ 0  regularnie α-harmoniczne w D, f = g = 0 na B(x0,2R) \ D, to

f (x)

g(x)≤C f (y)

g(y) dla x, y ∈ D ∩ B(x0,R).

Ponadto lim

x→x0

f (x)

g(x) istnieje.

Historia:

Bogdan (1997)  D Lipschitza, C = C(D) Song, Wu (1999)  D dowolne, C = C(D) Staªa C nie zale»y od D, x0, R

Nie ma »adnych zaªo»e« o regularno±ci ∂D i spójno±ci D Dla α = 2 potrzebne dodatkowe zaªo»enia

(14)

Brzegowa nierówno±¢ Harnacka  pi¦¢ kul

B2

B43 2

B5

4

B1

0x Br =B(0, r), Dr =D ∩ Br

τr = τDr

f (x) = Exf (Xτ5

4)

(15)

Brzegowa nierówno±¢ Harnacka  pi¦¢ kul

B2

B7

4

B3

B25 4

B1

0x Br =B(0, r), Dr =D ∩ Br

τr = τDr

f (x) = Exf (Xτ5

4) f (x) = Exf (Xτ5

4); |Xτ5

4

| ≥ 32 +Exf (Xτ5

4);54 ≤ |Xτ5

4

| < 32

(1)  CExτ5 4

Z

B3/2c

f (z)

|z|d+αdz (2) ≤ Px(|Xτ5

4| ≥ 54)sup

B3/2

f Px(Xτ5

4

54) ≤Exφ(Xτ5

4) =GD5

4α/2φ(x) ≤ CExτ5 4

f (y) ≤ 4Z 2

74

Eyf (Xτs)ds ≤ CZ

B7/4c

f (z)

|z|d+αdz

(16)

Brzegowa nierówno±¢ Harnacka  pi¦¢ kul

B2

4

B3

B25 4

B1

0x Br =B(0, r), Dr =D ∩ Br

τr = τDr

f (x) = Exf (Xτ5

4) f (x) = Exf (Xτ5

4); |Xτ5

4

| ≥ 32 +Exf (Xτ5

4);54 ≤ |Xτ5

4

| < 32 (1)  CExτ5

4

Z

B3/2c

f (z)

|z|d+αdz

(2) ≤ Px(|Xτ5

4| ≥ 54)sup

B3/2

f Px(Xτ5

4

54) ≤Exφ(Xτ5

4) =GD5

4α/2φ(x) ≤ CExτ5 4

f (y) ≤ 4Z 2

74

Eyf (Xτs)ds ≤ CZ

B7/4c

f (z)

|z|d+αdz

(17)

Brzegowa nierówno±¢ Harnacka  pi¦¢ kul

B2

B7

4

B3

B25 4

B1

0x Br =B(0, r), Dr =D ∩ Br

τr = τDr

f (x) = Exf (Xτ5

4) f (x) = Exf (Xτ5

4); |Xτ5

4

| ≥ 32 +Exf (Xτ5

4);54 ≤ |Xτ5

4

| < 32 (1)  CExτ5

4

Z

B3/2c

f (z)

|z|d+αdz (2) ≤ Px(|Xτ5

4| ≥ 54)sup

B3/2

f

Px(Xτ5

4

54) ≤Exφ(Xτ5

4) =GD5

4α/2φ(x) ≤ CExτ5 4

f (y) ≤ 4Z 2

74

Eyf (Xτs)ds ≤ CZ

B7/4c

f (z)

|z|d+αdz

(18)

Brzegowa nierówno±¢ Harnacka  pi¦¢ kul

B2

B43 2

B5 B41

0x Br =B(0, r), Dr =D ∩ Br

τr = τDr

f (x) = Exf (Xτ5

4) f (x) = Exf (Xτ5

4); |Xτ5

4

| ≥ 32 +Exf (Xτ5

4);54 ≤ |Xτ5

4

| < 32 (1)  CExτ5

4

Z

B3/2c

f (z)

|z|d+αdz (2) ≤ Px(|Xτ5

4| ≥ 54)sup

B3/2

f Px(Xτ5

4

54) ≤Exφ(Xτ5

4) =GD5

4α/2φ(x) ≤ CExτ5 4

f (y) ≤ 4Z 2

74

Eyf (Xτs)ds ≤ CZ

B7/4c

f (z)

|z|d+αdz

(19)

Brzegowa nierówno±¢ Harnacka  pi¦¢ kul

B2 B7 B43 2

B5 B41

0x Br =B(0, r), Dr =D ∩ Br

τr = τDr

f (x) = Exf (Xτ5

4) f (x) = Exf (Xτ5

4); |Xτ5

4

| ≥ 32 +Exf (Xτ5

4);54 ≤ |Xτ5

4

| < 32 (1)  CExτ5

4

Z

B3/2c

f (z)

|z|d+αdz (2) ≤ Px(|Xτ5

4| ≥ 54)sup

B3/2

f Px(Xτ5

4

54) ≤Exφ(Xτ5

4) =GD5

4α/2φ(x) ≤ CExτ5 4

f (y) ≤ 4Z 2

74

Eyf (Xτs)ds ≤ CZ

B7/4c

f (z)

|z|d+αdz

(20)

Brzegowa nierówno±¢ Harnacka  pi¦¢ kul

B2 B7 B43

B25

B41

0x Br =B(0, r), Dr =D ∩ Br

τr = τDr

f (x) = Exf (Xτ5

4) f (x) = Exf (Xτ5

4); |Xτ5

4

| ≥ 32 +Exf (Xτ5

4);54 ≤ |Xτ5

4

| < 32

CExτ2 Z

B1c

f (z)

|z|d+αdz

=C A(x) B(f )

f (y)g(x) C(A(y)B(f ))(A(x)B(g)) =C

(21)

Brzegowa nierówno±¢ Harnacka  pi¦¢ kul

B2 B7 B43

B25

B41

0x Br =B(0, r), Dr =D ∩ Br

τr = τDr

f (x) = Exf (Xτ5

4) f (x) = Exf (Xτ5

4); |Xτ5

4

| ≥ 32 +Exf (Xτ5

4);54 ≤ |Xτ5

4

| < 32

CExτ2 Z

B1c

f (z)

|z|d+αdz

=C A(x) B(f )

f (x)g(y)

f (y)g(x) C(A(x)B(f ))(A(y)B(g)) (A(y)B(f ))(A(x)B(g)) =C

(22)

Reprezentacja Martina

Dla x ∈ D, y ∈ ∂D j¡dro Martina:

MD(x, y) = lim

z→y

GD(x, z) GD(x0,z) yz

x D

(23)

Reprezentacja Martina

Dla x ∈ D, y ∈ ∂D j¡dro Martina:

MD(x, y) = lim

z→y

GD(x, z) GD(x0,z) yz

x D

(24)

Reprezentacja Martina

Tw. (K. Bogdan, T. Kulczycki, M. Kwa±nicki; PTRF 2008) MD(x, y) istnieje.

MD(·,y) jest α-harmoniczne ⇐⇒

Z EzτD

|y − z|d+αdz = ∞.

MD(x, y) = lim

z→y

GD(x, z) GD(x0,z)

MD =



y ∈ ∂D : Z EzτD

|y − z|d+αdz = ∞



(25)

Reprezentacja Martina

Tw. (K. Bogdan, T. Kulczycki, M. Kwa±nicki; PTRF 2008) MD(x, y) istnieje.

MD(·,y) jest α-harmoniczne ⇐⇒

Z EzτD

|y − z|d+αdz = ∞.

MD(x, y) = lim

z→y

GD(x, z) GD(x0,z) Brzeg Martina:

MD =



y ∈ ∂D : Z EzτD

|y − z|d+αdz = ∞



(26)

Reprezentacja Martina

MD =



y ∈ ∂D : Z EzτD

|y − z|d+αdz = ∞



Tw. (K. Bogdan, T. Kulczycki, M. Kwa±nicki; PTRF 2008) Dla p : (0, 1) → [0, ∞) rosn¡cej oraz

D = (x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, −p(x) < y < p(x) : 0 ∈ ∂MDf ⇐⇒

Z 1

0

(p(x))α+1

xα+2 dx = ∞ .

Dla p(x) = x| log x|q: 0 ∈ ∂MD ⇐⇒ q ≤ 1

α +1

(27)

Reprezentacja Martina

Tw. (K. Bogdan, T. Kulczycki, M. Kwa±nicki; PTRF 2008) Je±li f ≥ 0  singularnie α-harmoniczna w D, to

f (x) = Z

MDMD(x, y)µ(dy) x ∈ D dla pewnej miary µ na ∂MD.

Brak zaªo»e« o regularno±ci ∂D

Rozwa»ane tak»e zbiory nieograniczone Reprezentacja jest jednoznaczna

(28)

Póªgrupa procesu zabitego (klasyka)

Równanie ciepªa w D:

∂tu(t, x) = ∆xu(t, x) x ∈ D

u(t, x) = 0 x ∈ ∂D

u(0, x) = f (x) x ∈ D

Wtedy

u(t, x) = PtDf (x)

= Z

DptD(x, y) f (y) dy

=Ex(f (βt) ; τD >t)

pDt (x, y)  j¡dro ciepªa  g¦sto±¢ przej±cia zabitego ruchu Browna

(29)

Póªgrupa procesu zabitego

Denicja

PtDf (x) = Ex(f (Xt) ; τD >t).

PtDf (x) =Z

DpDt (x, y) f (y) dy

Je±li |D| < ∞, to PtD s¡ zwarte

Je±li PtD s¡ zwarte, to istnieje baza ortonormalna ϕn∈L2(D), ϕn=e−λntPtDϕn 0 < λ1 < λ2 ≤ λ3≤ ... → ∞ ϕn, λn  funkcje i warto±ci wªasne póªgrupy

(30)

Póªgrupa procesu zabitego

Denicja

PtDf (x) = Ex(f (Xt) ; τD >t).

PtDf (x) =Z

DpDt (x, y) f (y) dy Je±li |D| < ∞, to PtD s¡ zwarte

Je±li PtD s¡ zwarte, to istnieje baza ortonormalna ϕn∈L2(D), ϕn=e−λntPtDϕn 0 < λ1< λ2 ≤ λ3≤ ... → ∞ ϕn, λn  funkcje i warto±ci wªasne póªgrupy

(31)

Odst¦p spektralny

Twierdzenie (M. Kwa±nicki; PMS 2008) Dla D ⊆ Rd  otwartego i ograniczonego

λ2− λ1≥ C1

λd/α1 (diam D)d+α ≥ C2rd (diam D)d+α, gdzie r jest promieniem najwi¦kszej kuli zawartej w D.

Brak zaªo»e« o regularno±ci ∂D

Dla α = 2 analogiczne oszacowanie nie zachodzi

pDt (x, y) ∼ e−λ1tϕ1(x) ϕ1(y), gdy t → ∞

x,y∈Dsup

pDt (x, y)

e−λ1tϕ1(x) ϕ1(y)−1

e−(λ2−λ1)t

(32)

Warto±ci wªasne na odcinku

Gdy α = 2, to

∆ϕn(x) = −λnϕn(x) x ∈ D Dla D = (−1, 1):

ϕn(x) = sinnπ(1 + x)

2 λn=

nπ 2

2

α/2ϕn(x) = −λnϕn(x) x ∈ D Historia dla α = 1:

Blumenthal, Getoor (1959): N(λ) ∼ 2 πλ

Bañuelos, Kulczycki (2004, 2006): λ1, λ2, λ3  jednokrotne Chen, Song (2005): nπ

4 ≤ λn≤ nπ 2

(33)

Warto±ci wªasne na odcinku

Gdy α = 2, to

∆ϕn(x) = −λnϕn(x) x ∈ D Dla D = (−1, 1):

ϕn(x) = sinnπ(1 + x)

2 λn=

nπ 2

2

Gdy α ∈ (0, 2):

α/2ϕn(x) = −λnϕn(x) x ∈ D Historia dla α = 1:

Blumenthal, Getoor (1959): N(λ) ∼ 2 πλ

Bañuelos, Kulczycki (2004, 2006): λ1, λ2, λ3  jednokrotne Chen, Song (2005): nπ

4 ≤ λn≤ nπ 2

(34)

Warto±ci wªasne na odcinku

Twierdzenie (M. Kwa±nicki; preprint 2008)

Dla α = 1 i D = (−1, 1) ⊆ R warto±ci wªasne PtD s¡ co najwy»ej dwukrotne.

Ka»dej warto±ci wªasnej odpowiada co najwy»ej jedna symetryczna funkcja wªasna i co najwy»ej jedna antysymetryczna funkcja wªasna.

Zwi¡zki z RRCz i macierzami Toeplitza Wynik po±redni:

Z Z

R×R

f (x) g(y)

|x| + |y| dx dy = 1 2π

Z Z

R×R

ˆf (ξ) ˆg(η)

|ξ| + |η| dξ dη , f , g ∈ L2(R)

(35)

Póªgrupa procesu zabitego  zwarto±¢

Twierdzenie (M. Kwa±nicki; preprint 2008) Operatory PtD s¡ zwarte wtedy i tylko wtedy, gdy

|x|→∞lim ExτD =0 .

Twierdzenie prawdziwe tak»e dla α = 2.

Wniosek (M. Kwa±nicki; preprint 2008) Je±li lim

|x|→∞

Z

Dc

1

|y − x|d+αdy = ∞, to PtD s¡ zwarte. Warunek geometryczny.

Dla α = 2 nie ma analogicznych twierdze«.

(36)

Póªgrupa procesu zabitego  zwarto±¢

Twierdzenie (M. Kwa±nicki; preprint 2008) Operatory PtD s¡ zwarte wtedy i tylko wtedy, gdy

|x|→∞lim ExτD =0 .

Twierdzenie prawdziwe tak»e dla α = 2.

Wniosek (M. Kwa±nicki; preprint 2008) Je±li lim

|x|→∞

Z

Dc

1

|y − x|d+αdy = ∞, to PtD s¡ zwarte.

Warunek geometryczny.

Dla α = 2 nie ma analogicznych twierdze«.

(37)

Póªgrupa procesu zabitego  pierwsza funkcja wªasna

Twierdzenie (M. Kwa±nicki; preprint 2008) Je±li PtD s¡ zwarte, to

ϕ1(x)  C ExτD (1 + |x|)d+α. Staªa C dobrana jest do zbioru D

Dla α = 2 asymptotyka ϕ1 jest bardziej zªo»ona

Metody:

asymptotyka g¦sto±ci przej±cia pt(x)  min(t|x|d−α,td/α) oszacowania caªek

mocna wªasno±¢ Markowa brzegowa nierówno±¢ Harnacka

(38)

Póªgrupa procesu zabitego  pierwsza funkcja wªasna

Twierdzenie (M. Kwa±nicki; preprint 2008) Je±li PtD s¡ zwarte, to

ϕ1(x)  C ExτD (1 + |x|)d+α. Staªa C dobrana jest do zbioru D

Dla α = 2 asymptotyka ϕ1 jest bardziej zªo»ona Metody:

asymptotyka g¦sto±ci przej±cia pt(x)  min(t|x|d−α,td/α) oszacowania caªek

mocna wªasno±¢ Markowa brzegowa nierówno±¢ Harnacka

(39)

Póªgrupa procesu zabitego  mocna ultrakontraktywno±¢

Denicja

Póªgrupa (PtD) jest mocno ultrakontraktywna (IU), je±li pDt (x, y) ≤ C(t) ϕ1(x) ϕ1(y) .

(PtD) jest IU, gdy:

Chen, Song (1997)  D ograniczone, brzeg gªadki Kulczycki (1998)  D ograniczone

Twierdzenie (M. Kwa±nicki; preprint 2008)

|x|→∞lim 1 log |x|

Z

Dc

1

|y − x|d+αdy = ∞ =⇒ (PtD) jest IU

|x|→∞lim (dist(x, ∂D))αlog |x| = 0 ⇐= (PtD) jest IU

(40)

Póªgrupa procesu zabitego  mocna ultrakontraktywno±¢

Denicja

Póªgrupa (PtD) jest mocno ultrakontraktywna (IU), je±li pDt (x, y) ≤ C(t) ϕ1(x) ϕ1(y) .

Twierdzenie (M. Kwa±nicki; preprint 2008) Dla p : (0, ∞) → [0, ∞)  lipschitzowskiej, D = (x, y) ∈ R2 : x > 0, −p(x) < y < p(x) :

(PtD) jest IU ⇐⇒ lim

x→∞(p(x))αlog x = 0 .

(41)

Póªgrupa procesu zabitego  mocna ultrakontraktywno±¢

Denicja

Póªgrupa (PtD) jest mocno ultrakontraktywna (IU), je±li pDt (x, y) ≤ C(t) ϕ1(x) ϕ1(y) .

Twierdzenie (M. Kwa±nicki; preprint 2008) Je±li D1 ⊆D2 i (PtD2) jest IU, to (PtD1)te» jest IU.

D1 D2 Dla α = 2 takie twierdzenie

jest faªszywe.

(42)

Wszystkiego najlepszego, mamo!

(43)

Generowanie jednowymiarowego procesu Cauchy'ego za pomoc¡ dwuwymiarowego ruchu Browna

(44)

Brzegowa nierówno±¢ Harnacka (klasyka)

Dla α = 2:

D ⊆ R2, ∂D gªadki  lata 50.

D ⊆ Rd, ∂D Lipschitza  Dahlberg (1977), Ancona, Wu (1978)

D ⊆ Rd NTA  Jerison, Kenig (1982) D ⊆ Rd THD  Bass, Burdzy (1991)

(45)

Reprezentacja Martina (klasyka)

Dla α = 2:

∂D gªadki  j¡dro Martina = j¡dro Poissona

MD  zbiór f minimalnie harmonicznych, f (x0) =1 D ∪ ∂MD  uzwarcenie Martina D; D 3 x 7→ fx = GD(x, ·)

GD(x, x0) dla d = 2: (Nadirashvili)

D ∪ ∂MD 3 x 7→ ∇fx(x0) ∈K ⊆ C ∪ {∞}

(46)

Odst¦p spektralny i IU (klasyka)

Odst¦p spektralny (α = 2):

zyka: gazy bozonowe, modele Isinga

tempo zbie»no±ci do stanów stacjonarnych w ªa«cuchach Markowa

wykªadnicza caªkowalno±¢ funkcji Lipschitza badany dla grafów, na rozmaito±ciach.

IU (α = 2):

logarytmiczne nierówno±ci Sobolewa procesy warunkowane

istniej¡ ograniczone D dla których (PtD) nie jest IU istniej¡ D1⊆D2 takie, »e (PtD2) jest IU, a (PtD1) nie dla p malej¡cej, (PtD) jest IU ⇐⇒ |D| < ∞

(47)

Uªamkowy laplasjan

−(−∆)α/2f (x) = Ad,−αp.v.

Z

Rd

f (y) − f (x)

|y − x|d+α dy

−(−∆)α/2f

ˆ(ξ) = −|ξ|αˆf (ξ) Motywacje:

zyka: oscylacje cieczy lub galarety, równanie elastyczno±ci, dyslokacje w krysztaªach

zwi¡zek z potencjaªami Riesza caªki singularne

(48)

Funkcja Greena

GD(x, y) =Z

0 pDt (x, y) dt GDf (x) =Z

DGD(x, y) f (y) dy

=Ex Z τD

0 f (Xt)dt Wzór Dynkina:

φ(x) = Exφ(X (τD)) −GDα/2φ(x) Wzór Ikedy-Watanabe: (x ∈ D, y ∈ Dc, t > 0)

PxD ∈dt, X (τD) ∈dy) = Ad,−α

Z

D

pDt (x, z)

|z − y|d+αdz

 dt dy Px(X (τD) ∈dy) =Z

D

GD(x, z)

|z − y|d+αdz

 dy

(49)

Warto±ci wªasne na odcinku  elementy dowodu

Dla funkcji symetrycznych:

Okre±lamy R(f ) = Z

0 (Ptf (0))2dt, f ∈ L2(R) Je±li R(f ) = 0, to f = 0

R(f ) = 2Z

0 f (x)Hf (x)dx R(ϕ) = −1

2(Hϕ(1) + Hϕ(0)) Z 1

1ϕ(x)dx Je±liZ 1

1ϕ(x) dx = 0, to R(ϕ) = 0 Z 1

1(a ϕn(x) + b ϕm(x)) dx = 0 dla pewnych a, b Wniosek: je±li λn= λm, to aϕn+bϕm=0

Dla antysymetrycznych: powy»sze + transformata Hilberta

(50)

Pierwsza funkcja wªasna  elementy dowodu

Dx =D ∩ B(x, |x|/2) Ograniczenie dolne:

ϕ1(x) ≥ Exϕ1(X (τDx)) ≥C|x|d−αExτDx ExτD =ExτDx +Ex(EX (τDx)τD) ≤CExτDx Ograniczenie górne:

Je±li ϕ1(x) ≤ C(1 + |x|)−γ (γ ≥ 0), to ϕ1(x) ≤ ExτD

 λ1sup

Dx

ϕ1+C|x|min(d,γ)−α



Samopoprawiaj¡ce si¦ oszacowanie: γ 7→ min(d, γ) + α

(51)

Póªgrupa procesu zabitego  mocna ultrakontraktywno±¢

Twierdzenie (M. Kwa±nicki; preprint 2008) (PtD) jest IU ⇐⇒ ptD(x, y) ≤ C(t)

(1 + |x|)d+α(1 + |y|)d+α

⇐⇒ PxD\B(0,r)>t) ≤ C(t) (1 + r)d+α. Wniosek (M. Kwa±nicki; preprint 2008)

Je±li (PtD)jest IU, to PtD s¡ operatorami Hilberta-Schmidta.

Twierdzenie (M. Kwa±nicki; preprint 2008)

Je±li p(x) > 0, p ∈ C2 na (a, ∞), p, p0/p, p00  ograniczone na (a, ∞), to

ExτD C(p(x1D(x))α/2.

(52)

Macierze Toeplitza

f : [−π, π] → R

f (x0) =m = inf f (x)  jedyne minimum f (x0+t) = m + |t| + o(|t|)

(an)  szereg Fouriera f , an= Z π

−πeinxf (x) dx

Ak =

a0 a1 a2 · · · ak

a1 a0 a1 · · · ak+1

a2 a1 a0 · · · ak+2

... ... ... ... ...

ak ak−1 ak−2 · · · a0

 n-ta najmniejsza warto±¢ wªasna Ak: (Parter, Widom)

m +λn k +o

1 k

 .

(53)

Transformata Hilberta

H : L2(R) → L2(R) , Hf (x) = 1

π p.v.Z

−∞

f (y) x − y dy , Hf (ξ) = −i sign(ξ) ˆf(ξ) .c H jest izometri¡ na L2(R)

H2f = −f

Je±li f  symetryczna, to Hf  antysymetryczna Je±li f  antysymetryczna, to Hf  symetryczna

−(−∆)1/2f = (Hf )0 Hf = lim

t&0qt∗f w L2(R), qt(x) = 1 π

x t2+x2

(54)

Potencjaª Newtona

Uf (x) = Γ(d−22 ) 4πd/2

Z

Rd

f (x − y)

|y|d−2 dy (Uf )ˆ(ξ) = |ξ|2ˆf (ξ)

Je±li f ∈ Cc2(Rd), to U∆f (x) = −f (x) Je±li f ∈ Cc(Rd), to ∆Uf (x) = −f (x)

Je±li f ∈ Cc(Rd) ∩ Λε(Rd), to Uf (x) ∈ C2(Rd)

2

∂xi∂xjUf (x) = Ri,jf (x) (Ri,jf )ˆ(ξ) = −ξiξj

|ξ|2ˆf (ξ) Ri,jf (x) = Γ(d+22 )

πd/2 p.v.Z

Rd

yiyjf (x − y)

|y|d+2 dy (i 6= j) Ri,if (x) = f (x)

d +Γ(d+22 ) πd/2 p.v.Z

Rd

(yi2d1|y|2)f (y − x)

|y|d+2 dy

(55)

Potencjaª Newtona

Uf (x) = Γ(d−22 ) 4πd/2

Z

Rd

f (x − y)

|y|d−2 dy (Uf )ˆ(ξ) = |ξ|2ˆf (ξ)

W R3:

2

∂x1∂x2Uf (x) = 3 4πp.v.Z

Rd

y1y2f (x − y)

|y|5 dy

f (x) = sign(x1x2) log |x1x2| φ(x)

|y|5y1y2f (−y)

|y|5 = |y1y2| log |y1y2|φ(y)

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :