Teoria spektralna jednowymiarowych procesów Lévy'ego na póªprostej i odcinku

22  Download (0)

Pełen tekst

(1)

jednowymiarowych procesów Lévy'ego na póªprostej i odcinku

Prezentacja wyników rozprawy habilitacyjnej Mateusz Kwa±nicki

Warszawa 25 pa¹dziernika 2012

[A] Spectral properties of the Cauchy process on half-line and interval Proc. London Math. Soc., 2010

(wspóªautorzy: T. Kulczycki, J. Maªecki, A. Stós)

[B] Spectral analysis of subordinate Brownian motions on the half-line Studia Math., 2011

[C] Eigenvalues of the fractional Laplace operator in the interval J. Funct. Anal., 2012

(2)

Cz¦±¢ 1

Wst¦p: szeregi Fouriera

Opis rozwa»anej klasy operatorów

Sformuªowanie problemu

Wzór asymptotyczny dla odcinka

(3)

Wst¦p: szeregi Fouriera

Niech D = (0, π).

Twierdzenie RieszaFischera Je±li f ∈ L2(D), to f (x) =

X

n=1

ansin(nx) (zbie»no±¢ w L2(D)), przy czym ci¡g an= 2

π Z π

0 f (x) sin(nx)dx nale»y do l2. Przez ∆ oznaczamy operator Laplace'a, ∆f (x) = f00(x).

Obserwacja

Przy odpowiednich zaªo»eniach:

je±li f (x) =

X

n=1

ansin(nx), to −∆f (x) =

X

n=1

n2ansin(nx).

(4)

Wst¦p: szeregi Fouriera

Przypomnijmy: D = (0, π). Oznaczmy przez ∆|D operator Laplace'a na L2(D) zwarunkiem brzegowym Dirichleta.

Wyniki z poprzedniej strony mo»na podsumowa¢ nast¦puj¡co:

Wniosek

Funkcje fn(x) = sin(nx) tworz¡ zupeªny ukªad ortogonalny funkcji wªasnych −∆|D, odpowiadaj¡cych warto±ciom wªasnym λn=n2. Celem jest badanie analogicznych funkcji i warto±ci wªasnych dla operatorów ψ(−∆)|D. Szczególnie wa»nym przypadkiem jest uªamkowy operator Laplace'a(−∆)α/2|D dla α ∈ (0, 2).

Uwaga

Operator ψ(−∆)|D jest czym innym ni» ψ(−∆|D). W przypadku tego drugiego problem si¦ trywializuje.

(5)

Opis rozwa»anej klasy operatorów

Operator ψ(−∆) tonielokalnyoperator na L2(R), który mo»na zdeniowa¢ za pomoc¡:

• transformaty Fouriera (teorii spektralnej −∆);

• procesów Lévy'ego;

• rozszerze« harmonicznych;

• podporz¡dkowania póªgrup operatorów (w sensie Bochnera).

Omówimy krótko pierwsze trzy metody.

(6)

Opis rozwa»anej klasy operatorów

Denicja (przez transformat¦ Fouriera) Okre±lamy

(ψ(−∆)f )ˆ(ξ) = ψ(ξ2)ˆf (ξ)

dla f ∈ L2(R), dla których funkcja po prawej stronie jest w L2(R).

Ponadto zakªadamy, »e jest ψ jestzupeªn¡ funkcj¡ Bernsteina, albo inaczej funkcj¡ operatorowo monotoniczn¡, tj.:

Dodatkowe zaªo»enie

Dla pewnego b ≥ 0 i pewnej miary Radona µ na (0, ∞) zachodzi ψ(z) = bz +

Z

(0,∞)

z z + s

µ(ds) s . Dla (−∆)α/2: b = 0, µ(ds) = cαsα/2.

(7)

Opis rozwa»anej klasy operatorów

Denicja (przez procesy Lévy'ego)

Operator −ψ(−∆) jest generatorem procesu Lévy'ego Xt, którego wykªadnik Lévy'ego-Chinczyna to ψ(ξ2). Innymi sªowy,

−ψ(−∆)f (x) = lim

t→0+

Ef (x + Xt) −f (x) t

=b∆f (x) + pv Z

−∞

(f (x + z) − f (x))ν(dz), przy czym

E exp(i ξXt) =etψ(ξ2). Dodatkowe zaªo»enie

Miara Lévy'ego ν (mierz¡ca intensywno±¢ skoków Xt) ma g¦sto±¢, która jest funkcj¡caªkowicie monotoniczn¡na (0, ∞).

Dla (−∆)α/2: ν(dz) = |cz|α1+αdz , Xt  symetryczny proces α-stabilny.

(8)

Opis rozwa»anej klasy operatorów

Denicja (przez rozszerzenia harmoniczne)

Operator ψ(−∆) jest zwi¡zany z pewnym zagadnieniem rozszerzenia harmonicznego w górnej póªpªaszczy¹nie:

2

x2 +a(y)y22

h(x, y) = 0 (x ∈ R, y > 0);

h(x, 0) = f (x ∈ R);

−ψ(−∆)f (x) = yh(x, 0) (x ∈ R).

Aby w ten sposób uzyska¢ wszystkie zupeªne funkcje Bernsteina ψ, trzeba rozwa»a¢ bardzo osobliwe a(y) (uogólnione dyfuzjealbo spektralna teoria strunKreina).

Zwi¡zek pomi¦dzy ψ oraz a(y) zazwyczaj jest niejawny.

Dla (−∆)α/2: a(y) = cαy2−2/α.

(9)

Sformuªowanie problemu

Niech D b¦dzie odcinkiem (ogólniej: obszarem w Rd).

Operator ψ(−∆)|D to operator ψ(−∆) na L2(D) z warunkiem zewn¦trznym Dirichleta.

Twierdzenie HilbertaSchmidta

Funkcje wªasne fn operatora ψ(−∆)|D tworz¡ zupeªny ukªad orto- gonalny na L2(D). Mo»na je uszeregowa¢ tak, by odpowiadaj¡ce im warto±ci wªasne speªniaªy 0 ≤ λ1≤ λ2 ≤ . . .

Nieco nieformalnie,

ψ(−∆)fn(x) = λnfn(x) (x ∈ D);

fn(x) = 0 (x /∈ D).

Problem

Zbada¢ wªasno±ci λn oraz fn.

(10)

Wzór asymptotyczny dla odcinka

Twierdzenie ([A], [C])

Dla D = (0, π) oraz dla operatora (−∆)α/2|D, α ∈ (0, 2):

λn= n −2−α4 α

+ O(n1).

Gdy α ≥ 1, zachodzi λ1 < λ2< λ3 < . . . W [A] rozwa»ano α = 1, [C] dotyczy α ∈ (0, 2).

Twierdzenie odpowiada ψ(z) = zα/2. Metoda jest do±¢ ogólna:

obecnie znane s¡ bardzo dokªadne wyniki dla ψ(z) =√

z + 1 − 1, trwaj¡ prace nad ogólniejszymi funkcjami.

(11)

Wzór asymptotyczny dla odcinka

Dowód wykorzystuje funkcje wªasne Fµ na póªprostej.

Funkcji Fµodpowiada warto±¢ wªasna ψ(µ2) = µα. Bada si¦ nast¦puj¡ce przybli»enia funkcji wªasnych:

˜fn(x) = Fµn(x) (x ∈ (0,π3));

˜fn(x) ≈ sin

(n − 2−α4 )x + (2−α)π8 

(x ∈ (π3,3 ));

˜fn(x) = (−1)n−1Fµn(π −x) (x ∈ (3 , π)).

Tu µn=n − 2−α4 .

Wzory na Fµ(x) wyprowadzone s¡ w [A] dla ψ(z) =√

z (tj. α = 1) oraz w [B] dla ogólnych zupeªnych funkcji Bernsteina ψ.

(12)

Cz¦±¢ 2

Funkcje wªasne na póªprostej

Twierdzenie spektralne

(13)

Funkcje wªasne na póªprostej

Uwaga

Gdy D jest ograniczony, operatory exp(−tψ(−∆)|D) s¡ zwarte i przez to ψ(−∆)|D ma funkcje wªasne (tw. HilbertaSchmidta).

Dla D = (0, ∞) widmo ψ(−∆)|D jest ci¡gªe.

Twierdzenie ([A], [B])

Dla D = (0, ∞) oraz µ > 0 istnieje funkcja Fµ∈L(D) taka, »e ψ(−∆)|DFµ= ψ(µ2)Fµ

przy odpowiednim rozszerzeniu denicji ψ(−∆)|D. (cdn.) Jak poprzednio, nieco nieformalnie,

ψ(−∆)Fµ(x) = ψ(µ2)Fµ(x) (x > 0);

Fµ(x) = 0 (x ≤ 0).

(14)

Funkcje wªasne na póªprostej

Twierdzenie ([A], [B]; cd.)

Funkcja Fµ ma transformat¦ Laplace'a LFµ(ξ) = µ

µ2+ ξ2 exp

1 π

Z 0

ξ

ξ2+ ζ2 logψ02)(µ2− ζ2) ψ(µ2) − ψ(ζ2) dζ



i ponadto

Fµ(x) = sin(µx + ϑµ) −Gµ(x),

gdzie ϑµ∈ [0,π2), za± Gµjest caªkowicie monotoniczna. (cdn.) Zauwa»my, »e dla ψ(z) = z, tj. dla operatora −∆|D,

Fµ(x) = sin(µx)

w istocie jest funkcj¡ wªasn¡ o warto±ci wªasnej ψ(µ2) = µ2.

(15)

Funkcje wªasne na póªprostej

Przypomnijmy:

Fµ(x) = sin(µx + ϑµ) −Gµ(x).

Twierdzenie ([A], [B]; cd.) Zachodzi ponadto:

ϑµ= −1 π

Z 0

µ

µ2− ζ2 logψ02)(µ2− ζ2) ψ(µ2) − ψ(ζ2) dζ oraz

Gµ(x) =Z

0 eγµ(dξ), gdzie

γµ(dξ) = 1 π



Im µψ02) ψ(µ2) − ψ+(−ξ2)



×

×exp



−1 π

Z 0

ξ

ξ2+ ζ2 logψ02)(µ2− ζ2) ψ(µ2) − ψ(ζ2) dζ

 dξ.

(16)

Funkcje wªasne na póªprostej

Elementy dowodu:

• transformaty Fouriera, Laplace'a i Stieltjesa;

• metoda WieneraHopfa;

• teoria zupeªnych funkcji Bernsteina;

• twierdzenie PaleyWienera;

• S-sploty dystrybucji;

• operator charakterystyczny Dynkina.

(17)

Funkcje wªasne na póªprostej

Dla (−∆)α/2|D:

Fµ(x) = sin(µx + (2−α)π8 ) − Z

0 e−µsxγ(s)ds, γ(s) =

√2α sinαπ2

sα

1 + s−2sαcosαπ2 ×

×exp

1 π

Z 0

1

1 + ζ2 log1 − sαζα 1 − s2ζ2

 .

2 4 6 8 10 12

-1.0 -0.5 0.5 1.0

Wykres F1(x) dla α = 1

(18)

Twierdzenie spektralne

Przypomnijmy: D = (0, ∞), funkcje Fµ nie s¡ w L2(D).

Twierdzenie ([A], [B], [?])

Funkcje Fµ tworz¡ zupeªny ukªad uogólnionych funkcji wªasnych operatora ψ(−∆)|D, tj. je±li

Πf (µ) = Z

0 f (x)Fµ(x)dx, Π1g(x) = 2

π Z

0 Fµ(x)g(µ)dµ, to zachodzi

Π ψ(−∆)|Df (µ) = ψ(µ2)Πf (µ).

Dla ψ(z) = z, tj. dla operatora −∆|D, zachodzi Fµ(x) = sin(µx).

Zatem w tym przypadku Π jest transformat¡ sinusów.

(19)

Twierdzenie spektralne

W [A] rozwa»ano ψ(z) =√

z (tj. α = 1), [B] dotyczy ψ(z) = zα/2, ψ(z) =√

z + 1 − 1 i niektórych innych ψ.

Dowód dla ogólnych zupeªnych funkcji Bernsteina ψ jest zawarty w:

[?] M. Kwa±nicki, J. Maªecki, M. Ryznar

First passage times for subordinate Brownian motions arXiv:1110.0401

(20)

Cz¦±¢ 3

Funkcjonaª supremum

Relatywistyczna mechanika kwantowa

(21)

Funkcjonaª supremum

Niech Xt b¦dzie procesem Lévy'ego o wykªadniku Lévy'ego-Chin- czyna ψ(ξ2). Oznaczmy

Mt = sup

s∈[0,t]Xs. Twierdzenie ([A], [B], [?])

Przy odpowiednich zaªo»eniach na ψ,

P0(Mt<x) = 2 π

Z 0

s ψ02)

ψ(µ2) etψ(µ2)Fµ(x)dµ.

W [A] rozwa»ano ψ(z) =√

z (tj. α = 1), [B] dotyczy ψ(z) = zα/2, ψ(z) =√

z + 1 − 1 i niektórych innych ψ, w [?] wymagana jest minimalna regularno±¢ zupeªnej funkcji Bernsteina ψ w 0 i ∞.

Zastosowanie: oszacowania i rozwini¦cia asymptotyczne.

(22)

Relatywistyczna mechanika kwantowa

Gdy ψ(z) =√

z + 1 − 1, operator ψ(−∆) jestkwazirelatywi- stycznym Hamiltonianemswobodnej masywnej cz¡stki.

Operator ψ(−∆)|D odpowiada cz¡stce, która zmuszona jest do pozostania w D przez (niesko«czenie silne) pole elektryczne.

Warto±ci wªasne λn operatora ψ(−∆)|D odpowiadaj¡ poziomom energetycznym cz¡stki.

Twierdzenie ([†])

Je±li D jest odcinkiem, to

λn= |D|8|D|π + O(1n).

[†] K. Kaleta, M. Kwa±nicki, J. Maªecki

One-dimensional quasi-relativistic particle in the box arXiv:1110.5887

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :