Automatyka i sterowanie w gazownictwie Wymagania stawiane układom regulacji

49  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Automatyka i sterowanie w gazownictwie

Wymagania stawiane układom regulacji

Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR

Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH

(2)

Wymagania stawiane układom regulacji

• Sterowalność systemu

• Obserwowalność systemu

• Stabilność systemu

(3)

Sterowalność systemu dynamicznego

Definicja

System nazywamy sterowalnym, jeżeli stosując ograniczone, przedziałami ciągłe sterowanie można go przeprowadzić w

skończonym czasie z dowolnego zadanego stanu początkowego x0 do zadanego stanu końcowego xk .

Warunek konieczny i dostateczny sterowalności 1.

System liniowy stacjonarny jest sterowalny (para macierzy (A,B) jest sterowalna ) wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy

sterowalności S jest równy n

B AB A B

S  ...

np

p-rząd macierzy sterowań B

(4)

Sterowalność systemu dynamicznego

Warunek konieczny i dostateczny sterowalności 2.

System liniowy stacjonarny o jednym wejściu jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy:

...0

det B AB A

n1

B

(5)

Sterowalność systemu dynamicznego

Przykład

Sprawdzić sterowalność systemu dynamicznego opisanego następująco:

W powyższym przykładzie:

 

 

 

 

7 3 1

3 1 0

2

B A

AB

 

 

 

 

1 0 0

3 2

1

1 0

0

0 1

0

B

A

(6)

Sterowalność systemu dynamicznego

Czyli:

  1

7 3

1

3 1

0

1 0

0 det ,

,

det

2

 

 

 

B

A AB

B

Rząd macierzy sterowalności jest równy 3 ( wyznacznik 3x3 tej macierzy jest niezerowy),

WNIOSEK:

Rozważany układ jest sterowalny.

(7)

Obserwowalność systemu dynamicznego

Definicja

System dynamiczny jest obserwowalny, jeżeli istnieje taka skończona chwila tk że na podstawie znajomości sterowania u(t0 , tk] oraz oraz odpowiedzi y(t0 , tk ] w przedziale (t0 , tk ] można wyznaczyć stan początkowy x0 w chwili t0 .

(8)

Obserwowalność systemu dynamicznego

Warunek konieczny i dostateczny obserwowalności 1

System liniowy stacjonarny jest obserwowalny (para macierzy (C,A) jest obserwowalna ) wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy obserwowalności G jest równy n

 

 

 

 

r

CA

n

CA C

G ...

r- rząd macierzy C

(9)

Obserwowalność systemu dynamicznego

... 0

det 

 

 

 

 

nr

CA CA

C

Warunek konieczny i dostateczny obserwowalności 2 System liniowy stacjonarny o jednym wyjściu jest

obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy:

(10)

Obserwowalność systemu dynamicznego

Przykład

Zbadać obserwowalność następującego systemu dynamicznego:

 

 

 

 

 

 1

1 0

1 0

0 2

1 2

1 1

2

2 1

1

C A

Rząd macierzy C równa się 2,

(11)

Obserwowalność systemu dynamicznego

Macierz G z twierdzenia jest równa:









 



 

 

2 1 1

1

1 2 0 1

2 0 0 0 CA

G C

Rząd macierzy G jest równy 3, układ jest zatem sterowalny.

 

 

  

 2

1 1

2 2

CA 0

(12)

Stabilność systemów dynamicznych

Definicja ( Punkt równowagi systemu)

Punktem równowagi systemu nazywamy punkt x = xr dla którego: f(xr) = 0.

Rozważmy autonomiczny układ nieliniowy:

)) (

( )

( t f x t x  

Uwaga:

Układ nieliniowy może mieć więcej niż 1 punkt równowagi.

Układ liniowy ma tylko 1 punkt równowagi.

Innymi słowy, trajektoria systemu osiąga punkt równowagi, jeśli wszystkie zmienne stanu osiągają wartość ustaloną.

(13)

Stabilność systemów dynamicznych Przykład:

( punkty równowagi systemu nieliniowego):

 

) ( )

( 2

) ( )

(

) ( )

(

2 1 2

1 2

2 1

t x

t x t

x t

x

t x t

x

Rozważmy następujący, autonomiczny układ

nieliniowy:

W punkcie równowagi pochodne ze zmiennych stanu się zerują, co można zapisać następująco:

 

0 )

( )

( 2

) (

0 )

(

2 1 2

1 2

t x t

x t

x t x

( * )

Łatwo zauważyć, że równanie (*) jest spełnione dla:

0 1 0

0

2 1 2

1

x x x

x Czyli układ ma 2 punkty równowagi:

P1 (0,0) oraz P2(1,0)

(14)

Stabilność systemów dynamicznych

Oznacza to, że:

• Układ dynamiczny uznajemy za stabilny, jeżeli jego odpowiedź na dowolne wymuszenie ograniczone pod względem amplitudy oraz czasu trwania również jest ograniczona.

Definicja stabilności

• Punkt równowagi xr nazywamy stabilnym, ( w sensie Lapunova ) jeżeli dla każdej liczby dodatniej  można dobrać taką liczbę  (zależną od  ) że trajektoria

systemu x(t) rozpoczynająca się w punkcie

początkowym x0 (nie będącym punktem równowagi) leżącym wewnątrz kuli o promieniu  pozostaje

wewnątrz kuli o promieniu  dla dowolnej chwili czasu t >0

(15)

Stabilność systemów dynamicznych Definicja (Stabilność asymptotyczna)

Punkt równowagi xr nazywamy stabilnym asymptotycznie, jeżeli:

1. Jest stabilny,

2. Spełniony jest następujący warunek:

t

x tx

r

( )

lim

Mówiąc prościej, rozwiązanie jest stabilne asymptotycznie, jeśli przy czasie rosnącym do nieskończoności zmierza do rozwiązania ustalonego, czyli wszystkie składowe przejściowe rozwiązania zanikają do zera.

(16)

Stabilność systemów dynamicznych

Stabilnością_lokalną nazywamy stabilność dla warunków początkowych leżących w niewielkim otoczeniu punktu równowagi.

Stabilnością_globalną nazywamy stabilność dla dowolnych warunków początkowych.

Uwaga

•W systemach nieliniowych można wyróżnić obszary stabilności i obszary niestabilności.

•System liniowy jest stabilny lub niestabilny dla wszystkich warunków początkowych.

(17)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.15

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

0.25 Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

Stabilność systemów dynamicznych

Przykłady odpowiedzi impulsowych układów stabilnych asymptotycznie:

(18)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.9 Step Response

Time (sec)

Amplitude

Stabilność systemów dynamicznych

Przykłady odpowiedzi skokowych układów stabilnych asymptotycznie:

(19)

Stabilność systemów dynamicznych

Przykład odpowiedzi skokowej układu niestabilnego

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-15 -10 -5 0 5

10 Step Res pons e

Time (s ec )

Amplitude

(20)

Stabilność systemów dynamicznych

Rozważmy system opisany transmitancją operatorową:

) (

) ( ...

) ...

(

0 1

0 1

1 1

s M

s L a

s a s

a

b s

b s

s b

G

n

n n

n

Warunek konieczny i dostateczny ( Stabilność ) WK i D:

System dynamiczny opisany transmitancją

operatorową jest stabilny wtedy i tylko wtedy,

gdy wszystkie pierwiastki mianownika

transmitancji M(s) mają niedodatnie części

rzeczywiste.

(21)

Stabilność systemów dynamicznych

WKiD ( Stabilność asymptotyczna)

System dynamiczny opisany transmitancją operatorową jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie pierwiastki mianownika transmitancji M(s) mają ujemne części rzeczywiste.

UWAGA:

O stabilności systemu decyduje lokalizacja pierwiastków mianownika transmitancji obiektu a nie wartość tych parametrów.

(22)

Kryteria stabilności systemów dynamicznych

Kryteria stabilności służą do lokalizacji pierwiastków wielomianu charakterystycznego na płaszczyźnie zespolonej bez konieczności wyznaczania ich wartości.

Warunek konieczny WK (stabilność)

Warunkiem koniecznym stabilności systemu dynamicznego opisanego transmitancją operatorową jest, aby wszystkie współczynniki:

a

0

,… ,a

n

mianownika transmitancji systemu

M(s) były nieujemne ( niedodatnie ).

(23)

Stabilność systemów dynamicznych

Warunek konieczny WK (stabilność asymptotyczna)

Warunkiem koniecznym stabilności asymptotycznej systemu

dynamicznego opisanego transmitancją operatorową jest, aby wszystkie współczynniki: a0 ,… ,an mianownika transmitancji systemu M(s) były:

1. różne od zera,

2. tego samego znaku ( tzn. wszystkie dodatnie lub wszystkie ujemne )

UWAGI

1.Współczynniki wielomianu charakterystycznego równe zero generują pary pierwiastków czysto urojonych, które są stabilne, ale nie są stabilne asymptotycznie.

2. Współczynniki o różnych znakach generują pierwiastki o dodatnich częściach rzeczywistych , które są niestabilne.

(24)

Stabilność systemów dynamicznych

Przykłady:

Wielomian charakterystyczny spełniający WK stabilności asymptotycznej :

Wielomian charakterystyczny niestabilny ( nie spełniający WK stabilności asymptotycznej):

7 8

2 5

)

( ss

5

s

4

s

3

s

2

sM

Wielomian charakterystyczny spełniający WK stabilności (ale nie asymptotycznej ) :

1 4

3 )

( ss

5

s

4

s

2

sM

1 4

5 3

2 )

( ss

5

s

4

s

3

s

2

s

M

(25)

Stabilność systemów dynamicznych

UWAGI:

1. Nie spełnienie WK oznacza, że układ jest niestabilny,

2. Spełnienie WK dla n = 1, 2 ( system 1 lub 2 rzędu ) oznacza, że system jest stabilny, czyli dla układów 1 i 2 rzędu Warunek Konieczny jest Warunkiem Koniecznym i Dostatecznym stabilności.

3. Spełnienie WK dla systemu 3 rzędu lub wyższego nie daje informacji o stabilności, należy zastosować dodatkowo kryterium stabilności.

(26)

Kryteria stabilności systemów liniowych

•Ze względu na sposób postępowania podczas badania

stabilności, kryteria stabilności systemów liniowych dzielimy na dwie zasadnicze grupy:

kryteria algebraiczne – przy ich pomocy badamy lokalizację pierwiastków wielomianu charakterystycznego na podstawie znajomości jego współczynników. Należą do nich kryteria Hurwitza i Routha.

kryteria częstotliwościowe – ich znaczenie polega na tym, że pozwalają one na badanie stabilności na podstawie

doświadczalnie zdjętych charakterystyk częstotliwościowych.

Pozwalają one na podstawie znajomości przebiegu

charakterystyki częstotliwościowej dla układu otwartego wnioskować o stabilności układu zamkniętego. Najbardziej znane jest kryterium Nyquista.

(27)

Kryterium Hurwitz’a

Rozważmy wielomian charakterystyczny M(s):

0 1

1

)

1

( s a s a s a s a

M

n n

n n

 

Zakładamy, że jest spełniony WK stabilności.

Dla wielomianu budujemy macierz Hurwitza o następującej postaci:

n n n

n

n n

n

n n

n

a a

a

a a

a

a a

a H

 

 

 

 

 

 

0 3

1

4 2

5 3

1

...

0 0 0

...

...

0 ...

0 ...

0 ...

...

0

...

...

(28)

Kryterium Hurwitz’a

Minory główne macierzy H mają postać:

...

0

, ,

3 1

4 2

5 3

1 3

2 3 1

2 1

1

n n

n n

n

n n

n

n n

n n

n

a a

a a

a

a a

a H

a a

a H a

a

H

(29)

Kryterium Hurwitz’a

Twierdzenie ( Kryterium Hurwitza ) Założenia:

1. Rozważamy wielomian charakterystyczny M(s)

2. Zakładamy że jest spełniony WK stabilności asymptotycznej.

(wszystkie współczynniki ai i =0 ... N tego wielomianu są różne od zera i są tego samego znaku,)

Wielomian M(s) ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie zespolonej wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory główne H

1

… H

n

macierzy Hurwitza H sa dodatnie.

(30)

Kryterium Hurwitz’a – przykład 1

8 5

3 2

)

( ss

5

s

4

s

3

s

2

sM

macierz Hurwitza H:

5

8 5

5 3

0 0

0 1

1 2

0

0 8

5 3

0

0 0

1 1

2

0 0

8 5

3











H

Minory główne:

0 1 7

2

5 0 3

3

3 2

1    H    

H

Układ NIESTABILNY

Rozważmy następujący wielomian charakterystyczny:

(31)

Kryterium Hurwitz’a – przykład 2

4 . 0 8

. 2 3

. 7 8

. 8 9

. 4 )

( ss

5

s

4

s

3

s

2

sM

macierz Hurwitza H:

5

4

5

. 0 3

. 7 9

. 4 0

. 0 0

. 0

0 . 0 8

. 2 8

. 8 0

. 1 0

. 0

0 . 0 4

. 0 3

. 7 9

. 4 0

. 0

0 . 0 0

. 0 8

. 2 8

. 8 0

. 1

0 . 0 0

. 0 4

. 0 3

. 7 9

. 4

 

 

 

 

 

H

Rozważmy następujący wielomian charakterystyczny:

(32)

Kryterium Hurwitz’a – przykład 2 Minory główne:

0 218

. 196 3

. 7 9

. 4 0

. 0

8 . 2 8

. 8 0

. 1

4 . 0 3

. 7 9

. 4

0 82

. 8 35

. 8 0

. 1

3 . 7 9

. 0 4

9 . 4

3

2 1

H

H

H

(33)

Kryterium Hurwitz’a – przykład 2

0 652

. 428 8

. 2 8

. 8 0

. 1 0

. 0

4 . 0 3

. 7 9

. 4 0

. 0

0 . 0 8

. 2 8

. 8 0

. 1

0 . 0 4

. 0 3

. 7 9

. 4

4

  

H

UWAGA:

Nie ma potrzeby badania wyznacznika H , gdyż jest on zawsze dodatni jeśli H4 jest dodatni.

Układ jest

STABILNY

(34)

Stabilność układów – kryteria częstotliwościowe

Cechy kryteriów częstotliwościowych:

• wnioskowanie o stabilności układu na podstawie doświadczalnie wyznaczonej charakterystyki częstotliwościowej układu,

• o stabilności układu zamkniętego wnioskujemy na

podstawie przebiegu charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego,

• przebieg charakterystyki częstotliwościowej dostarcza bezpośredniej informacji na temat zapasów stabilności.

(35)

Stabilność układów – kryteria częstotliwościowe

1. Zamknięty układ regulacji ( ze sprzężeniem zwrotnym):

G(s) G(s)

G

r

(s) G

r

(s)

+ - R(s)

Gdzie:

Gr(s) oznacza transmitancję regulatora,

G(s) oznacza transmitancję obiektu regulacji

(36)

Stabilność układów – kryteria częstotliwościowe 2. Załóżmy, że w układzie rozłączamy sprzężenie zwrotne:

G(s)

G

r

(s) G(s)

G

r

(s)

+ - R(s)

Transmitancja operatorowa układu otwartego ( po rozłączeniu toru sprzężenia zwrotnego):

) (

) ) (

( )

( )

( M s

s s L

G s

G s

G

o o r

o

 

(37)

Interpretacja geometryczna kryterium Nyquista

(-1,j0)

Q(ω)

P(ω)

Układ stabilny Układ niestabilny

Układ na granicy stabilności

Układ stabilny

(38)

Jakość regulacji

Rozważmy zamknięty układ regulacji (przypomnienie) :

gdzie:

•r – wartość zadana,

•E(s) – uchyb regulacji,

•U(s) – sterowanie,

•Z(s) –zakłócenie,

•Y(s)–wielkość regulowana

Gr(s) – transmitancja regulatora,

G(s) – transmitancja obiektu regulacji

G

r

(s) G(s)

Z(s)

r

E(s) U(s) Y(s)

+ -

+

-

(39)

Jakość regulacji – dokładność statyczna Uchyb statyczny est

Błędem, odchyleniem lub uchybem statycznym

nazywamy uchyb regulacji występujący w układzie regulacji w stanie ustalonym.

Dla układu z powyższego schematu uchyb statyczny jest sumą uchybu pochodzącego od zakłócenia i uchybu pochodzącego od wartości zadanej:

r st z

st

st e e

e  

(40)

Jakość regulacji – jakość dynamiczna

Jakość dynamiczna regulacji może być określana na podstawie:

1. bezpośrednich wskaźników jakości wyznaczanych na podstawie przebiegu czasowego uchybu regulacji w układzie,

2. parametrów charakterystyki częstotliwościowej układu zamkniętego,

3. całkowych wskaźników jakości wyznaczanych na podstawie przebiegów czasowych uchybu regulacji.

(41)

Jakość regulacji – jakość dynamiczna

Bezpośrednie wskaźniki jakości

0 2 4 6 8 10 12

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05

0.1 0.15 0.2 0.25

e(t)

0.3

t e

m

e2

Tr

(42)

Jakość regulacji – jakość dynamiczna

Bezpośrednie wskaźniki jakości regulacji:

1. Czas regulacji T

r

jest to czas, po jakim uchyb regulacji jest w sposób trwały mniejszy od założonej wartości

. Najczęściej przyjmuje się  =5%.

2. Odchylenie maksymalne e

m

3. Przeregulowanie :

2

 100 % e

m

e

(43)

Częstotliwościowe wskaźniki jakości

Charakterystyka częstotliwościowa układu zamkniętego:

10-1 100 101 102

-180 -135 -90 -45 0

Bode Diagram

M(ω)

Φ(ω)

Mr

ωr ωp Mst

Mp

(44)

Częstotliwościowe wskaźniki jakości

Do oceny jakości regulacji są stosowane następujące parametry tej charakterystyki:

•M

r maksymalna wartość modułu transmitancji widmowej układu zamkniętego - powinna być jak najmniejsza,

p

szerokość pasma przenoszenia układu zamkniętego. Powinna być dobrana tak, aby zapewnić tłumienie zakłóceń wysokoczęstotliwościowych przy jednoczesnym poprawnym przenoszeniu sygnału użytecznego.

(45)

Całkowe wskaźniki jakości

0 2 4 6 8 10 12

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

e(t)

Uwagi wstępne: t

1. Miarą jakości regulacji jest wielkość pola figury ograniczonej przez wykres odpowiedzi czasowej uchybu regulacji.

2. Sens wskaźników całkowych – opisują one wielkość strat (np.

energii ) podczas przebiegu sterowania.

(46)

Całkowe wskaźniki jakości

Wskaźniki całkowe stosowane w praktyce:

0

1

e ( t ) dt

I

Tylko przebiegi aperiodyczne

0 2

3

e ( dt t ) I

0

2

e ( t ) dt

I

Przebiegi aperiodyczne i

oscylacyjne, trudne w analizie teoretycznej

Najczęściej stosowany

(47)

Całkowe wskaźniki jakości

Jeśli transformata Laplace’a uchybu regulacji jest znana i równa:

0 1

0 1

1 1

...

) ...

( a s a s a

c s

c s

s c

E

n

n

n n

To można podać analityczne wzory na wartość wskaźnika jakości I3:

(48)

Całkowe wskaźniki jakości

Dla n = 1:

Dla n = 2:

0 1

2 0

3

2 a a

Ic

1 2

2 0 0

2 2 1

3

2 a a

a c c a

I

(49)

Całkowe wskaźniki jakości

Dla n = 3:

) (

2

) 2

(

3 0

2 1

3

2 0 0

2 3

2 0 2

1 3

2 2 1

3

a a a a a

a c a c a

c c

a c

a

I

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :