Produkt grup 1 Definicja i przykłady produktów grup

Produkt grup

1 Definicja i przykłady produktów grup

Zadanie 1 Rozważmy dwie podgrupy G1, G₂ grupy G. Przy jakich założeniach odwzorowanie f : G₁ × G₂ → G, f (g₁, g₂) = g₁g₂, jest homomorfizmem grup? Kiedy to odwzorowanie jest izomorfizmem grup?

Zadanie 2 Podaj przykład izomorfizmu grup Z2× Z5 i Z10. Zadanie 3 Czy grupy Z3× Z3 i Z9 są izomorficzne?

Zadanie 4 Znajdź wszystkie podgrupy następujących grup:

a)Z2× Z4, b)Z3× Z3, c)Z2× Z5. 2 Suma prosta podgrup

Zadanie 5 Przedstaw grupę Z10 w postaci sumy prostej podgrup izomorficznych z grupami Z2 i Z5.

Zadanie 6 Czy grupę Z można przedstawić w postaci sumy prostej dwóch nietrywialnych pod- grup?

Zadanie 7 Przedstaw w postaci sumy prostej podgrup C = R+⊕ . . .

Zadanie 8 Udowodnij, że jeżeli B jest taką podgrupą grupy przemiennej A, że grupa A/B jest cykliczna, to istnieje podgrupa C grupy A, dla której A = B ⊕ C.

3 Twierdzenie o rozkładzie na sumę prostą podgrup

Zadanie 9 Wyznacz z dokładnością do izomorfizmu wszystkie grupy abelowe rzędu:

10, 25, 36, 100, 144, 180, 210, 1000.

Zadanie 10 Które z poniższych grup są izomorficzne:

Z6× Z6, Z2× Z18, Z2× Z3× Z6, Z2× Z12, Z2× Z2× Z3× Z3?

Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia z algebry, III rok informatyki, wiosna 2003.

Produkt grup, wersja pierwsza, 28 V 2003.

1