GAL II*, 16.03.2020 – zadania i wskazówki
Zadanie 1.
Wykaż, że automorfizm ϕ : kn → kn jest rzutem (czyli ϕ2= ϕ, gdzie ϕ2 to dwukrotne złożenie) wtedy i tylko wtedy, gdy jest diagonalizowalny i jego wartości własne pochodzą ze zbioru {0, 1}.
Zadanie 2.
Sprowadź macierz A do postaci Jordana:
A =
1 0 0 . . . 0 1 1 0 . . . 0 1 1 1 . . . 0 ... ... ... ... . . . 1 1 1 . . . 1
Zadanie 3.
Znajdż postać i bazę Jordana endomorfizmu zadanego macierzą
B =
−2 0 0 0
−1 −2 0 0
2 −2 0 1
−7 4 −4 −4
Zadanie 4.
Niech At, t ∈ C, będzie takim endomorfizmem przestrzeni liniowej C[x, y] wielomianów dwóch zmiennych, że At(x) = t2x, At(y) = t3y oraz At(vw) = At(v)At(w) dla dowolnych wielomianów v, w ∈ C[x, y]. Znajdź wszystkie podprzestrzenie C[x, y], które są niezmiennicze ze względu na wszystkie Atjednocześnie.
Zadanie 5.
Niech Aε, ε ∈ {1, ζ5, ζ52, ζ53, ζ54} (gdzie ζ5 to pierwiastek pierwotny stopnia 5 z 1), będzie takim endomorfizmem przestrzeni liniowej C[x, y] wielomianów dwóch zmiennych, że Aε(x) = ε2x, Aε(y) = ε3y. Znajdź wszystkie podprzestrzenie C[x, y], które są niezmiennicze ze względu na wszystkie Aε jednocześnie.
Zadanie 6. *
Niech A, B ∈ M2×2(C) takie, że AB = 0. Wykaż, że dla n 1
det(A + B)n = det(An+ Bn).
1
Wskazówki
1. Warto najpierw wyznaczyć wartości własne, a później zastanowić się, co się dzieje z tymi, które nie są własne, ale są w ker(ϕ − cI)2dla pewnej wartości własnej c.
2. Ile jest wektorów własnych?
3. Po wyznaczeniu wartości i wektorów własnych trzeba znajdować kolejne wektory bazowe przestrzeni pier- wiastkowych, zerowane przez (B − cI)n dla coraz większych n (gdzie c jest wybraną wartością własną).
4. Warto popatrzeć na przykłady: jak działa endomorfizm At na wybrany wielomian? Czy są jakieś proste wielomiany, które nie zmieniają się (z dokładnością do stałej) przy zastosowaniu At?
5. Jak w poprzednim zadaniu.
6. Ja znam nieszczególnie przyjemne rozwiązanie tego zadania, zaczynające się od ustalenia pewnej szczególnej postaci macierzy A i B. W szczególności warto zapytać, jaki mają rząd. Dalej niestety trzeba coś policzyć.
Może Państwo wymyślą eleganckie rozwiązanie?
2
