~40 MeVE V o ~30 MeV F

WSTĘP

DO FIZYKI JADRA

ATOMOWEGO A O

Wykład –4-6

2

Modele jądra atomowego

Oczekujemy wyjaśnienia:

• stałej gęstości materii jądrowej

• stałej energii wiązania

• własności jąder takich, jak spin, momenty elektromagnetyczne i ich związek z Z i N

• rozmieszczenia stabilnych izotopów na wykresie n=f(Z)

• występowania liczb magicznych

• prawidłowości występujących w stabilności izobarów względem rozpadu β

• systematyczności zmian energii rozpadu α ze zmianą Z i N

• rozszczepienia jąder

Modele jądrowe

cząstek niezależnych

powłokowy gazu Fermiego

silnego sprzężenia

powłokowy z oddziaływaniem resztkowym

kroplowy

zunifikowany

4

Model

kroplowy

jądra

wyjaśnia takie własności jądra:

• masa jądra

• energia wiązania

analogia do kropli cieczy:

• stała gęstość materii

• stała energia wiązania na nukleon

ee ee

ee

n n p p

ee

p p pp

p p

p p p p n n

n n n nn nn nn n

Kropla nieściśliwej cieczy

utrzymywana w równowadze przez krótkozasięgowe siły

mające własność wysycania się.

Energia wiązania kropli:

B = B ₁ + B ₂ + B ₃ + B ₄ + B ₅

B = B₁ + B₂ + B₃ + B₄ + B₅

-

energia objętościowa

B

₁

= a

_v

A

B = B₁ + B₂ + B₃ + B₄ + B₅

-

energia powierzchniowa

B

₂

= -a

_s

A

^2/3

B = B₁ + B₂ + B₃ + B₄ + B₅

-

energia kulombowska

B

₃

= -a

_c

Z

²

A

^-1/3

B = B₁ + B₂ + B₃ + B₄ + B₅

-

energia asymetrii

B

₄

= -a

_{A (}

Z-A/2)

²

A

^-1

B = B₁ + B₂ + B₃ + B₄ + B₅

-

energia pairingu +δ parzyste Z i N

B

₅ = 0 nieparzyste Z lub N

δ≈a

_δ

A

^-1/2

A a

A r

R R

V

_jadra

=

³

= =

_o ^1/3

=

_V

3 4 π

/ 2 3

/ 1

4 R

2

R r A a A

S

_jadra

= π = =

_o

=

_S

3 / 1 3 2

/ 1 2

5

3

₋

−

=

=

= =

= a Z A

eZ q

A r

R R

V

_{kilombowskie jadra}

q

^o _C

Z A a

V

2

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

=

6

półempiryczny wzór na energię wiązania:

( )

^1/2

2

3 / 1 2

3 /

2 2

, ⁻ ⎟ ± ⁻

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

−

−

−

= a A

A Z A a

A Z a A

a A

a A

Z

B _{v s c a δ}

ponieważ

(

^{Z, A}

)

^Zm

(

^{A Z}

)

^{m B / c2}

m = _H + − _n −

( ) ( ) ^1/2

2

3 / 1 2 3

/

2 2

, ^{− −}

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − +

+ +

−

− +

= a A

A Z A a A

Z a A

a A a m Z A Zm

A Z

m _{H n v s c a} μ δ

formuła masowa Weizsäckera

Stałe

a

_v

= 17.011mu = 15.85 MeV/c

²

a

_c

= 0.767mu = 0.71 MeV/c

²

a

_s

= 19.691mu = 18.34 MeV/c

²

a

_a

= 99.692mu = 92.86 MeV/c

²

a

δ

= 12.3mu = 11.46 MeV/c

²

Formuła opisuje średnie zachowanie

dla A>30 z dokładnością ~1%.

8

Model kroplowy traktuje jądro jako całość nic nie mówiąc o poszczególnych

nukleonach.

Wyjaśnił tylko:

• energię wiązania

• masę jądra.

Zależność masy w ciągu izobarów

A-nieparzyste

Istnieje tylko jeden izobar o minimalnej

wartości masy – to izobar stabilny

10

Zależność masy w ciągu izobarów

A-parzyste

Istnieje więcej niż jeden izobar o

minimalnej wartości masy – to izobary

stabilne

Szukanie minimum dla dowolnego jądra

o liczbach Z i A

to

( ^, ) _{= 0}

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

=const

Z

A

A Z

m

( ^{/ 2} ) ⁰

2

2

₀ ^1/3

+

₀

−

¹

= +

− m Z a A

⁻

a Z A A

⁻

m

_{p n C A}

0

a A m

A m

Z

^{p n A}

= +

⎥ ⎤

⎢ ⎡

+ +

= −

₋

12

Granice możliwości uzyskiwania energii

• oderwanie od jądra cząstki α

( ) ( ) ( )

[ ^{, − − 2 , − 4 − 2 , 4} ]

²

^{> 0}

= m Z A m Z A m c

E

_α

• proces rozszczepienia

Granice możliwości uzyskiwania energii

( ) ( )

[ ^{, − 2 / 2 , / 2} ]

²

^{> 0}

= m Z A m Z A c

E

_f

( ) ( )

( ^{a A A a Z Z A A} ) ^amu

c

E

_{f S C}

3 / 1 2

3 / 2

3 / 2 3

/ 1 2

3 / 2 3

/ 2 2

284 .

0 12

. 5

2 1

2 1

/

−

−

+

−

=

− +

−

=

zachodzi dla A od ~90

14

Jądro - gaz Fermiego

• nukleony (cząstki o spinie 1/2) znajdują się w studni potencjału

• w stanie podstawowym jądra zajęte są wszystkie stany dozwolone przez zakaz Pauliego i pomimo silnych

oddziaływań pomiędzy nukleonami cząstka nie może zmieniać swego stanu ruchu

• nukleony nie mogą ulegać zderzeniom → jądro

atomowe można w przybliżeniu traktować jako układ cząstek niezależnych

Dla dowolnie wybranego nukleonu można określić jego stany własne rozwiązując równanie Schrödingera

w średnim potencjale jądra, na który składają się

oddziaływania wszystkich innych nukleonów

Postać średniego potencjału jądra nie jest z góry znana

założenia:

• określony przez same nukleony

• winien być zgodny z warunkiem, że jądro ma stosunkowo ostro określony brzeg

• prostokątny sferycznie symetryczny potencjał V(r) o wartości -V_o dla r<R

o wartości V_o= 0 dla r≥R

Ψ Ψ

= H

E ˆ ^{ˆ =} ∑ ^η

²

^∇

²

^{+ 1} ∑

16

ponieważ cząstki nie oddziaływują ze sobą, to:

• wyznaczamy możliwe stany dla jednej z nich

• obsadzamy możliwe stany zgodnie z zakazem Pauliego

Niezależne od czasu równanie Schrödingera

dla cząstki w prostokątnej studni potencjału

Ψ

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

Ψ + ∂

∂

Ψ + ∂

∂

Ψ

− ∂

= ΔΨ

− E

z y

x m

m

²

2 2

2 2

2 2

2

2 2

η η

( ) ^{r = X} ( ) ( ) ( ) ^{x + Y y + Z z}

Ψ ^{E = E}

_x

^{+ E}

_y

^{+ E}

_z

układ swobodnych cząstek o spinie 1/2 zamkniętych nieprzenikalną ścianą - model gazu Fermiego

= 0

u

ij

jego jednowymiarowa forma:

( ) ^x

X x E

X

m =

^x

∂

−

²

∂

² ₂

2

η

to równanie postaci ^{k X} ( ) ^x

x

X

₂

2

2

= −

∂

∂ k 2mE

η

= 1

i ma rozwiązanie

(

^{k x i k x}

)

^B

(

^{k x i k x}

)

A e

B e

A

X_λ = _λ ^ikλx + _λ ^−ikλx = _λ cos _λ + sin _λ + _λ cos _λ − sin _λ

Wybór stałych A i B oraz wybór jednego z rozwiązań wynika z warunków brzegowych.

( )

^{ρ ρ}

18

Jeśli zamiast potencjału sferycznie symetrycznego wprowadzę

potencjał w formie kostki o boku a

, to warunki brzegowe są wówczas następujące:

X(x)=Y(y)=Z(z)=0 dla x=y=z=±a/2

Rozwiązaniami są funkcje mające zera na granicach potencjału i z warunków brzegowych wynikają unormowane rozwiązania postaci

,...

7 , 5

3, , 1

,

=

=

x

x

k a

x

λ

πλ

λ

+

+

x +

a k

Xλ cos λx

2

= 1

+

x a k

X_λ sin _λx 2

= i

− -

+

- ^0,2,4,6,...

,

=

=

x

x

k a

x

λ

πλ

λ

-

- -

( )

, 0 , 1 , 2 , 3 ,...

2 1 2

2 2 2

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

^x _x

x

k m a

E m

x

x

πλ λ

λ

η

λ

η

możliwe wartości energii cząstki:

dla rozwiązania trójwymiarowego zachodzi więc:

(

^{2 2 2}

)

2

2 1

z y

x z

y

x

E E m a

E

E π λ ₊ λ ₊ λ

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

+

= η

związany z tą energią pęd:

( )

π _⎞2

⎛ η

20

weźmy teraz prostokątny układ współrzędnych λ_x, λ_y, λ_z.

Ponieważ λ przybiera wartości całkowite - współrzędne tworzą przestrzenna siec punktów.

π

η

λ

= ak =

π

^ap

ponieważ

Objętość przestrzeni zdefiniowana przez te współrzędne jest proporcjonalna do

iloczynu objętości przestrzeni położeń a

³

i objętości przestrzeni pędów p

³

, wyrażonej w jednostkach h

³

,

_{3 3 3}

~

~ λ a p

Ω

Przestrzeń położeń i pędów nosi nazwę przestrzeni fazowej

Liczba możliwych stanów dn, czyli liczba możliwych punktów siatki leżących w warstwie kulistej ρ, ρ+dρ, gdzie , przy dostatecznej gęstości

punktów jest równa objętości warstwy

2 2

2 2

z y

x λ λ

λ

ρ = + +

ρ πρ d dΩ = 4 ²

ρ πρ

d d

dn ²

2 1 8

1 Ω =

=

Czynnik 1/8 uwzględnia fakt, że punkty o dodatnich wartościach λ leżą tylko w 1/8 kuli, więc

πτ τ

τ _{= =}

=

²

4

²

,

³

dp a p

dp

dn p

22

• ponieważ cząstka porusza się swobodnie w obrębie prostokątnej studni potencjału, równanie podaje liczbę możliwych stanów cząstki zamkniętej w objętości a³,

przypadających na przedział pędu dp.

• równanie jest równoważne stwierdzeniu, że w objętości przestrzeni fazowej równej h³ znajduje się tylko jeden stan.

( ) ^{E dE C E dE}

m

dn =

^3/2

2 π

²

η

^{3 −1}

τ =

₁

τ

p²=2mE, p²dp=(2m³E)^1/2dE

πτ τ π

τ = =

=

³

3 2

2 3

2

4 ,

2 p dp p dp a

dn η h

• w studni znajduje się pewna liczba cząstek o spinie 1/2

• w każdym stanie można umieścić tylko dwie cząstki

• poczynając od najniższego stanu obsadzamy coraz to wyższe

• załóżmy, że nie ma cząstek wzbudzonych (układ ma temperaturę T=0 K)

liczba cząstek na przedział energii ~E^1/2

• gdy jedna z dwu cząstek ma w najwyższym z zajętych stanów energię E_F to liczba cząstek w studni potencjału wynosi

• gdzie energia Fermiego

(

^3/2

) (

^{2 3}

)

^{1 3/2}

0 1 0

3 8

2

2 _F

E E

E m

dE E C

dE dE n dn

F

F = = ⋅

=

∫

^τ

∫

^{π η − τ}

3 / 2

24

W przypadku jądra znana jest liczba cząstek i objętość jaką zajmują

znajomość r_o wystarcza do określenia wartości E_F.

V o~40 MeV E F~30 MeV

Ponieważ mamy dwa rodzaje cząstek w jądrze -

• odpychająca siła kulombowska między protonami

powoduje zmniejszenie ich energii wiązania w studni potencjału

• jądro to układ dwóch niezależnych od siebie gazów Fermiego, znajdujących się w odmiennych warunkach energetycznych

26

Przebieg potencjału i stany energetyczne w modelu gazu Fermiego dla protonów i neutronów

Porównanie energii wiązania w symetrycznym i niesymetrycznym gazie Fermiego

Nadmiar neutronów w większości trwałych jąder jest więc spowodowany tym, że w stanie równowagi w studni potencjału dla neutronów można zmieścić więcej cząstek, niż w studni potencjału dla protonów, która jest płytsza o wartość energii kulombowskiej.

Wpływ ładunku protonu na wartość energii wiązania jądra Całkowita energia E_T gazu Fermiego

∫

⁼

∫

⁼

= ^{F F}

E

F E

T dE C E dE C E

dE E dn E

0

2 / 5 1 0

2 / 3

1 5

2 τ 4 τ

3 / 2 2

3 / 4 3 /

32

2

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

π τⁿ m

E_F η

3 / 2 3

/ 5 3

3 / 2 3

/ 5 2

−

−

=

= C n C n A

E

_T

τ

A r₀³ 3

4π τ =

28

Jeśli protony byłyby bez ładunku

i dla każdej części

wstawilibyśmy n=A/2 i otrzymalibyśmy

3 / 2 3

/ 5

3 2

2 1 ⎟ ⁻

⎠

⎜ ⎞

⎝

= C ⎛ A A E_T

Ponieważ protony mają ładunek, to dla lewej części mamy n=Z a dla prawej n=N i otrzymamy

(

^{5/3 5/3}

)

3 / 2

3

A N Z

C

E

_T

=

⁻

+

z różnicy otrzymamy

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ +

=

Δ ⁻

3 / 5 3

/ 5 3

/ 5 3

/ 2

3 2

2 1 A Z

N A

C E

(

^{Z N}

)

T_Z = − 2

1

A T

A T

A T

A A

C

E _{Z Z Z}²

3 / 5 3

/ 5 3

/ 5 3

/ 2

3 ~

2 2 1 2

1 2

1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

Δ ⁻

Stosując rozwinięcie dwumianowe piszemy

30

Promieniotwórczość

Jądra nietrwałe

• jądra w stanie podstawowym, które w wyniku emisji cząstek mogą zmieniać się

spontanicznie w jądra innego rodzaju

• jądra wzbudzone, które w wyniku

oddziaływań elektromagnetycznych mogą

przejść do stanu podstawowego

Procesy rozpadu jąder

He Y

X

^A_Z

A Z

4 2 4

2

+

⎯→

⎯

^{α −}₋

A e Z A

Z X ⎯⎯→^β− ₊₁Y + e⁻ +ν^~

A e Z A

Z X ⎯⎯→^β+ ₋₁Y + e⁺ +ν

A e Z WE

A

Z X + e⁻ ⎯⎯→ ₋₁Y +ν

γ

γ +

⎯

⎯ →

⎯ X

X ^rozpad _Z^A

A Z

*

określone

prawdopodobieństwo przejścia (rozpadu)

λ=|C|²,

gdzie amplituda przejścia C=<Ψ_f⏐V⏐Ψ_i>, zawiera stałe uniwersalne i zależy od funkcji falowych jąder, które z kolei zależą od stalych charakteryzujacych silne i slabe oddziaływania

prawdopodobieństwo rozpadu λ stanu nietrwałego jest

32

definicje

• stała rozpadu

dN=-λNdt

• N - liczba nietrwałych jąder w chwili t=0

• prawdopodobieństwo rozpadu pojedynczego jądra w jednostce czasu (1/sek)

• dN - liczba jąder, które uległy rozpadowi w czasie dt

• aktywność

⏐dN/dt⏐=λN≡A

Jednostki

•1 kiur = 1Ci = 3.7*10

¹⁰

rozpadów/s

•1 bekerel = 1Bq = 1 rozpad/s = 0.27*10

^-10

Ci

34

∫

∫

=

−

=

t

t N

N

dt N

dN

o 0

λ

N t N

o

λ

−

= ln

t o e

N t

N ( ) = ^{− λ}

N(t)

t

lnN(t)

t

o o

t

o

e A N

A

A =

^−λ

, ≡ λ

λ=tg∠

• czas połowicznego zaniku T _1/2 =ln2/λ

• średni czas życia

τ=1/λ

36

• krzywa wzrostu

t=0 M-N

_o

P-0

t=t M-N P- N

_o

-N=N’

(

^t

)

o

e

N t

N ' ( ) = 1 −

^−λ

N’(t)

t N_o

Rozpad sukcesywny

1 λ

₁

2 λ

₂

3

1

1 1N

dt

dN = −λ

2 2 1

2 1N N

dt

dN = λ − λ dN

e

t

N

N

₁

=

₀₁ ^−λ1

(

^{e t e t}

)

^{N e t}

N

N ₀₁ ^{1 2} ₀₂ ²

1 2

2 1

λ λ

λ

λ λ

λ _{− − − + −}

= −

( )

⎤

⎡ λ λ

38

Rozpad sukcesywny

1 λ

₁

2 λ

₂

3

1

1 1N

dt

dN = −λ

2 2 1

2 1N N

dt

dN = λ − λ

2 2

3 N

dt

dN = λ

e

t

N

N

₁

=

₀₁ ^−λ1

(

^{e t e t}

)

N

N ₀₁ ^{1 2}

1 2

2 1

λ λ

λ λ

λ _{− − −}

= −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− − + −

= N e^{− t} e^{− t}

N ^{2 1}

1 2

2 1

2 01 1

3 1 ^{λ λ}

λ λ

λ λ

λ λ

jeśli dla t=0 N₁=N₀₁ i N₀₂=N₀₃=0

Mieszanina substancji radioaktywnych powiązanych genetycznie i pozostawionych na przeciąg pewnego czasu

1 λ

₁

2 λ

₂

3

• przypadek I λ₂ >> λ₁^, λ₁ ≈ ⁰ A₁ - aktywność substancji macierzystej

const N

e N dt N

A₁ = dN¹ =

λ

_{1 1} =

λ

_{1 01} ^−λ1t ≅

λ

_{1 01} =

małe ~1

40

A₂ - aktywność substancji pochodnej

(

^{e t e t}

)

^N

(

^{e t}

)

N N

A ₀₁ ^{1 2} _{1 01} 1 ²

1 2

1 2 2

2 2

λ λ

λ λ

λ λ

λ

λ λ ⁻ − ⁻ ≅ − ⁻

= −

=

A₂ początkowo narasta, lecz po kilku nT2 e^{− nTλ2 2} ≅ 0 i

1 01

1

2

N A

A ≅ λ =

Aktywność sumaryczna

1 2

1

2

2

A

A A

A = + ⎯

_t

⎯ →

_>

⎯

_nT

Ze względu na małą wartość λ₁ aktywności są tu w przybliżeniu stałe w czasie i dlatego w takim przypadku mówimy o

promieniotwórczej równowadze wiekowej

• przypadek II λ₂ >> λ₁^, λ₁ ≈ ⁰ A₁ - aktywność substancji macierzystej

e

t

N dt N

A

₁

= dN

¹

= λ

_{1 1}

= λ

_{1 01} ^−λ1

A₂ - aktywność substancji pochodnej

( ^e

^t

^e

^t

)

N N

A

₀₁ ^{1 2}

1 2

1 2 2

2 2

λ λ

λ λ

λ

λ λ

⁻

−

⁻

= −

=

co po kilku czasach połowicznego zaniku substancji 2 daje

λt

λ

λ

=

λ

⁻

=

42

Aktywność substancji pochodnej zmienia się w czasie z tą samą stałą rozpadu co aktywność substancji macierzystej. Po tym czasie stosunek aktywności substancji pochodnej i macierzystej wynosi

1 2

2 1

2

λ λ

λ

= − A

A

Aktywność sumaryczna

t nT

t

N e

A A

A

¹

2 1 01

1 2

2 2

1

1 λ

^λ

λ λ

λ

₋

>

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ −

⎯

⎯ →

⎯ +

=

Po czasie równym nT₂ wszystkie aktywności zmieniają się w czasie ze stałą rozpadu substancji macierzystej. Ten przypadek nazywamy

przejściową równowagą promieniotwórczą

^.

• przypadek III _{λ2 < λ1}

A₁ - aktywność substancji macierzystej

e

t

N dt N

A

₁

= dN

¹

= λ

_{1 1}

= λ

_{1 01} ^−λ1

A₂ - aktywność substancji pochodnej

( ^e

^t

^e

^t

)

N N

A

₀₁ ^{1 2}

1 2

1 2 2

2 2

λ λ

λ λ

λ

λ λ

⁻

−

⁻

= −

=

44

Po kilku czasach nT₁

0

1

1

≅

e

− nT^λ

01 2

1

2 2 1

1

0 , A e

²

N

A

^{λ t}

λ λ

λ

λ

₋

= −

=

2 2

1

A

₁

A

A

A = + ⎯

_t

⎯ →

_>

⎯

_nT

Aktywność sumaryczna

• szeregi promieniotwórcze A=4n+s ^,

gdzie n jest liczbą całkowitą, a s=0,1,2,3

A szereg jądro t_1/2

wyjściowe

4n torowy

²³²

Th 1.4 10

¹⁰

y

4n+1 neptunowy

²³⁷

Np 2.14 10

⁶

y

4n+2 uranowy

²³⁸

U 4.47 10

⁹

y

4n+3 aktynowy

²³⁵

U 7.04 10

⁸

y

46

• sztuczna promieniotwórczość

• jądra wytworzone w wyniku reakcji jądrowych

• podlegają tym samym prawom statystycznym

( )^{n Na Mg e t gpdz}

Al , ₁₁²⁴ ₁₂^{24 ~}e, _1/2 15

27

13 α → + ⁻ +ν =

( )

^{n p C N e t y}

N , ¹⁴₆ ¹⁴₇ ^~ e, _1/2 5568

14

7 → + ⁻ +ν =

( ^, )¹¹₆ ¹¹₅ ^, _1/2 ^{20.39 min}

14

7 N p α C→ B + e⁺ +ν e t =

( ^, )¹³₇ ¹³₆ ^, _1/2 ^{9.965 min}

16

8O p α N→ C +e⁺ +ν e t =

( )^{, 15}₈ ¹⁵₇ ^, _1/2 ^{2.07 min}

14

7 N d n O→ N +e⁺ +νe t =

( )^{, 18}₉ ¹⁸₈ ^, _1/2 ^{109.77 min}

16

8O p n F→ O + e⁺ +ν e t =

dla

PET

datowanie

48

Rozpad α

_Z^A

^{X ⎯ ⎯→}

^α _Z^A−₋⁴₂

^{Y +}

₂⁴

^He

stosunki energetyczne

Q=M

_X

- (M

_Y

+m

_α

) > 0

Q=E

_Y

+E

_α

Teoria rozpadu α

_Z^A

X ⎯ ⎯→

^α _Z^A−₋⁴₂

Y +

₂⁴

He

• tożsamość cząstek α z jądrami helu wykazał Rutherford w 1908

• energię cząstek określano za pomocą ich zasięgu w powietrzu (do ~1930 roku) później zaczęto

stosować w tym celu spektrografy magnetyczne

• cząstka α o energii 5.3 MeV (²¹⁰Po) ma w powietrzu zasięg 3.84 cm

• obecnie dokładny pomiar energii cząstek mierzy się za pomocą detektorów półprzewodnikowych

50

Czynniki od jakich zależy

prawdopodobieństwo rozpadu α

teoria rozpadu na gruncie mechaniki kwantowej podana

przez G. Gamow’a podczas łączenia cząstki α z jądrem V(r)=Z₁Z₂e²/r

gdy r=R₁+R₂=R

zaczynają działać siły jądrowe to V_C= Z₁Z₂e²/R

• cząstka α w jądrze zostaje związana w jądrze

• p i n znajdują się w prawdziwych stanach związanych o ujemnej energii

• cztery nukleony łącząc się w cząstkę α w jądrze znajdują się w kwazistacjonarnym, metatrwałym stanie o dodatniej

energii - za to odpowiedzialna jest duża energia wiązania α

Prawdopodobieństwo λ emisji cząstki α to iloczyn

• prawdopodobieństwa λ _o utworzenia cząstki α

• prawdopodobieństwa T_α przeniknięcia bariery potencjału przez cząstkę α

λ = λ

_o

T

_α

T _α =

______________________________liczba skutecznych prób przenikania liczba wszystkich prób przenikania współczynnik przenikania (transmisji)

52

T _α =

______________________________liczba skutecznych prób przenikania liczba wszystkich prób przenikania współczynnik przenikania (transmisji)

strumień cząstek wychodzących poza barierą - j_a strumień cząstek dobiegających do bariery - j_e

_________________________________________

≡

Strumień (cm^-2s^-1)

j = |u|

²

v

prędkość cząstek gęstość prawdopodobieństwa położenia cząstki opisanej funkcją falową u(r) jest określona przez |u|²=u^*u

e e

a a

e e

a a

e a

k u

k k u

mv v p

u

v u

j

T j

₂

2 2

2

=

=

=

=

=

= η

α

Rozwiązując równanie Schrodingera w obszarach cząstki 1, 2 i 3

otrzymujemy rozwiązania

( )

r ik

o r

k r

k

r ik r

ik

e u

E V

m k

e e

u

mE k

e e

u

3

2, 2,

1 1

, 2 2

2 2

1 1

1 1

1 2 ,

1 2 ,

α

β α

β α

=

−

= +

=

= +

=

−

−

η η

części rzeczywiste na rysunku b)

k₂=ik₂’,0

54

Z warunku ciągłości na brzegach u₁ = u₂, u₁^’ = u₂^’ dla r=0

u₂ = u₃, u₂^’ = u₃^’ dla r=d

i wstawieniu rozwiązań otrzymamy 4 równania określające 5 amplitud α₁, β₁, α₂, β₂, α₃

co pozwoli wyznaczyć stosunki dowolnych dwu

2

1 3 2

1 2 3

α α α

α

α = =

T

( )

k d

o

o

o

e

V

V E

T V

₂ ^{2 2'}

2

2

2

4 − −

⁻

α

=

( )

1 '

2 2 2 2

2 2

1

3 sinh

1 2

−

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− + −

=

= k d

V E

V T V

o o

α o

α

α

dla grubej bariery dk₂’>>1

Ponieważ k_e=k₁=k₃=k_a

( ) ( )

[ ^{m V E d} ]

T

_α

≈ exp − 2 / η 2

_o

−

( )

k d

o

o

o

e

V

V E

T V

₂ ^{2 2'}

2

2

2

4 − −

⁻

α

=

ten czynnik decyduje o wartości

( ) [ ( ) ] _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − −

= ∫

^D

^{m V r E dr}

T

0

2 /

2

exp η

α

dla bariery o dowolnej postaci V(r)

to jest ~1

56

dla bariery V(r) postaci kulombowskiej

dr r E

e Z Z G m

gdzie e

T

R

R

G

⁼ ∫ ⁻

≈

⁻

' 2

2

2

1

, 2

α

η

( )

( )

^{x arc x x}

(

^x

)

^{x R R E V}_C

gdzie

x e

Z Z E m G

/ '

/

; 1

cos /

2 2 ₂

2 1

=

≡

−

−

=

=

γ η γ

G - czynnik Gamowa

• maleje ze wzrostem energii

• czasy połowicznego zaniku są tym

mniejsze im większa jest energia cząstek

t

_1/2

~1/λ~1/T~e

^G

, ln t

_1/2

~G~E

_α^-1/2

przedstawiając całkę w postaci skończonej

lnT _1/2 = A+B 1/(E _α ) ^1/2

związek między stałą rozpadu i energią rozpadu E_α ^dla

pierwiastków należących do tego samego szeregu α promieniotwórczego

A - stała w obrębie szeregu

B - stała dla wszystkich szeregów

58

Przykład:

235U→²³¹Th+⁴He, E_α=4.2 MeV

v_α=4*10⁹cm/s w jądrze o średnicy ~10^-12cm

~10

²¹

zderzeń/s

j_a~10^-38, j_e~(1-10^-38) → 1 na 10³⁸ zderzeń z barierą daje wyjście z jądra

Czas potrzebny na jeden rozpad

10³⁸zderzeń/rozpad / 10²¹ zderzeń/s ~ 10¹⁷ sek

j_e j_a

λ = λ

_o

T

_α

?

^dominujące

λ_o –iloczyn

(1) prawdopodobieństwa utworzenia cząstki α we wnętrzu jądra

(2) prawdopodobieństwa napotkania przez tę cząstkę brzegu potencjału

Przyczynek (1) zależy od konfiguracji nukleonów w jądrze i może być oszacowany za pomocą rachunków modelowych.