Wiek XVIII – analiza matematyczna
Pojęcia funkcji, granicy i szeregu, rodzina Bernoullich i Leonard Euler,
Taylor, Maclaurin, d’Alembert,
Lagrange i Laplace, Fourier
Początki – pojęcie funkcji
Badania Cavalieriego, Torricelliego i innych, odkrywanie nowych
krzywych, jak cykloida, metoda algebraiczna Kartezjusza w geometrii – doprowadziły około 1660 r. do stworzenia przez Newtona i Leibniza nowożytnej teorii infinitezymali, która otrzymała nazwę calculus lub, bardziej opisowo, rachunek różniczkowy i całkowy.
Podstawowym obiektem badań calculusa jest zmienna zależność jednej wielkości od drugiej. Słowo „funkcja” pojawiło się po raz pierwszy u Leibniza. Ukute od łacińskiego słowa fungŏr, functŭs (załatwiać,
zarządzać, spełniać), było przezeń używane dla wyrażenia niektórych zależności.
Ideę tę starał się sprecyzować Jan Bernoulli w 1718 r.: „Funkcją
wielkości zmiennej nazywa się wielkość liczbową zestawioną w dowolny sposób z owej wielkości zmiennej i stałych”.
Euler pisał: „Funkcja zmiennej wielkości liczbowej jest to wyrażenie analityczne, które jest dowolnie zestawione z owej zmiennej
wielkości liczbowej, liczb i stałych wielkości liczbowych”
Rodzina Bernoullich
Johann Bernoulli (1667- 1748) – matematyk i fizyk szwajcarski. Zajmował się rachunkiem różniczkowym, całkowym i wariacyjnym oraz liniami geodezyjnymi.
Sformułował i rozwiązał niezależnie od brata Jakoba
zagadnienie brachistochrony (krzywej wzdłuż której punkt materialny przesunie się od A do B w najkrótszym czasie). Był twórcą twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego, które umożliwia obliczanie granic wyrażeń dających w wyniku symbol nieoznaczony (reguła de l'Hospitala)
Odkrył talent matematyczny Leonharda Eulera. Johann Bernoulli
Jakob Bernoulli (1654-1705) – brat Johanna - zajmował się
rachunkiem rózniczkowym i całkowym, badał zagadnienie lemniskaty
i spirali logarytmicznej oraz zjawiska losowe.
Nicolaus Bernoulli (1695-1726) – syn Johanna - zajmował
sięgłównie zagadnieniami prawdopodobieństwa,
krzywych i równań różniczkowych.
Pojęcie granicy i szeregu
Brook Taylor (1685-1731) - angielski
matematyk, znany jako odkrywca pojęcia zwanego dziś szeregiem Taylora. W 1712 roku został przyjęty do Royal Society i
wyznaczony jako członek komisji, która miała rozstrzygnąć słynny spór między Newtonem a Leibnizem o
pierwszeństwo w odkryciu rachunku różniczkowego.
Colin Maclaurin (1698 - 1746) – szkocki matematyk. Zajmował się zbieżnością szeregów i teorią potencjału, podał
rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy.
Jean Le Rond d’Alembert (1717- 178) – francuski filozof, fizyk i matematyk.
Encyklopedysta i sekretarz Akademii Francuskiej. Twórca pojęcia granicy i symbolu lim.
Brooke Taylor
Colin Maclaurin
Jean Le Rond d’Alembert
Leonard Euler i analiza
Szwajcarski matematyk i fizyk uważany za jednego z najbardziej płodnych matematyków w historii.
Członek Petersburskiej Akademii Nauk oraz Pruskiej Akademii Nauk.
W dziele Introductio in Analisin Infinitorum (1748) przedstawił przegląd różnych rodzajów funkcji oraz pojęcia potrzebne do ich badania oraz intrygujący wzór eπi+1=0. Książka Institutiones Calculi
Differentialis (1755) zaczynała się od rachunku
różnic skończonych, po czym przeszła do rachunku różniczkowego, jako rachunku nieskończenie
małych różnic. Omawiał też różniczkowanie funkcji jednej i więcej zmiennych, pochodne wyższych
rzędów i równania różniczkowe. Wreszcie
Institutiones Calculi Integralis (1768-74) zawierała niemal kompletne omówienie całkowania, a w szczególności całkowanie wszystkich funkcji wprowadzonych w pierwszej książce.
Leonard Euler (1707-1783)
Inne prace Leonarda Eulera (wybór)
Teoria liczb: Udowodnił małe twierdzenie
Fermata, twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów, tożsamości Newtona (wzory
rekurencyjne wiążące sumy potęg wszystkich pierwiastków wielomianu z jego
współczynnikami) i fakt, że suma odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżna. Uzyskał
znaczne wyniki o liczbach doskonałych.
Teoria grafów: Rozwiązał problem znany jako zagadnienie mostów królewieckich.
Euler opracował też teorię funkcji specjalnych, wprowadzając funkcję Г; zaproponował także nową metodę rozwiązywania równań
czwartego stopnia. Znalazł sposób obliczania całek o granicach zespolonych,
zapoczątkowując tym rozwój nowoczesnej
analizy zespolonej. Dał początki rachunkowi wariacyjnemu z najbardziej znanym wynikiem tych rozważań – równaniem Eulera-Lagrange’a.
Przed rokiem 1772 Euler dowiódł, że liczba 231 − 1 = 2 147 483 647 jest liczbą pierwsząMersenne’a.
Schemat mostów na Pregole
Joseph Louis Lagrange (1736-1813)
Matematyk i astronom pochodzenia włoskiego, pracujący we Francji i w Berlinie. Współzałożyciel École Normale i École Polytechnique. Karierę matematyka Lagrange rozpoczął od rozwiązania zagadnienia izoperymetrycznego.
Przedstawił je w liście do Leonharda Eulera. Metoda Lagrange’a była nowatorska i elegancka – Lagrange stworzył podstawy rachunku wariacyjnego i przy jego pomocy rozwiązał problem, który od półwiecza zaprzątał umysły matematyków. Lagrange uzupełnił także luki w podanym przez Eulera dowodzie Zasadniczego
Twierdzenia Algebry.
W książce Théorie des fonctions analytiques (1797) Lagrange traktuje funkcje jako formalne szeregi potęgowe, dzięki czemu analiza matematyczna stała się w tym ujęciu analizą algebraiczną. Zamiarem Lagrange’a było
uwolnienie analizy matematycznej od niejasności
związanych z pojęciem wielkości „nieskończenie małej”.
Twierdzenie o wartości średniej, jedno z podstawowych dla rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
Lagrange sformułował właśnie w wersji algebraicznej.
Rozwinął także teorię ułamków łańcuchowych.
zagadnienie izoperymetryczne:
zadanie polegające na znalezieniu wśród płaskich
krzywych zamkniętych o danej długości tej, która
ogranicza obszar o maksymalnym polu.
Pierre Simon de Laplace (1749-1827)
Francuski matematyk, astronom, geodeta i fizyk, członek Paryskiej Akademii Nauk i Royal Society, nauczyciel École Normale i École Polytechnique.
Podstawowe dzieło Laplace’a to pięciotomowa Mechanika nieba, w której rozważał analizę wielu zmiennych i teorię potencjału. Wierzył, że świat jest poznawalny (deteminizm) i że równania różniczkowe są kluczem do zrozumienia wszechświata. Udowodnił
twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności równania różniczkowego.
Jest uważany za jednego z twórców nowoczesnej teorii prawdopodobieństwa (rozkłady prawdopodobieństwa dla dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych, transformata Laplace’a).
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
Podał równanie różniczkowe opisujące rozkład ciepła używając specyficznego szeregu, nazwanego później szeregiem trygonometrycznym lub szeregiem
Fouriera. Metoda ta okazała się skuteczna także w wielu innych przypadkach i po pewnym czasie teoria szeregów Fouriera stała się ważnym działem analizy matematycznej.
Szereg Fouriera to przedstawienie funkcji okresowej f w postaci sumy nieskończonego ciągu sinusów i
cosinusów pomnożonych przez współczynniki. Fourier podał wzory całkowe na te współczynniki i twierdził, że ten szereg jest zbieżny do f dla szerokiego zakresu funkcji.
(Warunki dostateczne, przy których szereg Fouriera jest zbieżny do rozwijanej funkcji podał Dirichlet.)
Transformata Fouriera, pozwalająca na rozbicie dowolnego sygnału na zbiór sinusoid z różnymi amplitudami i
przesunięciami, jest wykorzystywana między innymi do
kompresowania plików do formatów jpeg i mp3 Interesujące wykłady Macieja Kamasińskiego na temat reprezentacji sygnałów i zastosowania transformaty Fouriera można znaleźćna YouTube.
Carl Friedrich Gauss – princeps mathematicorum
Niemiecki matematyk, fizyk, astronom i geodeta, profesor
uniwersytetu w Getyndze i dyrektor tamtejszego obserwatorium astronomicznego. Uważany jest za jednego z największych geniuszy matematycznych świata.
W 1796 roku skonstruował przy użyciu cyrkla i linijki
siedemnastokąt foremny. Jako 24-latek opisał swoje odkrycia w dziedzinie teorii liczb: wprowadził pojęcie kongruencji i
udowodnił prawo wzajemności reszt kwadratowych sformułowane przez Eulera.
Podał definicję krzywizny powierzchni i udowodnił, że krzywizna powierzchni jest niezmiennikiem wszelkich przekształceń, które nie zmieniają odległości mierzonych na tej powierzchni.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Gauss używał konsekwentnie liczb zespolonych, interpretując je jako punkty płaszczyzny. Rozumiał doskonale znaczenie liczb zespolonych jako narzędzia matematyki. Jego dysertacja doktorska zawiera zasadnicze twierdzenie algebry.
Zajmował się także równaniami różniczkowymi i teorią potencjału, teorią szeregów, metodami pomiarów geodezyjnych, statystyką matematyczną i geometrią sferyczną.
