Matematyka XIX wieku - wybór subiektywny
A. Analiza
• Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - pojęcie granicy i funkcji ciągłej, kryteria zbieżności szeregów; precyzja i ścisłość metodologii; dowód twierdzenia Taylora, analiza zespolona (twierdzenie o residuach), rachunek różniczkowy (twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego); student i profesor Ėcole Politechnique, profesor Sorbony i College de France; autor wzorcowych podręczników analizy
matematycznej.
• Bernhard Riemann (1826-1866) - analiza zmiennej zespolonej, pojęcie funkcji holomorficznej (doktorat - o wykresach funkcji zespolonych); kanon obliczania całki (habilitacja - całka Riemanna); profesor Uniwersytetu w Getyndze członek korespondent Berlińskiej Akademii Nauk i Royal Society.
• Carl Weierstrass (1815-1897) - arytmetyzacja analizy, twórca precyzyjnego pojęcia granicy; istotność założeń i kontrprzykładów; profesor Uniwersytetu Berlińskiego, nauczyciel Georga Cantora, Feliksa Kleina i Sofii Kowalewskiej.
• Sofja Kowalewska (1850-1891) - rosyjska matematyczka polskiego pochodzenia; równania różniczkowe (cząstkowe), członek Petersburskiej Akademii Nauk.
B. Algebra
• Niels Henrik Abel (1802-1829) -matematyk norweski, teoria szeregów i całek eliptycznych, znalazł wzór na rozwiązanie 5-go stopnia, udowodnił niemożliwość rozwiązania równania algebraicznego stopnia wyższego niż cztery przez pierwiastniki.
• Évariste Galois (1811-1832)- rozwiązalność równań wielomianowych, jeden z prekursorów teorii grup; teoria Galois.
• Augustin Louis Cauchy - teoria grup, teoria wyznaczników.
C. Geometrie nieeuklidesowe
• próby zastąpienia piątego postulatu Euklidesa
• Carl Friedrich Gauss - pojęcie krzywizny powierzchni, rozważania na temat geometrii nieeuklidesowych
• Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski (1793-1856) - profesor Uniwersytetu Kazańskiego;
geometria hiperboliczna
• János Bolyai (1802-1860) - matematyk węgierski, geometria hiperboliczna (także liczby zespolone).
• Felix Christian Klein (1849 - 1925) – profesor uniwersytetu w Getyndze, członek Berlińskiej Akademii Nauk; usystematyzował geometrię, badał izometrie, podobieństwa, przekształcenia afiniczne i rzutowe;
• Berhard Riemann - rozmaitości Riemanna, pytanie o krzywiznę wszechświata (wykład habilitacyjny "O hipotezach jakie leżą u podstaw geometrii")
D. Topologia
• Carl Friedrich Gauss - pojęcie otoczenia punktu na płaszczyźnie i punktu skupienia
• Henri Poincaré (1854-1912) - profesor Sorbony, członek paryskiej Akademii Nauk; współtwórca topologii kombinatorycznej, znany jako autor hipotezy Poincarégo - "Każda trójwymiarowa zwarta i jednospójna rozmaitość topologiczna bez brzegu jest homeomorficzna ze sferą trójwymiarową, czyli brzegiem czterowymiarowej kuli" - udowodniona w 2006 roku przez Perelmana
• Frederic (Frigyes) Riesz (1880-1956) - matematyk węgierski; pojęcie przestrzeni topologicznej oraz zbioru otwartego, aksjomaty oddzielania
• Bronisław Knaster, Kazimierz Kuratowski
E. Teoria mnogości, moce
• Georg Cantor (1845-1918) - równoliczność, zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, nieprzeliczalność odcinka (0,1), równoliczność odcinka i kwadratu, twierdzenie Cantora- Bernsteina, twierdzenie Cantora, hipoteza continuum
• Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953) – sformułował jeden z podstawowych dla teorii mnogości aksjomatów zwany aksjomatem wyboru i z jego pomocą udowodnił twierdzenie mówiące, że każdy zbiór można dobrze uporządkować. W 1905 rozpoczął prace nad aksjomatyzacją teorii mnogości i w 1908 przedstawił system jej aksjomatów.
System ten został następnie zmodyfikowany niezależnie przez Fraenkela i Skolema i pod nazwą aksjomatów Zermelo-Fraenkela jest do dziś najpowszechniej stosowanym systemem aksjomatów teorii mnogości.
• Kurt Gödel (1906-1978) –twierdzenia o niezupełności i niesprzeczności teorii dedukcyjnych
• Paul Cohen (1934-2007) - profesor Stanford University; udowodnił niezależność aksjomatu wyboru i hipotezy continuum od aksjomatów Zermelo-Fraenkela teorii mnogości.
F. Dawid Hilbert (1862-1943) - profesor Uniwersytetu w Getyndze, zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej.
• W1899 roku podał formalne aksjomatyczne ujęcie geometrii klasycznej.
• Badania Hilberta w zakresie rachunku wariacyjnego oraz teorii równań całkowych doprowadziły do powstania ważnego pojęcia przestrzeni Hilberta oraz innych pojęć analizy funkcjonalnej.
• Na początku lat dwudziestych podjął badania w zakresie podstaw matematyki. Wystąpił z programem sformalizowania logiki matematycznej; szukał sposobu zagwarantowania zupełności i niesprzeczności układu aksjomatów teorii matematycznej.
• W 1900 r., na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu, przedstawił 23 zagadnienia (tzw. problemy Hilberta) dotyczące podstawowych, według niego, kierunków badań matematycznych, które do dzisiaj przyciągają uwagę matematyków całego świata.
