Podstawy wytrzymałości materiałów

Podstawy wytrzymałości materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz B2, II p., pok. 206

E-mail: machniew@agh.edu.pl

IMiR - MiBM - Dodatek Nr 1

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

Momenty statyczne, środek ciężkości figury i jego wyznaczanie, momenty bezwładności, główne centralne osie bezwładności, promienie bezwładności, twierdzenia Stainera, transformacja przez obrót.

D1.1. Znaczenie parametrów geometrycznych figur płaskich

przy ocenie wytrzymałości obiektów Figurami płaskimisą przekroje obiektów, w których wyznaczane są siły wewnętrzne i naprężenia.

Podstawowym parametrem charakteryzującym figurę jest jej pole powierzchni – wielkość mianowana charakteryzująca rozmiar figury.

Pole powierzchni (A) reprezentuje wpływ cech geometrycznych obiektu na jego wytrzymałość jedynie w niektórych przypadkach obciążeń, jak:

rozciąganie/ściskanie ścinanie techniczne docisk powierzchniowy

𝝈_𝒓(𝝈_𝒄) = 𝑵

𝑨 ≤ 𝒌_𝒓(𝒌_𝒄) 𝝉 = 𝑻

𝑨_𝒕 ≤ 𝒌_𝒕 𝒑_𝒅 = 𝑭

𝑨_𝒅 ≤ 𝒌_𝒅

D1.1. Pole powierzchni figury

http://projects.kmi.open.ac.uk

W przypadkach takich obciążeń, jak zginanie lub skręcanie, wytrzymałość elementu zależy nie tylko od wielkości ale i od kształtu pola przekroju poprzecznego, a przy zginaniu także od zorientowania tegoż kształtu względem kierunku momentu zginającego.

Do opisu tych cech konieczne jest wprowadzenie nowych wielkości geometrycznych charakteryzujących przekrój elementu, tj. momentów geometrycznych drugiego stopnia– tzw. momentów bezwładności .

Redukcja sił wewnętrznych w przekroju elementu wymaga znajomości położenia jego geometrycznego środka ciężkości, przyjmowanego jako biegun redukcji rozważanego układu sił.

Wyznaczenie współrzędnych środka ciężkości figury płaskiej wymaga znajomości momentów geometrycznych pierwszego stopnia, czyli tzw. momentów statycznych.

D1.2. Momenty pierwszego stopnia - momenty statyczne

y

x

dA A

x y

Moment statyczny (dS) elementu pola (dA) obliczymy:

 względem osi x, jako: 𝒅𝑺_𝒙 = 𝒚 ∙ 𝒅𝑨

 względem osi y, jako: 𝒅𝑺_𝒚 = 𝒙 ∙ 𝒅𝑨

𝑺_𝒙 ≝ න

𝑨

𝒚 ∙ 𝒅𝑨 Stąd:

Momenty statyczne figury o polu A względem osi x i y definiujemy odpowiednio jako:

𝑺_𝒚 ≝ න

𝑨

𝒙 ∙ 𝒅𝑨

(… mm³, cm³, m³ …)

jednostka:

gdzie න

𝑨

oznacza całkę liczoną po całym polu figury A

Uwaga: Momenty statyczne mogą mieć wartość dodatnią, ujemną lub równą zeru.

D1.2. Momenty pierwszego stopnia - momenty statyczne

Przykład 1: Obliczyć momenty statyczne prostokąta o szerokości b i wysokości h względem osi x i y przechodzących przez jego boki.

y

b x

hdyy

dA=bdy

𝑺_𝒙 ≝ න

𝑨

𝒚 ∙ 𝒅𝑨 = න 𝒚 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅𝒚 0

h

= 𝒚^𝟐 𝟐 ∙ 𝒃

𝟎 𝒉

=𝒉^𝟐 ∙ 𝒃 𝟐

𝑺_𝒙 = 𝒉 ∙ 𝒃 ∙𝒉

𝟐 𝑺_𝒙 = 𝑨 ∙ 𝒚_𝒄

A=bh

y c

C

y

x

h

x dx ^dA=hdx

A=bh

x_c C

b

𝑺_𝒚 ≝ න

𝑨

𝒙 ∙ 𝒅𝑨 = න 𝒙 ∙ 𝒉 ∙ 𝒅𝒙 0

b

= 𝒙^𝟐 𝟐 ∙ 𝒉

𝟎 𝒃

=𝒃^𝟐 ∙ 𝒉 𝟐

𝑺_𝒚 = 𝒃 ∙ 𝒉 ∙𝒃

𝟐 𝑺_𝒚 = 𝑨 ∙ 𝒙_𝒄

C – środek ciężkości prostokąta

D1.2. Momenty pierwszego stopnia - momenty statyczne

Moment statyczny dowolnej figury jest iloczynem pola tej figury i odpowiedniej współrzędnej jej środka ciężkości, określającej jego odległość od osi, względem której moment statyczny jest liczony.

Twierdzenie 1

𝑺_𝒙 = 𝑨 ∙ 𝒚_𝒄 𝑺_𝒚 = 𝑨 ∙ 𝒙_𝒄

y

x 𝑨

𝒚_𝒄 C

𝒙_𝒄

Momenty statyczne obliczane względem osi symetrii lub względem prostych przechodzących środek symetrii są równe zero.

Twierdzenie 2

𝑺_𝒌 = 𝟎

Jeśli figura o polu A podzielona została w sposób całkowity na nczęści o polach A_i, to moment statyczny całej figury A względem danej osi (𝑺^𝑨) równy jest sumie momentów statycznych wszystkich części tej figury (𝑺^𝑨𝒊) liczonych względem tej samej osi.

Twierdzenie 3

𝑺_𝒙^𝑨 = ෍

𝒊=𝟏 𝒏

𝑺_𝒙^𝑨𝒊 𝑺_𝒚^𝑨 = ෍

𝒊=𝟏 𝒏

𝑺_𝒚^𝑨𝒊

𝑺_𝒚^𝑨 = σ 𝑺_𝒚^𝑨𝒊 𝑺_𝒙^𝑨 = σ 𝑺_𝒙^𝑨𝒊

y

x

A

l

𝑺_𝒍 = 𝑺_𝒍 − 𝑺_𝒍

y

x

A₁ A₂

A_i A_n

…

…

… k

D1.3. Środek ciężkości figury

Środkiem ciężkości figury płaskiej nazywamy punkt o współrzędnych:

𝐱_𝐂 ≝ 𝑺_𝒚 𝑨

y

x A

y_c C

x_c

𝐲_𝐂 ≝ 𝑺_𝒙 𝑨

gdzie: S_x, S_y – momenty statyczne figury odpowiednio względem osi x i y,

A – pole powierzchni figury

Osie układu współrzędnych przechodzące przez środek ciężkości figury nazywamy osiami centralnymi.

Jeżeli figura ma oś symetrii to oś ta przechodzi przez środek ciężkości figury.

Twierdzenie 4

Jeżeli figura ma środek symetrii to jest on równocześnie środkiem ciężkości tejże figury.

Twierdzenie 5

C

C C C C

C X_c

Y_c

D1.4. Sposób wyznaczania środka ciężkości figury

y

x

A Dana jest dowolna figura o polu powierzchni A.

1. Przyjmujemy układ współrzędnych x-y.

2. Dokonujemy podziału figury A na n części, w taki sposób by dla każdej z tych części

móc w łatwy sposób obliczyć pole i wskazać jej środek ciężkości.

𝑨 = ෍

𝒊=𝟏 𝒏

𝑺_𝒊

3. Obliczamy momenty statyczne całej figury (A), względem

obydwu osi układu

współrzędnych (𝑺_𝒙^𝑨, 𝑺_𝒚^𝑨), jako sumy momentów statycznych (𝑺_𝒙^𝑨𝒊, 𝑺_𝒚^𝑨𝒊) względem odpowiednich osi wszystkich części figury (A_i) na jakie podzielono całe poleA.

𝑺_𝒙^𝑨 = ෍

𝒊=𝟏 𝒏

𝑺_𝒙^𝑨𝒊

𝑺_𝒚^𝑨 = ෍

𝒊=𝟏 𝒏

𝑺_𝒚^𝑨𝒊 4. Obliczamy współrzędne środka ciężkości całej figuryA jako:

𝒙_𝑪 = 𝑺_𝒚

𝑨 = σ_𝒊=𝟏^𝒏 𝑺_𝒚^𝑨𝒊

σ_𝒊=𝟏^𝒏 𝑨_𝒊 = σ_𝒊=𝟏^𝒏 𝒙_𝑪𝒊 ∙ 𝑨_𝒊

σ_𝒊=𝟏^𝒏 𝑨_𝒊 𝒚_𝑪 = 𝑺_𝒙

𝑨 = σ_𝒊=𝟏^𝒏 𝑺_𝒙^𝑨𝒊

σ_𝒊=𝟏^𝒏 𝑨_𝒊 = σ_𝒊=𝟏^𝒏 𝒚_𝑪𝒊 ∙ 𝑨_𝒊 σ_𝒊=𝟏^𝒏 𝑨_𝒊

y_C1

x_C1

…

…

x_Ci y_Ci

A₁

A_i

A_n

x_Cn y_Cn

A₂ …

D1.4. Sposób wyznaczania środka ciężkości figury

Przykład 2: Wyznaczyć położenie środka ciężkości przekroju jak na rysunku.

𝐲







𝒙

100 60

20

20

≡ 𝒚_𝑪

20

𝒙_𝑪 = 𝟎 (zgodnie z twierdzeniem 4) 𝒚_𝑪 = 𝑺_𝒙

𝑨 𝑺_𝒙 = ෍

𝒊=𝟏 𝒏

𝑺_𝒙^𝑨𝒊 = ෍

𝒊=𝟏 𝒏

𝒚_𝑪𝒊 ∙ 𝑨_𝒊

𝑨 = ෍

𝒊=𝟏 𝒏

𝑨_𝒊 = 𝟐 ∙ 𝟔 + 𝟐 ∙ 𝟏𝟐 + 𝟐 ∙ 𝟏𝟎

𝑺_𝒙 = 𝟐 ∙ 𝟔 ∙ 𝟕 + 𝟎 + 𝟐 ∙ 𝟏𝟎 ∙ −𝟕 = −𝟓𝟔 𝐜𝐦^𝟑

= 𝟓𝟔 𝐜𝐦^𝟐

𝒚_𝑪 = 𝑺_𝒙

𝑨 = −𝟓𝟔

𝟓𝟔 = −𝟏 𝐜𝐦 y C1=70y C3= ̶70

𝒙_𝑪 𝒚𝑪=−𝟏𝟎

160

D1.4. Sposób wyznaczania środka ciężkości figury

Przykład 3: Jak obliczyć moment statyczny przekroju jak na rysunku?











𝒙

𝑺_𝒙 = 𝑺_𝟏𝒙 + 𝑺_𝟐𝒙 + 𝑺_𝟑𝒙

𝒙

𝑺_𝒙 = 𝑺_𝟏𝒙 − 𝑺_𝟐𝒙

𝒙

D1.5. Momenty drugiego stopnia - momenty bezwładności

y

x

dA A

x y

Dla figury płaskiej o polu powierzchni A, opisanej w kartezjańskim układzie współrzędnych x-y definiuje się następujące geometryczne momenty drugiego stopnia (momenty bezwładności):

𝑱_𝒙 ≝ න

𝑨

𝒚^𝟐 ∙ 𝒅𝑨

jednostki:

Uwaga: Momenty osiowe i moment biegunowy mogą być tylko dodatnie, moment dewiacji może być dodatni ujemny lub równy zeru.

𝑱_𝒚 ≝ න

𝑨

𝒙^𝟐 ∙ 𝒅𝑨

𝑱_𝑶 ≝ න

𝑨

𝒓^𝟐 ∙ 𝒅𝑨

𝑱_𝒙𝒚(𝑫_𝒙𝒚) ≝ න

𝑨

𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨

… 𝐦𝐦^𝟒

𝐜𝐦^𝟒 𝐦^𝟒

… Momenty statyczne

(pierwszego stopnia) 𝑺_𝒙 ≝ න

𝑨

𝒚 ∙ 𝒅𝑨

𝑺_𝒚 ≝ න

𝑨

𝒙 ∙ 𝒅𝑨 O

D1.5. Momenty drugiego stopnia - momenty bezwładności

Moment bezwładności (J_O), obliczany względem bieguna układu współrzędnych x-y, równy jest sumie momentów osiowych J_x oraz J_y.

Twierdzenie 6

𝑱_𝑶 = 𝑱_𝒙 + 𝑱_𝒚

Momenty bezwładności są addytywne (podobnie jak momenty statyczne), tzn:

Twierdzenie 7

𝑱_𝒙^𝑨 = ෍

𝒊=𝟏 𝒏

𝑱_𝒙^𝑨𝒊

𝑱_𝒚^𝑨 = ෍

𝒊=𝟏 𝒏

𝑱_𝒚^𝑨𝒊

Dowód: ^y

x dA A

x y

O 𝑱_𝑶 ≝ න

𝑨

𝒓^𝟐 ∙ 𝒅𝑨 = න

𝑨

(𝐱^𝟐+𝐲^𝟐) ∙ 𝒅𝑨 = න

𝑨

𝐲^𝟐 ∙ 𝒅𝑨 + න

𝑨

𝐱^𝟐 ∙ 𝒅𝑨 = 𝑱_𝒙 + 𝑱_𝒚

𝑱_𝑶^𝑨 = ෍

𝒊=𝟏 𝒏

𝑱_𝑶^𝑨𝒊

𝑱_𝒙𝒚^𝑨 = ෍

𝒊=𝟏 𝒏

𝑱_𝒙𝒚^𝑨𝒊

y

x

y

x

y

x

y

x

= + ̶

𝑱 = 𝑱_ + 𝑱_ – 𝑱_

Np.

D1.5. Momenty drugiego stopnia - momenty bezwładności

Jeżeli figura posiada oś symetrii, z którą pokrywa się chociaż jedna z osi układu współrzędnych, to moment dewiacji J_xyobliczany względem takiego układu osi jest równy zero.

Twierdzenie 8

y

x

𝑱_𝒙𝒚 = න

𝑨

𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨 = 𝟎 𝒅𝑨_𝒊

𝒅𝑨_𝒊′

𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨_𝒊 = −𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨_𝒊′

stąd:

Dla każdego wycinka pola powierzchni 𝒅𝑨_𝒊 istnieje taki symetryczny wycinek𝒅𝑨_𝒊′ = 𝒅𝑨_𝒊, że:

න

𝑨(𝒙>𝟎)

𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨 = − න

𝑨(𝒙<𝟎)

𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨 więc:

Dowód:

𝑱_𝒙 ≝ න

𝑨

𝒚^𝟐 ∙ 𝒅𝑨

𝑱_𝒚 ≝ න

𝑨

𝒙^𝟐 ∙ 𝒅𝑨

𝑱_𝟎 ≝ න

𝑨

𝒓^𝟐 ∙ 𝒅𝑨 D1.6. Promienie bezwładności

Promień bezwładności względem osi k (lub bieguna O) jest to taka odległość i_kod prostej k (lub i_Ood bieguna O), w której skupione całe pole figury (A) daje moment bezwładności względem tej prostej (lub tego bieguna) równy rzeczywistemu momentowi rozważanej figury.

Momenty statyczne 𝑺_𝒙 ≝ න

𝑨

𝒚 ∙ 𝒅𝑨 𝑺_𝒙 = 𝒚_𝑪 ∙ 𝑨

𝑺_𝒚 ≝ න

𝑨

𝒙 ∙ 𝒅𝑨 𝑺_𝒚 = 𝒙_𝑪 ∙ 𝑨 y

x

dA A

x y

O

𝑱_𝒙 = 𝒊_𝒙^𝟐 ∙ 𝑨

𝑱_𝒚 = 𝒊_𝒚^𝟐 ∙ 𝑨

𝑱_𝑶 = 𝒊_𝑶^𝟐 ∙ 𝑨 𝒊_𝒙 ≝ 𝑱_𝒙

𝑨 𝒊_𝒚 ≝ 𝑱_𝒚

𝑨 𝒊_𝑶 ≝ 𝑱_𝟎

𝑨

Pomiędzy promieniami bezwładności względem osi układu współrzędnych x–y (𝒊_𝒙 i 𝒊_𝒚 ), a promieniem bezwładności względem bieguna tego układu (𝒊_𝑶) zachodzi zależność:

Twierdzenie 9

𝒊_𝑶^𝟐 = 𝒊_𝒙^𝟐 + 𝒊_𝒚^𝟐

Dowód: 𝑱_𝑶 = 𝑱_𝒙 + 𝑱_𝒚

𝑱_𝒙 = 𝑨 ∙ 𝒊_𝒙^𝟐 𝑱_𝒚 = 𝑨 ∙ 𝒊_𝒚^𝟐 𝑱_𝑶 = 𝑨 ∙ 𝒊_𝑶^𝟐

gdzie:

𝑨 ∙ 𝒊_𝑶^𝟐 = 𝑨 𝒊_𝒙^𝟐 + 𝒊_𝒚^𝟐 𝒊_𝑶^𝟐 = 𝒊_𝒙^𝟐 + 𝒊_𝒚^𝟐

D1.7. Główne centralne momenty bezwładności

Układ osi względem którego mement dewiacji J_xy=0 nazywamygłównymi osiami bezwładności.

Momenty bezwładności obliczane względem tych osi przyjmują wartości ekstremalne i nazywamy je głównymi momentami bezwładności.

Jeżeli którakolwiek z osi układu współrzędnych pokrywa się z osią symetrii rozważanej figury, to osie te są głównymi osiami bezwładności (por. twierdzenie 8).

Główne osie bezwładności przechodzące przez środek ciężkości figury nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności, a obliczane względem nich momenty drugiego stopnia to główne centralne momenty bezwładności.

A

x

y 𝑱_𝒙 + 𝑱_𝒚 = 𝑱_𝑶

O

= 𝑱_𝜼 + 𝑱_𝝃



Suma momentów bezwładności względem osi układów współrzędnych o wspólnym biegunie jest stała, chociaż wartości poszczególnych momentów osiowych zmieniają się wraz z obrotem układu współrzędnych względem bieguna.

Musi istnieć taki kąt ₀ dla którego momenty osiowe będą przyjmować wartości ekstremalne. Położenie takie wyróżnia zerowa wartość momentu dewiacji liczonego względem danego układu osi (por. p. D1.10).

D1.7. Główne centralne momenty bezwładności

Przykład 4: Obliczyć główne centralne momenty bezwładności prostokąta o szerokości b i wysokości h.

y_C

x_C

b

dyy

dA=bdy

𝑱_𝒙 ≝ න

𝑨

𝒚^𝟐 ∙ 𝒅𝑨 = න 𝒚^𝟐 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅𝒚

−𝒉 𝟐

𝒉 𝟐

= 𝒚^𝟑 𝟑 ∙ 𝒃

−𝒉 𝟐 𝒉 𝟐

= 𝒃 ∙ 𝒉^𝟑 𝟏𝟐

A=bh

C

x dx ^dA=hdx

𝑱_𝒚 ≝ න

𝑨

𝒙^𝟐 ∙ 𝒅𝑨 = න 𝒙^𝟐 ∙ 𝒉 ∙ 𝒅𝒙

−𝒃 𝟐 𝒃 𝟐

= 𝒙^𝟑 𝟑 ∙ 𝒉

−𝒃 𝟐 𝒃 𝟐

= 𝒉 ∙ 𝒃^𝟑 𝟏𝟐

hNa pamięć !!

y_C

x_C a

a

y_C

x_C

y_C

x_C y_C

x_C b

h

y_C

x_C b

h h/3

C

𝑱_𝒙𝒄 = 𝒃 ∙ 𝒉^𝟑 𝟏𝟐 𝑱_𝒚𝒄 = 𝒉 ∙ 𝒃^𝟑

𝟏𝟐

𝑱_𝒙𝒄 = 𝑱_𝒚𝒄=

= 𝝅𝒅^𝟒 𝟔𝟒

𝑱_𝒙𝒄 = 𝒃 ∙ 𝒉^𝟑 𝟑𝟔 𝑱_𝒚𝒄 = 𝒉 ∙ 𝒃^𝟑

𝟒𝟖 𝑱_𝒙𝒄 = 𝑱_𝒚𝒄 = 𝒂^𝟒

𝟏𝟐

𝑱_𝒙𝒄 = 𝒅^𝟒 𝟏𝟔

𝝅 𝟖 − 𝟖

𝟗𝝅 𝑱_𝒚𝒄 = 𝝅𝒅^𝟒

𝟏𝟐𝟖 y_C

x_C C

𝒚𝒄=𝟒𝒓 𝟑𝝅

d

D1.8. Twierdzenie Steinera

A

x_C y_C

OC w

b

a

dA

v

x Przyjmujemy prostokątny układ współrzędnych (x, y) o początku leżącym w środku ciężkości pola A figury.

Dane: a, b, r, J_x, J_y, J_C, J_xy Szukane: J_u, J_v, J_W, J_uv

𝑱_𝒖 ≝ න

𝑨

𝒗^𝟐 ∙ 𝒅𝑨 = න

𝑨

𝒚 − 𝒂 ^𝟐 ∙ 𝒅𝑨

= න

𝑨

𝒚^𝟐 ∙ 𝒅𝑨 − 𝟐𝒂 න

𝑨

𝒚 ∙ 𝒅𝑨 + 𝒂^𝟐 න

𝑨

𝒅𝑨

𝑱_𝒙𝑪 𝑺_𝒙𝑪 = 𝟎 𝑨

x_Cto oś centralna

Stąd:

𝑱

= 𝑱

+ 𝒂

∙ 𝑨

Podobnie:

𝑱

= 𝑱

+ 𝒃

∙ 𝑨

𝑱_𝑾 = 𝑱_𝒖 + 𝑱_𝒗

𝑱

= 𝑱

+ 𝒓

∙ 𝑨 𝑱

= 𝑱

+ 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝑨

= 𝑱_𝒙𝑪 + 𝑱_𝒚𝑪 + 𝑨 𝒂^𝟐 + 𝒃^𝟐 𝑱_𝑶 𝒓^𝟐 Moment bezwładności pola A figury płaskiej względem dowolnej prostej jest równy momentowi bezwładności tej figury względem osi centralnej równoległej do rozważanej prostej, powiększonemu o iloczyn pola tej figury i kwadratu odległości między osiami.

D1.9. Obliczanie głównych centralnych momentów bezwładności Przykład 4: Obliczyć główne centralne momenty bezwładności dwuteownika jak na rysunku.

180

20

10

20

80

320



𝒚_𝑪

𝒙_𝑪𝟐 = 𝒙



𝒙_𝑪𝟏

𝒙_𝑪𝟑

Oś y_cjest osią centralną gdyż pokrywa się z osią symetrii figury.

𝒚_𝑪 = 𝑺_𝒙 𝑨

a) Wyznaczanie środka ciężkości figury (współrzędnej y_c)

= 𝑺_𝒙𝟏 + 𝑺_𝒙𝟐 + 𝑺_𝒙𝟑

𝑨_𝟏 + 𝑨_𝟐 + 𝑨_𝟑 = 𝟖 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏𝟓 + 𝟎 + 𝟏𝟖 ∙ 𝟐 ∙ (−𝟏𝟓) 𝟖 ∙ 𝟐 + 𝟐𝟖 ∙ 𝟏 + 𝟐 ∙ 𝟏𝟖 𝒚_𝑪 = −𝟑𝟎𝟎

𝟖𝟎 = −𝟑. 𝟕𝟓 𝐜𝐦 𝒚_𝑪 = −𝟑𝟕. 𝟓 𝐦𝐦

150



150

b) Wyznaczanie głównych centralnych momentów bezwładności 𝑱_𝒚𝑪 = 𝑱_𝒚𝒄 + 𝑱𝒚𝒄 + 𝑱𝒚𝒄 ^yC

x_C b

h

𝑱_𝒚𝒄 = 𝒉 ∙ 𝒃^𝟑 𝟏𝟐

𝑱_𝒚𝑪 = 𝟐 ∙ 𝟖^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟐𝟖 ∙ 𝟏^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟐 ∙ 𝟏𝟖^𝟑

𝟏𝟐 ^𝐜𝐦

𝟒

𝑱_𝒚𝑪 = 𝟏𝟎𝟓𝟗. 𝟔𝟔𝟕 𝐜𝐦^𝟒 𝒙_𝑪

y C=37.5

CO

D1.9. Obliczanie głównych centralnych momentów bezwładności

Przykład 4: Obliczyć główne centralne momenty bezwładności dwuteownika jak na rysunku.

a) Wyznaczanie środka ciężkości figury (współrzędnej y_c) 𝒚_𝑪 = −𝟑𝟕. 𝟓 𝐦𝐦

b) Wyznaczanie głównych centralnych momentów bezwładności

y_C

x_C b

h

𝑱_𝒙𝒄 = 𝒃 ∙ 𝒉^𝟑 𝟏𝟐 𝑱_𝒙𝒄 = 𝟖 ∙ 𝟐^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟖 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏𝟓 + 𝟑. 𝟕𝟓 ^𝟐 𝐜𝐦^𝟒 𝑱_𝒚𝑪 = 𝟏𝟎𝟓𝟗. 𝟔𝟔𝟕 𝐜𝐦^𝟒

𝑱_𝒙𝑪 = 𝑱_𝒙𝒄 + 𝑱𝒙𝒄 + 𝑱𝒙𝒄

Tw. Steinera:

𝑱_𝒖 = 𝑱_𝒙𝑪 + 𝒂^𝟐 ∙ 𝑨

𝑱_𝒙𝒄 = 𝟏 ∙ 𝟐𝟖^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟏 ∙ 𝟐𝟖 ∙ 𝟑. 𝟕𝟓 ^𝟐 𝐜𝐦^𝟒 𝑱_𝒙𝒄 = 𝟏𝟖 ∙ 𝟐^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟐 ∙ 𝟏𝟖 ∙ 𝟏𝟓 − 𝟑. 𝟕𝟓 ^𝟐 𝐜𝐦^𝟒 𝑱_𝒙𝑪 = 𝟓𝟔𝟑𝟎. 𝟑𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝟐𝟑. 𝟎𝟖𝟑 + 𝟒𝟓𝟔𝟖. 𝟐𝟓 𝐜𝐦^𝟒

𝑱_𝒙𝑪 = 𝟏𝟐 𝟒𝟐𝟏. 𝟔𝟔𝟔 𝐜𝐦^𝟒

𝑱_𝑶 = 𝑱_𝒙𝒄 + 𝑱_𝒚𝒄 𝑱_𝑶 = 𝟏𝟑 𝟒𝟖𝟏. 𝟑𝟑𝟑 𝐜𝐦^𝟒

180

20

10

20

80

320



𝒚_𝑪

𝒙_𝑪𝟐 = 𝒙



𝒙_𝑪𝟏

𝒙_𝑪𝟑

150



150

𝒙_𝑪

y C=37.5

CO

D1.10. Transformacja przez obrót

A

x

y dA

Mamy figurę opisaną w prostokątnym układzie współrzędnych (x, y):

Dane: J_x, J_y,, J_xy Szukane: J_u, J_v, J_uv,

oraz taki kąt  aby J_u, J_v, były ekstremalne

O

 

y

x



𝒗 = 𝑩𝑪 −𝑪𝑫 = 𝒚cos 𝜶 − 𝑪^′𝑫^′ = 𝒚cos 𝜶 −𝒙 sin 𝜶 𝒖 = 𝑫𝑫^′ + 𝑶𝑫′ = 𝑪^′𝑪 +𝒙 cos 𝜶 = 𝒚sin 𝜶 +𝒙 cos 𝜶 B

C D

C’

D’

x

𝑱_𝒖 ≝ න

𝑨

𝒗^𝟐 ∙ 𝒅𝑨 = න

𝑨

𝒚 cos 𝜶 − 𝒙 sin 𝜶 ^𝟐 ∙ 𝒅𝑨 =

= න

𝑨

𝒚^𝟐 cos^𝟐𝜶 𝒅𝑨 + න

𝑨

𝒙^𝟐 sin^𝟐𝜶 𝒅𝑨 − 𝟐 න

𝑨

𝒙𝒚 sin 𝜶 cos 𝜶 𝒅𝑨 = 𝑱_𝒙cos^𝟐𝜶 + 𝑱_𝒚 sin^𝟐𝜶 − 𝟐𝑱_𝒙𝒚sin 𝜶 cos 𝜶

𝑱_𝒗 ≝ න

𝑨

𝒖^𝟐 ∙ 𝒅𝑨 = න

𝑨

𝒚 sin 𝜶 + 𝒙 cos 𝜶 ^𝟐 ∙ 𝒅𝑨 = න

𝑨

𝒚^𝟐sin^𝟐𝜶 𝒅𝑨 + න

𝑨

𝒙^𝟐cos^𝟐𝜶 𝒅𝑨 + 𝟐 න

𝑨

𝒙𝒚 sin 𝜶 cos 𝜶 𝒅𝑨

= 𝑱_𝒙sin^𝟐𝜶 + 𝑱_𝒚 cos^𝟐𝜶 + 𝟐𝑱_𝒙𝒚sin 𝜶 cos 𝜶 𝑱_𝒖𝒗 ≝ න

𝑨

𝒖𝒗 ∙ 𝒅𝑨 = න

𝑨

𝒚 cos 𝜶 − 𝒙 sin 𝜶 𝒚 sin 𝜶 + 𝒙 cos 𝜶 ∙ 𝒅𝑨 =

= 𝑱_𝒙 sin 𝜶 cos 𝜶 + 𝑱_𝒙𝒚 cos^𝟐𝜶 − sin^𝟐𝜶 − 𝑱_𝒚sin 𝜶 cos 𝜶

D1.10. Transformacja przez obrót

Mamy figurę opisaną w prostokątnym układzie współrzędnych (x, y):

Dane: J_x, J_y,, J_xy Szukane: J_u, J_v, J_uv,

oraz taki kąt  aby J_u, J_v, były ekstremalne

A

x

y dA

O

 

y

x



B

C D

C’

D’

x

𝑱_𝒖 = 𝑱_𝒙cos^𝟐𝜶 + 𝑱_𝒚sin^𝟐𝜶 − 𝟐𝑱_𝒙𝒚sin 𝜶 cos 𝜶 𝑱_𝒗 = 𝑱_𝒙sin^𝟐𝜶 + 𝑱_𝒚cos^𝟐𝜶 + 𝟐𝑱_𝒙𝒚sin 𝜶 cos 𝜶

Uwzględniając:

𝑱_𝒖𝒗 = 𝑱_𝒙sin 𝜶 cos 𝜶 − 𝑱_𝒚 sin 𝜶 cos 𝜶 + 𝑱_𝒙𝒚 cos^𝟐𝜶 − sin^𝟐𝜶 sin 2𝜶 = 2 sin 𝜶 cos 𝜶

cos²𝜶 = 1

2 1 + cos 𝟐𝜶 sin²𝜶 = 1

2 1 − cos 𝟐𝜶

𝑱_𝒗 = 𝑱_𝒙1

2 1 + cos 𝟐𝜶 + 𝑱_𝒚 1

2 1 − cos 𝟐𝜶 + 𝑱_𝒙𝒚sin𝟐 𝜶 𝑱_𝒖𝒗 = 𝑱_𝒙 − 𝑱_𝒚

𝟐 sin 𝟐𝜶 + 𝑱_𝒙𝒚cos 𝟐𝜶 𝑱_𝒖 = 𝑱_𝒙1

2 1 + cos 𝟐𝜶 + 𝑱_𝒚 1

2 1 − cos 𝟐𝜶 − 𝑱_𝒙𝒚sin 𝟐𝜶

𝑱_𝒖 = 𝑱_𝒙 + 𝑱_𝒚

2 +𝑱_𝒙 − 𝑱_𝒚

2 cos 𝟐𝜶 − 𝑱_𝒙𝒚sin 𝟐𝜶 𝑱_𝒖 = 𝑱_𝒙 + 𝑱_𝒚

2 +𝑱_𝒙 − 𝑱_𝒚

2 cos 𝟐𝜶 + 𝑱_𝒙𝒚sin 𝟐𝜶

𝑱_𝒖𝒗 = 𝑱_𝒙 − 𝑱_𝒚

𝟐 sin 𝟐𝜶 + 𝑱_𝒙𝒚cos 𝟐𝜶 Otrzymujemy:

cos 2𝜶 = cos²𝜶 − sin²𝜶

D1.10. Transformacja przez obrót

Mamy figurę opisaną w prostokątnym układzie współrzędnych (x, y):

Dane: J_x, J_y,, J_xy Szukane: J_u, J_v, J_uv,

oraz taki kąt  aby J_u, J_v, były ekstremalne

A

x

y dA

O

 

y

x



B

C D

C’

D’

x

Momenty osiowe J_uoraz J_vosiągają wartości ekstremalne dla takiego kąta 𝜶₀, że: d𝑱_𝒖

d𝜶 𝜶₀ = 𝟎 d𝑱_𝒖

d𝜶 = − 𝑱_𝒙 − 𝑱_𝒚 sin 𝟐𝜶 − 𝟐𝑱_𝒙𝒚cos 𝟐𝜶 = −𝟐 𝑱_𝒙 − 𝑱_𝒚

𝟐 sin 𝟐𝜶 + 𝑱_𝒙𝒚cos 𝟐𝜶 = −𝟐𝑱_𝒖𝒗 = 𝟎 𝑱_𝒖𝒗 = 𝑱_𝒙 − 𝑱_𝒚

𝟐 sin 𝟐𝜶_𝟎+ 𝑱_𝒙𝒚cos 𝟐𝜶_𝟎 = 𝟎 tan 𝟐𝜶_𝟎 = − 𝟐𝑱_𝒙𝒚 𝑱_𝒙 − 𝑱_𝒚

𝑱^𝒎𝒂𝒙

𝒎𝒊𝒏 = 𝑱_𝒙 + 𝑱_𝒚

𝟐 ± 𝑱_𝒙 − 𝑱_𝒚 𝟐

𝟐

+ 𝑱_𝒙𝒚^𝟐 Wówczas:

𝑱_𝒖 = 𝑱_𝒙 + 𝑱_𝒚

2 + 𝑱_𝒙 − 𝑱_𝒚

2 cos 𝟐𝜶 − 𝑱_𝒙𝒚sin 𝟐𝜶 𝑱_𝒗 = 𝑱_𝒙 + 𝑱_𝒚

2 −𝑱_𝒙 − 𝑱_𝒚

2 cos 𝟐𝜶 + 𝑱_𝒙𝒚sin 𝟐𝜶 𝑱_𝒖𝒗 = 𝑱_𝒙 − 𝑱_𝒚

𝟐 sin 𝟐𝜶 + 𝑱_𝒙𝒚cos 𝟐𝜶 𝑱_𝒖 + 𝑱_𝒗 = 𝑱_𝒙 + 𝑱_𝒚

Dla dowolnego :

𝑱_𝒖𝒗

𝑱_𝒖𝒗 = 𝟎

10.10. Transformacja przez obrót

Przykład 10.6: Obliczyć główne centralne momenty bezwładności figury jak na rysunku.

𝒚

a) Wyznaczanie środka ciężkości figury (współrzędnej x_c, y_c)

= 𝑺_𝒚𝟏 + 𝑺_𝒚𝟐

𝑨_𝟏 + 𝑨_𝟐 = 𝟖 ∙ 𝟐 ∙ (−𝟐) + 𝟎 𝟖 ∙ 𝟐 + 𝟏𝟎 ∙ 𝟐 𝒙_𝑪 = −𝟑𝟐

𝟑𝟔 = −𝟖

𝟗 𝐜𝐦 𝒙_𝑪 = −𝟖. 𝟖𝟖𝟗 𝐦𝐦

100

8020

20

20

𝒙_𝑪 = 𝑺_𝒚 𝑨

𝒙





= 𝑺_𝒙𝟏 + 𝑺_𝒙𝟐

𝑨_𝟏 + 𝑨_𝟐 = 𝟎 + 𝟏𝟎 ∙ 𝟐 ∙ (−𝟓) 𝟖 ∙ 𝟐 + 𝟏𝟎 ∙ 𝟐 𝒚_𝑪 = −𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟔 = −𝟐𝟓

𝟗 𝐜𝐦 𝒚_𝑪 = −𝟐𝟕. 𝟕𝟕𝟖 𝐦𝐦 𝒚_𝑪 = 𝑺_𝒙

𝒙_𝒄 𝑨 𝒚_𝒄

𝑪 ^27.778

8.889

10.10. Transformacja przez obrót

Przykład 10.6: Obliczyć główne centralne momenty bezwładności figury jak na rysunku.

𝒚

b) Wyznaczanie centralnych momentów bezwładności (J_xc, J_yc , J_xcyc):

100

8020

20

20

𝒙





𝒙_𝒄 𝒚_𝒄

𝑪

= 𝟐 ∙ 𝟖^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟖 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐. 𝟕𝟕𝟖 ^𝟐 +𝟏𝟎 ∙ 𝟐^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟏𝟎 ∙ 𝟐 ∙ 𝟓 − 𝟐. 𝟕𝟕𝟖 ^𝟐 𝑱_𝒙𝒄 = 𝑱_𝒙𝒄 + 𝑱𝒙𝒄

𝒙_𝑪 = −𝟖. 𝟖𝟖𝟗 𝐦𝐦 𝒚_𝑪 = −𝟐𝟕. 𝟕𝟕𝟖 𝐦𝐦

𝑱_𝒙𝒄 = 𝟐𝟐𝟎. 𝟒𝟏𝟓 𝐜𝐦^𝟒

= 𝟖 ∙ 𝟐^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟖 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 − 𝟎. 𝟖𝟖𝟗 ^𝟐+𝟐 ∙ 𝟏𝟎^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟏𝟎 ∙ 𝟐 ∙ 𝟎. 𝟖𝟖𝟗 ^𝟐 𝑱_𝒚𝒄 = 𝑱_𝒚𝒄 + 𝑱𝒚𝒄

𝑱_𝒚𝒄 = 𝟐𝟎𝟕. 𝟓𝟓𝟔 𝐜𝐦^𝟒

y_i

x_i b

h _𝑱

𝒚𝒊 = 𝒉 ∙ 𝒃^𝟑 𝟏𝟐 𝑱_𝒙𝒊 = 𝒃 ∙ 𝒉^𝟑

𝟏𝟐 𝑱_𝒙𝒄𝒊 = 𝑱_𝒙𝒊 + 𝒚_𝒄𝒊^𝟐 ∙ 𝑨_𝒊 𝑱_𝒚𝒄𝒊 = 𝑱_𝒚𝒊 + 𝒙_𝒄𝒊^𝟐 ∙ 𝑨_𝒊

𝑱_{𝒙 𝒚 𝒊} = 𝑱_𝒙𝒚𝒊 + 𝒙_𝒄𝒊 ∙ 𝒚_𝒄𝒊 ∙ 𝑨_𝒊

𝑱_𝒙𝒚𝒊 = 𝟎

𝑱_𝒙

𝒄𝒚_𝒄 = 𝑱_𝒙

𝒄𝒚_𝒄 + 𝑱𝒙_𝒄𝒚_𝒄

= 𝟎 + 𝟖 ∙ 𝟐 ∙ 𝟎. 𝟖𝟖𝟗 − 𝟐 ∙ 𝟐. 𝟕𝟕𝟖 + 𝟎 + 𝟏𝟎 ∙ 𝟐 ∙ 𝟎. 𝟖𝟖𝟗 ∙ (𝟐. 𝟕𝟕𝟖 − 𝟓) 𝑱_{𝒙𝒄𝒚𝒄} = −𝟖𝟖. 𝟖𝟖𝟗 𝐜𝐦^𝟒

27.778

8.889

10.10. Transformacja przez obrót

Przykład 10.6: Obliczyć główne centralne momenty bezwładności figury jak na rysunku.

𝒚

c) Wyznaczanie głównych centralnych momentów bezwładności (J_u, J_v):

100

8020

20

20

𝒙





𝒙_𝒄

𝒚_𝒄 ^𝑱𝒙𝒄 = 𝟐𝟐𝟎. 𝟒𝟏𝟓 𝐜𝐦^𝟒 𝑱_𝒚𝒄 = 𝟐𝟎𝟕. 𝟓𝟓𝟔 𝐜𝐦^𝟒 𝑱_{𝒙𝒄𝒚𝒄} = −𝟖𝟖. 𝟖𝟖𝟗 𝐜𝐦^𝟒

27.778

8.889

tan 𝟐𝜶_𝟎 = − 𝟐𝑱_𝒙𝒚 𝑱_𝒙 − 𝑱_𝒚

Kąt wyznaczający kierunek głównych osi bezwładności:

= − 𝟐 ∙ (−𝟖𝟖. 𝟖𝟖𝟗)

𝟐𝟐𝟎. 𝟒𝟏𝟓 − 𝟐𝟎𝟕. 𝟓𝟓𝟔 = 𝟏𝟑. 𝟖𝟐𝟔

𝟐𝛂_𝟎 = 𝟖𝟓°𝟓𝟏^′𝟒𝟔. 𝟒𝟐" 𝛂_𝟎 = 𝟒𝟐°𝟓𝟓^′𝟓𝟑. 𝟐𝟏"

𝑪 Główne centralne momenty bezwładności:

𝑱_𝒖 = 𝑱_𝒙+ 𝑱_𝒚

𝟐 + 𝑱_𝒙 − 𝑱_𝒚 𝟐

𝟐

+ 𝑱_𝒙𝒚^𝟐 =

= 𝟐𝟐𝟎. 𝟒𝟏𝟓 + 𝟐𝟎𝟕. 𝟓𝟓𝟔

𝟐 + 𝟐𝟐𝟎. 𝟒𝟏𝟓 − 𝟐𝟎𝟕. 𝟓𝟓𝟔 𝟐

𝟐

+ (−𝟖𝟖. 𝟖𝟖𝟗)^𝟐

𝑱_𝒖 = 𝟑𝟎𝟑. 𝟏𝟎𝟕 𝐜𝐦^𝟒 𝑱_𝒗 = 𝑱_𝒙+ 𝑱_𝒚

𝟐 − 𝑱_𝒙 − 𝑱_𝒚 𝟐

𝟐

+ 𝑱_𝒙𝒚^𝟐 =

=𝟐𝟐𝟎. 𝟒𝟏𝟓 + 𝟐𝟎𝟕. 𝟓𝟓𝟔

𝟐 − 𝟐𝟐𝟎. 𝟒𝟏𝟓 − 𝟐𝟎𝟕. 𝟓𝟓𝟔 𝟐

𝟐

+ (−𝟖𝟖. 𝟖𝟖𝟗)^𝟐 𝑱_𝒗 = 𝟏𝟐𝟒. 𝟖𝟔𝟒 𝐜𝐦^𝟒 𝛂_𝟎