Wektory zale˙zno´sci pozwalaj, a stwierdzi´c, czy okre´slone zadanie mo˙ze by´c zrealizowane tylko wtedy, gdy zostana wcze´sniej zreali-, zowane pewne inne zadania

Informatyka – Zeszyt 3

Leon Bobrowski^1,2, Tomasz Łukaszuk¹

SZEREGOWANIE ZADA ´N OBLICZENIOWYCH Z ZASTOSOWANIEM MODELU RANGOWEGO

Streszczenie: Zagadnienia szeregowania zada´n pojawiaja si_, e mi_, edzy innymi w kontek´scie_, problem´ow realizowalno´sci du˙zych proces´ow obliczeniowych i ich optymalizacji. Przy roz- strzyganiu tego typu problem´ow mo˙zna wykorzystywa´c metody regresji rangowej. Do cel´ow konstrukcji modeli regresji rangowej poszczeg´olne zadania obliczeniowe charakteryzowane sa poprzez wielowymiarowe wektory zale˙zno´sci. Wektory zale˙zno´sci pozwalaj_, a stwierdzi´c_, czy okre´slone zadanie mo˙ze by´c zrealizowane tylko wtedy, gdy zostana wcze´sniej zreali-_, zowane pewne inne zadania. Regresja rangowa obejmuje konstrukcje takich odwzorowa´n_, liniowych z wielowymiarowej przestrzeni zale˙zno´sci na przestrze´n jednowymiarowa (lini_, e_, czasu), kt´ora odzwierciedla w mo˙zliwie du˙zym stopniu zale˙zno´sci pomiedzy zadaniami._,

Słowa kluczowe: szeregowanie zada´n obliczeniowych, model rangowy, wypukła i odcinkowo-liniowa funkcja kryterialna (CPL)

1. Wstep_,

Realizacje du˙zych zada´n obliczeniowych wi_, a˙ze si_, e na og´oł z d_, a˙zeniem do mak-_, symalnego skracania czasu oblicze´n przy spełnieniu wszystkich warunk´ow ograni- czajacych [4], [7], [6]. Dla skr´ocenia czasu oblicze´n, procesy obliczeniowe dekom-_, ponuje sie na podzadania O_, j, kt´ore nastepnie realizuje si_, e szeregowo poprzez jeden_, procesor lub w spos´ob r´ownoległy przy o wiekszej liczbie procesor´ow. Modele sze-_, regowania zada´n pomocne sa zar´owno przy weryfikacji warunk´ow realizowalno´sci_, zdekomponowanych program´ow, jak r´ownie˙z przy skracaniu czasu oblicze´n poprzez odpowiednie rozdzielanie zada´n na poszczeg´olne procesory. W przedstawionym ar- tykule analizowana jest metoda badania niesprzeczno´sci, szeregowania oraz optyma- lizacji zada´n obliczeniowych Oj, oparta na koncepcjach regresji rangowej [2].

Modele regresji rangowej maja posta´c takich odwzorowa´n liniowych z wielo-_, wymiarowej przestrzeni cech na linie prost_, a, kt´ore w mo˙zliwie du˙zym stopniu za-_, chowuja zadany porz_, adek w wybranych parach zdarze´n lub obiekt´ow [2]. Porz_, adek_,

1Wydział Informatyki, Politechnika Białostocka, Białystok

2Instytut Biocybernetyki i In˙zynierii Biomedycznej, PAN, Warszawa

realizacji dwu zada´n Oj i Ok oznacza, ˙ze do realizacji zadania Ok potrzebna jest znajomo´s´c pewnych wynik´ow realizacji zadania Oj. W rezultacie wcze´sniejsza re- alizacja zadania Oj jest warunkiem koniecznym realizacji zadania Ok. Wymagany porzadek realizacji zada´n obliczeniowych mo˙zna reprezentowa´c w postaci wielowy-_, miarowych wektor´ow zale˙zno´sci. Wektor zale˙zno´sci zadania Ok identyfikuje takie zadania Oj ( j 6= k), kt´orych wcze´sniejsza realizacja jest warunkiem koniecznym re- alizacji zadania Ok [1].

Konstrukcja rangowych odwzorowa´n liniowych została oparta na wyznacza- niu hiperłaszczyzny mo˙zliwie najlepiej rozdzielajacej dwa zbiory w przestrzeni_, zale˙zno´sci. Wyznaczanie hiperłaszczyzny rozdzielajacej mo˙zna oprze´c na mini-_, malizacji wypukłej i odcinkowo liniowej (CPL) funkcji kryterialnej [2]. Funkcja kryterialna definiowana jest w tym przypadku na podstawie wektor´ow zale˙zno´sci charakteryzujacych poszczeg´olne zadania obliczeniowe O_, k. Algorytmy wymiany rozwiaza´n bazowych, podobne do programowania liniowego, pozwalaj_, a wyznacza´c_, minimum funkcji typu CPL w spos´ob efektywny nawet w przypadku du˙zej liczby wektor´ow zale˙zno´sci.

2. Charakterystyka zada ´n obliczeniowych przez wektory zale˙zno´sci Zał´o˙zmy, ˙ze realizowany proces obliczeniowy został podzielony (zdekomponowany) na m zada´n Ok (k = 1, ..., m). Ka˙zde z zada´n Ok zostało scharakteryzowane przez czas realizacji τk oraz przez wektor zale˙zno´sci ρ_k= [ρ_k1, ..., ρkm]^T o m składowych binarnych ρk j (ρk j= 1 lub ρk j= 0). Warto´s´c ρk j= 1 oznacza, ˙ze k-te zadanie Ok

mo˙ze by´c realizowane tylko wtedy, gdy wcze´sniej bedzie zrealizowane zadanie O_, j. Warto´s´c ρk j= 0 oznacza, ˙ze k-te zadanie Ok mo˙ze by´c realizowane niezale˙znie od stanu realizacji zadania Oj. Zakładamy przy tym, ˙ze zadania Ok i Oj nie moga blo-_, kowa´c sie wzajemnie, tj.:_,

(∀k, j ∈ {1, ..., m}) ρkk= 0 oraz (ρk j= 1) ⇒ (ρjk= 0) (1) Na podstawie wektor´ow zale˙zno´sci ρ_kwprowadzimy rangowa relacj_, e poprze-_, dzania Oj≺ O_kpomiedzy zadaniami O_, ji Ok, kt´ora oznacza, ˙ze zadanie Ojpoprzedza O_k:

(Oj≺ Ok) ⇔ (ρk j= 1) (2)

Przyjmujemy, ˙ze zar´owno podział procesu obliczeniowego na zadania Ok jak r´ownie˙z charakterystyka tych zada´n za pomoca wektor´ow zale˙zno´sci ρ_, k oraz czas´ow

oblicze´n τk wynikaja z wiedzy ekspert´ow o realizowanym procesie. Np. w hierar-_, chicznej strukturze warstwowej realizacja ka˙zdego zadania O_k(l) w l-tej warstwie jest mo˙zliwa tylko wtedy, gdy wszystkie zadania O_k(l−1) w warstwie wcze´sniejszej zastana zrealizowane. Przy realizacji zło˙zonych proces´ow obliczeniowych liczba m_, zada´n Ok mo˙ze by´c bardzo du˙za. W takich okoliczno´sciach pojawia sie zagro˙zenie,_,

˙ze proponowany przez ekspert´ow podział procesu na zadania Ok, scharakteryzowane za pomoca wektor´ow zale˙zno´sci ρ_, k oraz czas´ow oblicze´n τk, spowoduje pojawie- nie sie trudno´sci w realizacji procesu obliczeniowego. Realizacja procesu mo˙ze by´c_, niemo˙zliwa z powodu pojawienia sie ci_, agu zale˙zno´sci sprzecznych, wzajemnie blo-_, kujacych si_, e. Blokowanie si_, e procesu obliczeniowego mo˙ze nast_, api´c na przykład_, w´owczas, gdy zadanie Okodwołuje sie do zadania O_, l, a zadanie Ol odwołuje sie do_, zadania Om, kt´ore mo˙ze by´c zrealizowane po wykonaniu zadania Ok. W tym przy- padku podzbi´or rangowych relacji poprzedzania (2) ma poni˙zsza posta´c:_,

{(Ol ≺ Ok), (Om≺ Ol), (Ok≺ Om)} (3) Relacja ≺ jest przechodnia (ang. transient relation) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych Ok, Ol, Omspełniona jest poni˙zsza implikacja:

jezeli (Ol≺ O_k) oraz (Ok≺ O_m), to (Om≺ O_l) (4) Zauwa˙zmy, ˙ze pary ze zbioru (3) nie tworza relacji przechodniej. Reprezentacja_, zbioru (3) za pomoca grafu skierowanego z wierzchołkami utworzonymi przez za-_, dania Ok pozwala uwypukli´c istnienie petli, kt´ora jest ´zr´odłem braku przechodnio´sci_, i zablokowania sie procesu._,

Blokujace si_, e ła´ncuchy zale˙zno´sci mog_, a mie´c oczywi´scie długo´s´c wi_, eksz_, a ni˙z_, trzy. Łatwo weryfikowalne warunki (1) zabezpieczaja przed blokowaniem si_, e wza-_, jemnym w parach zada´n. Weryfikacja zagro˙zenia sprzeczno´sciami i blokowaniem sie_, w długich sekwencjach zadania Ok wymaga wprowadzenia innych sposob´ow ana- lizy. Istnieje mo˙zliwo´s´c wykorzystania do tego celu regresji rangowej [2]. Innym problemem, kt´ory mo˙ze by´c r´ownie˙z analizowany za pomoca regresji rangowej jest_, rozpatrywanie mo˙zliwo´sci skr´ocenia czasu realizacji procesu obliczeniowego, po- przez r´ownoległa realizacj_, e pewnych zada´n O_, k. Model regresji rangowej pozwala w pewnych przypadkach wskaza´c takie zadania Ok, kt´orych r´ownoległa realizacja skr´oci czas przebiegu procesu.

3. Liniowe odwzorowania rangowe

Rozwa˙zmy liniowe odwzorowanie t(w) = w^Tρ, gdzie w = [w₁, ..., wm]^T (w ∈ R^m) jest wektorem parametr´ow, a ρ = [ρ1, ..., ρ_m] macierza utworzon_, a z m-wymiarowych_,

wektor´ow zale˙zno´sci ρ_k(1). Prosta t(w) = w^Tρ mo˙ze reprezentowa´c kolejno´s´c roz- poczecia realizacji t_, kposzczeg´olnych zada´n Ok:

(∀k ∈ {1, ..., m}) t_k= w^Tρk (5) Projektujac rangowy model zale˙zno´sci poszukujemy takiego optymalnego wek-_, tora parametr´ow w^∗, dla kt´orego odwzorowanie liniowe t(w) = w^Tρ w najlepszym stopniu zachowuje poni˙zsze implikacje rangowe:

O_j≺ O_k⇒ (w^∗)^Tρj< (w^∗)^Tρk oraz

Ok≺ O_j⇒ (w^∗)^Tρ_j> (w^∗)^Tρ_k, gdzie j< k (6) Metode poszukiwania optymalnego wektora parametr´ow w_, ^∗ (6) mo˙zna oprze´c na badaniu liniowej rozdzielno´sci za pomoca hiperpłaszczyzny przechodz_, acej przez_, poczatek układu wsp´ołrz_, ednych przestrzeni cech poni˙zszych dwu zbior´ow wektor´ow_, r´o˙znicowychrjk= ρk− ρj, gdzie j < k:

R⁺= {rjk= ρ_k− ρ_j: Oj≺ O_k}

R⁻= {rjk= ρk− ρj: Ok≺ Oj} (7) Definicja 1. Zbiory R⁺ i R⁻ sa liniowo separowalne za pomoc_, a hiperpłaszczyzny_, przechodzacej przez pocz_, atek układu wsp´ołrz_, ednych wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje_, taki wektor parametr´oww⁰, ˙ze zachodza poni˙zsze nier´owno´sci:_,

(∀rjk∈ R⁺) w⁰rjk> 0

oraz(∀rjk∈ R⁻) w⁰rjk< 0 (8) Wektor parametr´ow w⁰wyznacza hiperpłaszczyzne H(w_, ⁰) w przestrzeni cech (prze- strzeni zale˙zno´sci) przechodzac_, a przez pocz_, atek układu wsp´ołrz_, ednych tej prze-_, strzeni:

H(w⁰) = {x : w⁰x = 0, x ∈ R^m} (9) O hiperpłaszczyznie H(w⁰) m´owimy, ˙ze separuje zbiory R⁺i R⁻ (7). Wszystkie ele- menty rjkzbioru R⁺ le˙za po dodatniej stronie hiperpłaszczyzny H(w_, ⁰), a wszystkie elementy rjkzbioru R⁻le˙za po jej stronie ujemnej._,

Mo˙zna wykaza´c słuszno´s´c poni˙zszego Lematu [2]:

Lemat 1. Odwzorowanie liniowe t = t(w⁰) = (w⁰)^Tρ zachowuje wszystkie implikacje (6), wtedy i tylko wtedy, gdy hiperpłaszczyzna H(w⁰) (9) wyznaczona przez wektor w⁰ separuje zbiory R⁺ i R⁻(7).

4. Wypukła i odcinkowo liniowa (CPL) funkcja kryterialna Φ(w) Projektowanie hiperpłaszczyzny H(w^∗) (9) optymalnie rozdzielajacej zbi´or do-_, datni R⁺ od zbioru ujemnego R⁻ (7) mo˙ze by´c oparte na minimalizacji wypukłej i odcinkowo-liniowej (CPL) funkcji kryterialnej Φ(w), kt´ora jest podobna do per- ceptronowej funkcji kryterialnej [6]. Wprowad´zmy w tym celu pozytywne funkcje kary ϕ⁺_jk(w) okre´slone na elementach rjk zbioru R⁺ oraz negatywne funkcje kary ϕ⁻_jk(w) okre´slone na elementach rjkzbioru R⁻(7):

(∀rjk∈ R⁺) ϕ⁺_jk(w) = 1 − w^Trjk jezeli w^Trjk≤ 1

0 jezeli w^Trjk> 1 (10) oraz

(∀rjk∈ R⁻) ϕ⁻_jk(w) = 1 + w^Trjk jezeli w^Trjk≥ −1

0 jezeli w^Trjk< −1 (11) Funkcja kryterialna Φ(w) jest dodatnio wa˙zona sum_, a funkcji kary ϕ_, ⁺_jk(w) i ϕ⁻_jk(w), zdefiniowana nast_, epuj_, aco:_,

Φ(w) = ∑

( j,k)∈J⁺

γjkϕ⁺_jk(w) + ∑

( j,k)∈J⁻

γjkϕ⁻_jk(w) (12) gdzie γjk jest dodatnim parametrem (cena) zwi_, azanym z wektorem r´o˙znicowym_, rjk= ρk− ρj, J⁺ jest zbiorem par indeks´ow ( j, k) wektor´ow ze zbioru dodatniego R⁺(( j, k) ∈ J⁺⇔ rjk∈ R⁺), J⁻jest zbiorem par indeks´ow ( j, k) wektor´ow ze zbioru ujemnego R⁻ (( j, k) ∈ J⁻⇔ rjk∈ R⁻) (7).

Perceptronowa funkcja kryterialna u˙zywana w teorii sieci neuropodobnych i roz- poznawania obraz´ow ma posta´c podobna do Φ(w) (12) [2]. Funkcja kryterialna Φ(w)_, (12) jest funkcja wypukł_, a i odcinkowo-liniow_, a (ang. convex and piecewise linear -_, CPL) jako suma tego typu funkcji kary ϕ⁺_jk(w) (10) i ϕ⁺_jk(w) (11). Algorytmy wy- miany rozwiaza´n bazowych, zbli˙zone do algorytm´ow programowania liniowego, po-_, zwalaja znale´z´c minimum funkcji Φ(w) w spos´ob efektywny nawet w przypadku_, du˙zych, wielowymiarowych zbior´ow R⁺ i R⁻(7) [3]:

Φ^∗= Φ(w^∗) = min

w Φ(w) ≥ 0 (13)

Optymalny wektor parametr´ow w^∗ oraz warto´s´c minimalna Φ(w)^∗ funkcji kryterialnej Φ(w) (12) moga by´c stosowane w rozwi_, azywaniu wielu problem´ow eks-_, ploracyjnej analizy danych. W szczeg´olno´sci wektor w^∗ pozwala wyznaczy´c opty- malne odwzorowanie rangowe t = t(w^∗) = (w^∗)^Tρ zachowujace wszystkie implika-_, cje rangowe (6) lub ich wiekszo´s´c. Mo˙zna wykaza´c słuszno´s´c poni˙zszego Lematu_, [2]:

Lemat 2. Warto´s´c minimalna (13) funkcji kryterialnej (12) jest r´owna zeru, Φ^∗= 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wektor parametr´oww⁰, ˙ze wszystkie implikacje rangowe (6) zachowane sa przez odwzorowanie liniowe t_, = t(w⁰) = (w⁰)^Tρ (5).

Mo˙zna zauwa˙zy´c te˙z, ˙ze Φ(w^∗) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka hi- perpłaszczyzna H(w⁰) (9), kt´ora w pelni separuje zbi´or dodatni R⁺ od zbioru ujem- nego R⁻(7). Je˙zeli hiperpłaszczyzna H(w^∗) (9) wyznaczona przez wektor optymalny w^∗ (13) nie separuje zbior´ow R⁺ i R⁻, to zbiory te nie sa saparowalne przez ˙zadn_, a_, inna hiperpłaszczyzn_, e H(w) (9). Warto´s´c minimalna Φ(w_, ^∗) (13) jest wtedy wieksza_, od zera (Φ(w^∗) > 0).

5. Wybrane problemy szeregowania zada ´n obliczeniowych

Wiele problem´ow szeregowania zada´n obliczeniowych Ojmo˙ze by´c analizowanych z wykorzystaniem zbioru wektor´ow zale˙zno´sci ρj(1). Zał´o˙zmy, ˙ze realizowany proces obliczeniowy podzielono (zdekomponowano) na m zada´n Oj scharakteryzowanych przez wektory zale˙zno´sci ρj (1) oraz czasy oblicze´n τj:

C₀= {Oj}, gdzie j= 1, ..., m (14) Jednym z podstawowych pyta´n jest to, czy zbi´or C0 zada´n obliczeniowych repre- zentowanych przez wektory zale˙zno´sci jest niesprzeczny i mo˙ze by´c zrealizowany w spos´ob sekwencyjny? Innymi słowy, czy dany proces obliczeniowy mo˙ze zosta´c zrealizowany jako pewna sekwencja zada´n Oj (dla j = 1, ..., m)?

Szukajac odpowiedzi na to pytanie, posłu˙zymy si_, e konstrukcj_, a tzw. warstw funk-_, cjonalnych. Zerowa warstwa funkcjonalna F0jest utworzona przez m0 takich zada´n obliczeniowych Ok ze zbioru C0(14), kt´ore nie zale˙za od ˙zadnych innych zada´n O_, j, tj.:

F₀= {Ok: ρk= [0, ..., 0]^T} (15) Zakładamy tu, ˙ze m0> 0.

W celu tworzenia kolejnych warstw funkcjonalnych Fn(n > 0) zbi´or C₀(14) zo- staje zredukowany do zbioru C1poprzez pominiecie takich m_, 0zada´n, kt´ore wchodza_, do zerowej warstwy funkcjonalnej F0(15):

C₁= C₀/F₀ (16)

Redukcja zbioru C0do zbioru C1oznacza te˙z redukcje tych składowych ρ_, k jw wekto- rach zale˙zno´sci ρk(1), kt´ore odpowiadaja pomijanym zadaniom O_, j(Oj∈ F₀). Je˙zeli zbi´or F0zawiera m0 zada´n, to zbi´or C1 zawiera m − m0zada´n scharakteryzowanych

wektorami zale˙zno´sci ρ[m − m₀] o wymiarze m − m₀. Je˙zeli m − m₀> 0, to pierwsza warstwa funkcjonalna F1zostaje utworzona przez takich m1(m1> 0) zada´n oblicze- niowych Ok ze zbioru C1 (16), kt´ore nie zale˙za od innych zada´n O_, j z tego zbioru, tj.:

F₁= {Ok: Ok∈ C₁, oraz ρk[m − m₀] = [0, ..., 0]^T} (17) W kolejnym etapie zbi´or C1 (16) zostaje zredukowany do zbioru C2 poprzez po- miniecie takich m_{, 1} zada´n Ok, kt´ore wchodza do pierwszej warstwy funkcjonalnej_, F₁(17):

C₂= C1/F1 (18)

Podobnie jak poprzednio, redukcji zbioru C₁ zada´n Oj (18) do zbioru C₂ to- warzyszy redukcja składowych ρk jodpowiadajacych pomijanym zadaniom oraz po-_, wstanie zredukowanych wektor´ow zale˙zno´sci ρk[m − m0− m₁] o wymiarze m − m0− m₁. Je˙zeli m − m₀− m₁> 0, to podjeta zostaje pr´oba utworzenia drugiej warstwy_, funkcjonalnej F2 w spos´ob podobny do tworzenia warstwy F1. W podobny spos´ob tworzone sa nast_, epne warstwy funkcjonalne F_, n (n > 2) a˙z do osiagni_, ecia etapu,_, w kt´orym kolejna warstwa funkcjonalna nie mo˙ze by´c utworzona.

Dwie przyczyny moga spowodowa´c, ˙ze kolejna warstwa funkcjonalna F_, n nie mo˙ze by´c utworzona. Po pierwsze, warstwa funkcjonalna Fnnie mo˙ze by´c utworzona w sytuacji, gdy zbi´or Cntypu (18) jest zbiorem pustym (Cn= φ), poniewa˙z wszystkie zadania obliczeniowe Okzostały ju˙z zredukowane we wcze´sniejszych warstwach Fn⁰

(n⁰< n). W tym przypadku mamy r´owno´s´c:

m− m₀− ... − m_n−1= 0 (19)

Jest to naturalne zako´nczenie procesu tworzenia n − 1 warstw funkcjonalnych Fi(i = 1, ..., n − 1).

Drugim powodem uniemo˙zliwiajacym utworzenie warstwy funkcjonalnej F_, n

mo˙ze by´c brak takiego zadania Ok w niepustym zbiorze Cn = Cn−1/Fn−1 (18), dla kt´orego zredukowany wektor zale˙zno´sci ρk[m − m₀− ... − m_n−1] jest r´owny wek- torowi zerowemu [0, ..., 0]^T:

(∀k ∈ In) ρk[m − m₀− ... − m_n−1] 6= [0, ..., 0]^T (20) gdzie k ∈ In⇔ O_k∈ C_n.

Warunek stopu (20) oznacza, ˙ze wszystkie zadania Ok nale˙zace do zredukowa-_, nego zbioru Cn sa ze sob_, a powi_, azane. Powstaje p_, etla, kt´ora uniemo˙zliwia wydzie-_, lenie zadania odpowiedniego do realizacji. Nie mo˙zna zrealizowa´c ˙zadnego zada- nia Ok ze zbioru Cn, poniewa˙z realizacja ka˙zdego z tych zada´n wymaga znajomo´sci

wynik´ow pewnego innego zadania z tego zbioru. Podobny problem mo˙ze sie po-_, jawi´c ju˙z w momencie tworzenia zerowej warstwy funkcjonalnej F0 (15). Warunek uniemo˙zliwiajacy utworzenie warstwy F_, 0ma posta´c:

(∀Ok∈ C₀) ρk[m] 6= [0, ..., 0]^T (21) Warunki typu (20) lub (21) oznaczaja pojawienie si_, e p_, etli w grafie zale˙zno´sci._, Pojawienie sie p_, etli w zbiorze C_, n (18) oznacza, ˙ze zbi´or zada´n Ok z tego zbioru, reprezentowanych za pomoca zredukowanych wektor´ow zale˙zno´sci ρ_, k[m − m₀− ... − m_n−1], jest sprzeczny i nie mo˙ze by´c zrealizowany. Realizacja ka˙zdego zadania Ok

tworzacego p_, etl_, e jest niemo˙zliwa, poniewa˙z wymaga znajomo´sci wynik´ow pewnego_, innego zadania Oj ze zbioru Cn.

Algorytm 1 Algorytm pozwalajacy stwierdzi´c sprzeczno´s´c lub niesprzeczno´s´c_, zbioru zada´n obliczenowych

1: C0:= {0j} j = 1, ..., m 2: I₀:= { j} j = 1, ..., m 3: n := 0

4: if C_n= φ then

5: KONIEC: zbi´or zada´n jest niesprzeczny 6: end if

7: if (∀k ∈ In) ρ_k6= [0, ..., 0]^Tthen 8: KONIEC: zbi´or zada´n jest sprzeczny 9: end if

10: Fn:= {O_k: O_k∈ Cnoraz ρk= [0, ..., 0]^T 11: C_n+1:= C_n/F_n

12: I_n+1:= In/{k : Ok∈ Fn}

13: zredukuj składowe ρ_{k j}w wektorach zale˙zno´sci ρ_k(O_k∈ C_n+1) odpowiadajace pomijanym zada-_, niom Oj(Oj∈ Fn)

14: n := n + 1 15: GOTO 4

Zauwa˙zmy, ˙ze przynale˙zno´s´c zada´n Oj i Ok do tej samej warstwy funkcjonal- nej Fn wyklucza istnienie zale˙zno´sci Oj ≺ Ok (2) lub Ok≺ Oj pomiedzy tymi za-_, daniami. R´ownoległa realizacja zada´n obliczeniowych nale˙zacych O_, j do tej samej warstwy funkcjonalnej Fndaje mo˙zliwo´s´c skr´ocenia czasu realizacji całego procesu obliczeniowego.

Lemat 3. Je˙zeli zadania Oj i O_k nale˙za do tej samej warstwy funkcjonalnej F_{, n}, to nie mo˙ze istnie´c zale˙zno´s´c Oj≺ O_k (2) pomiedzy tymi zadaniami._,

Słuszno´s´c lematu 3 wynika bezpo´srednio z opisanej powy˙zej konstrukcji warstw funkcjonalnych Fn, gdzie ka˙zde zadanie Ok danej warstwy jest scharakteryzowane zredukowanym wektorem zale˙zno´sci ρk o warto´sci zerowej (ρk= [0, ..., 0]^T. Podob- nie mo˙zna uzasadni´c poni˙zsza własno´s´c:_,

(∀Ok⁰∈ F_n⁰) (∀Ok∈ Fn) (Ok⁰ ≺ Ok⇒ n⁰< n) (22) Zgodnie z powy˙zsza własno´sci_, a, istnienie zale˙zno´sci O_, k⁰ ≺ O_k w strukturze warstw funkcjonalnych Fn⁰ i Fn wyznacza taki porzadek, ˙ze warstwa F_, n znajduje sie wy˙zej_, ni˙z warstwa Fn⁰. Zadanie Ok z warstwy wy˙zszej nie mo˙ze poprzedza´c zadania Ok⁰

z warstwy ni˙zszej.

Lemat 4. Zadania obliczeniowe ze zbioru C0 (14) moga by´c zrealizowane wtedy_, i tylko wtedy, gdy podczas wydzielania warstw funkcjonalnych F_n nie zachodza wa-_, runki typu (20) lub (21) wskazujace na ,,zap_, etlenie si_, e” procesu obliczeniowego._, Istnienie petli w zbiorze C_, 0 (14) m zada´n obliczeniowych ma zwiazek z minimaln_, a_, warto´scia Φ(w_, ^∗[m]) (13) funkcji kryterialnej Φ(w[m]) (12):

Twierdzenie 1. Zbi´or C₀ opisuje niesprzeczny zestaw m zada´n obliczeniowych Ok

wtedy i tylko wtedy, gdy warto´s´c minimalna Φ(w^∗[m]) funkcji kryterialnej Φ(w[m]) okre´slonej na bazie wektor´ow zale˙zno´sci ρk[m] (1) reprezentujacych te zadania jest_, r´owna zeru (Φ(w^∗[m]) = 0).

Dow´od: W dowodzie posłu˙zymy sie opisan_, a powy˙zej konstrukcj_, a warstw funkcjo-_, nalnych Fn. Zał´o˙zmy, ˙ze w trakcie konstrukcji nie sa spełnone warunki typu (20)_, lub (21). W tym przypadku wszystkie zadania obliczeniowe ze zbioru C₀(14) moga_, by´c rozło˙zone w warstwy funkcjonalne Fn. W rezultacie wszystkie zadania moga by´c_, zrealizowane w spos´ob sekwencyjny, zgodny z podziałem na warstwy Fn.

Dla przeprowadzenia dowodu dokonamy indeksowania zada´n obliczeniowych Oj ze zbioru C0 zgodnie z podziałem na warstwy funkcjonalne Fn (indeksowa- nie kanoniczne). Przyjmiemy, ˙ze m0 zada´n Oj z warstwy F0 ma najni˙zsze in- deksy j (1 ≤ j ≤ m₀), m₁ zada´n Oj z warstwy F₁ ma indeksy j z przedziału (m₀+ 1 ≤ j ≤ m₀+ m₁), itd. Przy takim sposobie indeksowania zada´n obliczenio- wych Ojwektory zale˙zno´sci ρj= [ρj1, ..., ρjm]^To m składowych binarnych ρjimaja_, nastepuj_, ac_, a struktur_, e: m_{, 0} pierwszych wektor´ow ρj (1 ≤ j ≤ m₀) ma wszystkie m składowych ρji r´owne zeru ((∀ j ∈ {1, ..., m0}) (∀i ∈ {1, ..., m}) ρji = 0). Kolejne m₁ wektor´ow ρj, odpowiadajacych zadaniom O_, j z warstwy F1, ma składowe ρji

o indeksach i wiekszych ni˙z m_{, 0} r´owne zeru ((∀ j ∈ {m₀+ 1, ..., m₀+ m₁}) (∀i ∈ {m₀+ 1, ..., m}) ρji= 0). Podobnie m₂wektor´ow ρjodpowiadajacych zadaniom O_, j

z warstwy F₂ ma składowe ρji o indeksach i wiekszych ni˙z m_{, 0}+ m₁ r´owne zeru ((∀ j ∈ {m0+ m₁+ 1, ..., m₀+ m₁+ m₂}) (∀i ∈ {m₀+ m₁+ 1, ..., m}) ρji= 0). Podobna_, strukture maj_, a wektory zale˙zno´sci ρ_, j z kolejnych wy˙zszych warstw. Rozumowanie to jest oparte na wła´sciow´sci okre´slonej w relacji (22).

We´zmy wektor parametr´ow w⁰[m] o poni˙zszej strukturze:

w⁰[m] = [c₁, ..., c₁, c₂, ..., c₂, ..., cn, ..., cn]^T (23) Pierwsze m0 składowych wektora w⁰[m] ma warto´s´c c₁ (c1> 0, np. c₁= 1) i od- powiada zadaniom z warstwy F0 (15). Kolejne m1 składowych wektora w⁰[m] ma warto´s´c c₂ (c₂ > c₁) itd. Ostatnie mn składowych wektora w⁰[m] ma warto´s´c cn

(cn> c_n−1).

Parametry ci (23) mo˙zna wybra´c tak, by wszystkie implikacje rangowe (6) były zachowane przez odwzorowanie liniowe tj = (w⁰[m])^Tρj[m]. Np. odpowied- nio du˙za warto´s´c parametru ck odpowiadajacego warstwie F_, k zapewnia, ˙ze wszyst- kie zale˙zno´sci Ok⁰ ≺ Ok, gdzie k⁰ < k, sa reprezentowane przez nier´owno´sci (6):_, (w⁰[m])^Tρk⁰[m] < (w⁰[m])^Tρk[m].

Jak wynika z lematu 2, warto´s´c Φ(w^∗[m]) (13) jest r´owna zeru (Φ(w^∗[m] = 0) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie implikacje rangowe (6) sa zachowane przez_, odwzorowanie liniowe tj= (w⁰[m])^Tρj[m].

Twierdzenie 1 wskazuje mo˙zliwo´s´c badania niesprzeczno´sci zestawu zada´n obliczeniowych Oj (15) schrakteryzowanych przez wektory zale˙zno´sci ρj[m] (1) na podstawie sprawdzenia warunku, czy warto´s´c minimalna Φ(w^∗[m]) (13) funkcji kryterialnej Φ(w[m]) (12) jest r´owna zeru.

6. Mo˙zliwo´sci wykorzystania modeli rangowych w modyfikacji zada ´n obliczeniowych

Znajomo´s´c zestawu m zada´n obliczeniowych (15) scharakteryzowanych przez wek- tory zale˙zno´sci ρj[m] (1) pozwala zdefiniowa´c zbiory R⁺[m] i R⁻[m] (7) zło˙zone z wektor´ow r´o˙znicowych rjk[m] = ρk[m] − ρj[m], a nastepnie funkcj_, e kryterialn_, a_, Φ(w[m]) (16). Minimalizacja funkcji kryterialnej Φ(w[m]) daje odpowied´z na py- tanie czy zestaw zada´n jest niesprzeczny (Tw. 1). Zestaw m zada´n obliczeniowych scharakteryzowanych przez wektory zale˙zno´sci ρj[m] (1) jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy warto´s´c minimalna Φ(w^∗[m]) (13) jest wieksza od zera (Φ(w_, ^∗[m]) > 0).

Ma to miejsce w sytuacji, gdy zbiory R⁺[m] i R⁻[m] (7) nie sa liniowo separo-_, walne (8). W takim przypadku cze´s´c wektor´ow r´o˙znicowych r_, jk[m] = ρk[m] − ρj[m]

usytuowana jest po niewła´sciwej stronie hiperpłaszczyny H(w^∗[m]) (9) wyznaczo- nej w m-wymiarowej przestrzeni zale˙zno´sci przez wektor optymalny w^∗[m] (13).

Cze´s´c wektor´ow r_, jk[m] nale˙zacych do zbioru R_, ⁺[m] usytuowana jest niewła´sciwie po ujemnej stronie hiperpłaszczyzny H(w^∗[m]) (w^∗[m]rjk< 0). Istnieja tak˙ze takie_, wektory rjk[m] ze zbioru R⁻[m], kt´ore sa niewła´sciwie usytuowane po dodatniej stro-_, nie H(w^∗[m]) (w^∗[m]rjk > 0). W problemach rozpoznawania obraz´ow znany jest fakt, ˙ze dwa zbiory liniowo nieseparowalne mo˙zna doprowadzi´c do liniowej sepa- rowalno´sci poprzez redukcje przynajmniej cz_, e´sci elemet´ow niewła´sciwie usytuowa-_, nych wzgledem hiperpłaszczyzny optymalnej H(w_, ^∗[m]) [5]. Podobne techniki reduk- cji mo˙zna stosowa´c w szeregowaniu zada´n obliczeniowych.

Zgodnie z opisana wcze´sniej wieloetapow_, a procedur_, a wydzielana jest warstwa_, funkcjonalna F₀(15) a nastepnie kolejne warstwy F_, n. Wydzielenie kolejnej warstwy Fnwia˙ze si_, e z redukcj_, a C_, n= C_n−1/F_n−1(18) zbioru zada´n i sprawdzaniu czy zacho- dzi warunek stopu (20). Warunek stopu w warstwie zerowej ma podobna posta´c (21)._, Warunek stopu wskazuje, ˙ze ˙zadne z m zada´n Okze zbioru Cnnie mo˙ze by´c zrealizo- wane, poniewa˙z wymaga to znajomo´sci wynik´ow pewnego innego zadania ze zbioru Cn. Sposobem na przerwanie tego typu wzjemnych zale˙zno´sci mo˙ze by´c taka mody- fikacja jednego z zada´n Okze zbioru Cn, by jego wykonanie nie zale˙zało od ˙zadnego innego zadania Oj ze zbioru Cn. Zredukowany wektor zale˙zno´sci ρk[m] zmodyfi- kowanego zadania O⁰_k powinien by´c r´owny wektorowi zerowemu [0, ..., 0]^T. Mody- fikacja zadania Ok prowadzaca do zerowania si_, e wektora zale˙zno´sci ρ_, k[m⁰] jest na og´oł mo˙zliwa, ale mo˙ze wymaga´c przedefiniowania nie tylko jednego, lecz wiekszej_, liczby zada´n obliczeniowych, co mo˙ze by´c obarczone du˙zymi kosztami.

W poszukiwaniu najbardziej efektywnego sposobu modyfikacji zada´n Ok

ze sprzecznego zbioru Cn mo˙zna posłu˙zy´c sie minimaln_, a warto´sci_, a Φ(w_, ^∗[m]) (13) funkcji kryterialnej Φ(w[m]) (12), okre´slonej na bazie wektor´ow zale˙zno´sci ρk[m]

(1) reprezentujacych zadania O_, k ze zbioru Cn. Bierzemy tu pod uwage tak_, a modyfi-_, kacje zada´n O_, k→ O⁰_k, kt´orym towarzyszy zerowanie sie zredukowanych wektor´ow_, zale˙zno´sci ρk[m]:

ρk[m] → [0, ..., 0]^T (24)

Zauwa˙zmy, ˙ze je˙zeli modyfikowanie zadania Ok ze sprzecznego zbioru Cn

nastepuje po wcze´sniejszym wydzieleniu pewnych warstw funkcjonalnych F_, n, to wa- runek (24) nie ogranicza zale˙zno´sci zadania Okod innych zada´n z tych warswtw.

Wyb´or zadania Ok do modyfikacji mo˙zna oprze´c na kryterium maksymal- nego spadku 4kΦ(w^∗[m]) minimalnej warto´sci Φ(w^∗[m]) (13) funkcji kryterialnej Φ(w[m]) (12) w wyniku modyfikacji (24) wektora zale˙zno´sci ρk[m] (1) zadania Ok:

4_kΦ(w^∗[m]) = max

j∈I_n 4_jΦ(w^∗[m]) (25)

gdzie j ∈ In⇔ O_j∈ C_n

Zgodnie z powy˙zszym kryterium modyfikowania, do modyfikacji wybieramy takie zadanie, kt´ore daje najwiekszy spadek minimalnej warto´sci funkcji kryterialnej_, okre´slonej na zredukowanym zbiorze Cn.

Mo˙zna zało˙zy´c, ˙ze obliczanie potencjalnych spadk´ow 4jΦ(w^∗[m]) minimal- nej warto´sci Φ(w^∗[m]) (13) funkcji kryterialnej Φ(w[m]) (12) jest stosunkowo tanie w stosunku do koszt´ow δj (δj> 0) rzeczywistej modyfikacji poszczeg´olnych zada´n obliczeniowych Oj.

Je˙zeli znane sa koszty δ_, jmodyfikacji poszczeg´olnych zada´n obliczeniowych Oj, to kryterium wyboru zadania Ok do modyfikacji mo˙ze uwzglednia´c tak˙ze wielko´sci_, δj:

4_kΦ(w^∗[m])/δk= max

Oj∈Cn

4_jΦ(w^∗[m])/δj (26)

Opisana powy˙zej procedura pozwala usuwa´c sprzeczno´s´ci z zestaw´ow zada´n obliczeniowych Ojpoprzez modyfikacje wybranych zada´n O_, k.

Innym wa˙znym w praktyce problemem jest zagadnienie redukcji niepotrze- bych zada´n obliczeniowych Oj tworzacych zbi´or C_{, 0} (14). W pewnych przypadkach mo˙zemy by´c zainteresowani w jak najszybszym uzyskaniu wyniku okre´slonego za- dania Ok. Uzyskanie wyniku danego zadania Okwymaga wykonania pewnych zada´n Oj, lecz wykonywanie innych zada´n ze zbioru C₀mo˙ze nie by´c konieczne. Zidenty- fikowanie takich niekoniecznych zada´n Ojpozwala je pomina´c i w rezultacie skr´oci´c_, czas oblicze´n.

Zał´o˙zmy, ˙ze zbi´or C0zada´n Ojscharakteryzowych przez wektory zale˙zno´sci ρj

(1) i czasy realizacji τj jest niesprzeczny. W tym przypadku wszystkie zadania Oj

moga by´c przyporz_, adkowane poszczeg´olnym warstwom funkcjonalnym F_, n(19). Do- godnie jest posługiwa´c sie wtedy indeksowaniem kanonicznym opisanym w dowo-_, dzie Twierdzenia 1. Redukcja zada´n Ojoznacza te˙z zmniejszanie wymiaru wektor´ow zale˙zno´sci ρj[m] (1).

Je˙zeli zadania Oj zostały przyporzadkowane poszczeg´olnym warstwom funk-_, cjonalnym Fni wybrane zadanie Okznalazło sie w warstwie F_, n⁰, to wszystkie zadania z warstw wy˙zszych Fn(n > n⁰), jak r´ownie˙z r´o˙zne od Okzadania z warstwy Fn⁰moga_, zosta´c zredukowane (pominiete). W rezultacie takiej redukcji powstaje zbi´or zredu-_, kowany C₀⁰. Zbi´or C₀⁰ mo˙ze by´c w pewnych okoliczno´sciach dodatkowo zredukowany.

W tym celu sprawdzamy czy w zbiorze C₀⁰ znajdzie sie takie zadanie O_, j⁰, kt´ore nie poprzedza ˙zadnego innego zadania z tego zbioru. Je˙zeli takie zadanie zostanie zna- lezione, to zadanie to usuwamy ze zbioru C₀⁰ i powt´ornie poszukujemy w ostatnio zredukowanym zbiorze C₀⁰ zadania Oj⁰⁰, kt´ore nie poprzedza ˙zadnego innego zadania z tego zbioru. Je˙zeli zadanie Oj⁰⁰o takiej wła´sciowo´sci bdzie znalezione, to usuwamy

je ze zbioru C₀⁰. Poszukiwania niekoniecznych zada´n Oj i ich redukcje powtarzamy do momentu, gdy w zbiorze C₀⁰ nie bedzie element´ow nadaj_, acych si_, e do redukcji._,

7. Wyniki eksperyment´ow

Przy zastosowaniu opisanych wczesniej metod wykonane zostały dwa ekspery- menty, sprawdzajace w praktyce słuszno´s´c zaproponowanych rozwi_, aza´n teoretycz-_, nych. W obu eksperymentach u˙zyto sztucznie wygenerowanych sekwencji zada´n ob- liczeniowych.

7.1 Eksperyment 1 - Sekwencja niesprzeczna

W pierwszym eksperymencie sekwencja zada´n obliczeniowych bya dobrana tak, aby zdekomponowany proces obliczeniowy był niesprzeczny, czyli aby nie wystepowały_, w nim zapetlenia. Rysunek 1 pokazuje kolejno´s´c wykonywania zada´n. Strzałka od za-_, dania Oj do zadania Okwskazuje na zale´zno´s´c zadania Ok od zadania Oj. Pomiedzy_, zadaniami Oji Okzachodzi relacja rangowa Oj≺ O_k.

Rys. 1. Sekwencja zada´n u˙zytych w eksperymencie 1

Otrzymano nastepuj_, ace wektory zale˙zno´sci ρ_, j( j = {1, ..., 9}):

ρ1= [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]^T ρ₂= [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]^T ρ₃= [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]^T ρ4= [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]^T ρ₅= [1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]^T ρ₆= [1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]^T ρ7= [1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0]^T ρ₈= [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0]^T ρ₉= [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0]^T

(27)

Na podstawie relacji rangowych pomiedzy zadaniami i ich wektor´ow zale˙zno´sci wy-_, znaczono zbiory R⁺i R⁻(7) wektor´ow r´o´znicowych rjk:

r_1,5= [1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]^T r1,6= [1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]^T r_1,7= [1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0]^T r_2,5= [1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]^T r2,8= [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0]^T r_3,6= [1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]^T r_3,7= [1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0]^T r4,6= [1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]^T r_5,7= [0, −1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0]^T r_6,8= [−1, 1, −1, −1, 0, 1, 0, 0, 0]^T r7,9= [−1, 0, −1, 0, −1, 0, 1, 1, 0]^T r8,9= [0, −1, 0, 0, 0, −1, 1, 1, 0]^T

R⁺= {r_1,5, r_1,6, r_1,7, r_2,5, r_2,8, r_3,6, r_3,7, r_4,6, r_5,7, r_6,8, r_7,9, r_8,9} R⁻= φ

(28)

Poprzez minimalizacje warto´sci funkcji kryterialnej Φ(w) (12) wyznaczono opty-_, malny wektor parametr´ow w^∗:

w^∗= [−1, 0, −1, 0, 0, 0, −3, −4, 0, 0]^T (29) Warto´s´c minimalna funkcji kryterialnej Φ(w^∗) (13) przyjmuje warto´s´c zero, wiec_, zgodnie z twierdzeniem 1 zestaw zada´n jest niesprzeczny i mo´ze by´c realizowany w zało˙zonej sekwencji.