Lista 15. Przekształcenia wykresów funkcji
1. Narysuj figury zadane równaniami: x = 0, x2− y = 0, x2+ y2 = −1, x2+ y2= 0, x2+ y2= 1, x2− y2= 0, x2− y2= 1.
Naszym celem jest pokazanie, że nie ma innych krzywych stopnia 2 (tzw.
"krzywych stożkowych"), o których zadania robiliśmy ostatnio. Aby to zrobić musimy zrozumieć liniowe zamiany zmiennych. Zaczniemy od naj- prostszych.
Dylatacje
2. Podaj wzory funkcji rozciągniętej dwukrotnie oraz półkrotnie wzdłuż osi Ox i Oy dla funkcji: y = x, y = x2, y = 1/x, y = sin x, y = x5+ x + 1 (narysuj tabelkę).
3. Jak zmienia się funkcja y = f (x), gdy rozciągamy wykres w skali k wzglę- dem osi: a) Ox, b) Oy.
4. Jak zmieniają się wykresy: a) okręgu x2+ y2= 1, b) hiperboli x2− y2= 1, gdy dylatujemy wykres 3x względem osi Ox, a potem 7x względem osi Oy.
Translacje
5. O jaki wektor należy przesunąć wykres funkcji y = x2, żeby dostać wykres funkcji y = x2+ x + 1?
6. Przesuń o wektory A = [1, 5] oraz B = [−2, 3] wykresy z zadan 2 i 4, a następnie podaj wzory otrzymanych funkcji.
7. Znajdź prostą, która przesunięta o wektor A daje tę samą prostą, co prze- sunięta o wektor B (A i B z zadania poprzedniego).
Odbicia
8. Czy dylatacje mogą być w skali ujemnej? Jakie odbicia dają dylatacje w skali −1 względem obu osi? Jak dostać symetrię względem początku układu?
9. Co się stanie z wykresem, jeśli we wzorze zamienimy miejscami x i y?
10. Oznaczmy e1= (1, 0), e2= (0, 1). Podaj obrazy wektorów e1, e2po odbiciu względem prostej y = √
3x. Na co przejdzie punkt (x, 0) = x · e1, na co (0, y) = y · e2, a na co (x, y) = x · e1+ y · e2?
Obroty
11. Jakie będą obrazy punktów e1, e2po obrocie o kąt a) 30o, b)135o wookół początku układu. Jaki jest w tych przypadkach obraz dowolnego punktu (x, y)?
12. Na co przechodzi punkt (x, y) po obrocie o kąt α (wookół początku ukła- du).
1
Wartości bezwzględne
13. Jeśli wzór funkcji (lub krzywej) nie zależy od znaku x-a lub y-ka, to wzglę- dem jakiej prostej jest symetryczny wykres tej funkcji (lub krzywej)?
14. Narysuj wykresy z zadania 2 po zamianie wzoru na: a) y = |f (x)|, b) y = f (|x|).
15. Narysuj funkcje: y = x2− 3x + 2, y = |x2− 3x + 2|, y = |x2− 3x| + 2, y = x2− 3|x| + 2, y = |x2− 3|x| + 2|.
Ćwiczenia
16. O jaki wektor należy przesunąć wykres funkcji y = 2x − 6, aby otrzymać wykres funkcji y = f (x + 2) + 3. Czy jest tylko jedna możliwość?
17. Opisz przekształcenia, które z funkcji y = f (x) dadzą funkcję y = f (2 − x) − 4.
18. Opisz przekształcenia, które z funkcji y = f (x) dadzą funkcję y =
f (−|x| + 3) − 4 .
19. Opisz przekształcenia, które z funkcji y = f (x) dadzą funkcję y =
|f (−|x| + 3) − 4| + 3 − 4
.
20. Narysuj trzy poprzednie przekształcenia dla funkcji y = x(x − 2).
Definicja 0.1 Liniową zamianą zmiennych (układu współrzędnych) na- zywamy podstawienie:
y0= ax + by + c, x0= dx + ey + f, gdzie a, b, c, d, e, f ∈ R.
21. Jak wyrazić translacje, dylatacje, symetrie i obroty za pomocą liniowej zamiany zmiennych?
22. Wprowadź zmienne x0, y0tak, aby wykres funkcji y = x2+4x+7 zapisywał się w postaci: y0= x02.
23. Jakie przekształcenia należy wykonać, by z okręgu x2+ y2= 1 otrzymać elipsę 3(x + 2)2+ 16(x − 4)2= 1? Narysuj tę elipsę.
Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl
2