(dx + dy + dz), (b) (xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy

Ćwiczenia 8, AM 2, semestr letni, 22.05.2017 k-formy różniczkowe, różniczka zewnętrzna Zadanie 1. Oblicz

(a) (xdy + ydz + zdx) ∧ (dx + dy + dz),

(b) (xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy) ∧ (dx + dy + dz), (c) (Pⁿ_i=1xidxi)(P1¬i<j¬n

1¬k¬n xixjdxk), (d) 

P3 i=1

P4

j=i+1fij(x)dxi∧ dxj

2

,

(e) (Pⁿ_i=1dxi∧ dyi)ⁿ na R²ⁿ ze współrzędnymi liniowymi (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn).

Zadanie 2. Oblicz dω dla (a) ω = ^xdy−ydx_x2+y2 ,

(b) ω = xy²z³dx ∧ dy − yz²x³dy ∧ dz, (c) ω = P_1¬i¬j¬4xixjdxi∧ dxj, (d) ω = (x + y)ⁿ(2xy³dx + 3x²y²dy).

Zadanie 3. Rozwiąż równania (w algebrze Grassmana V^·lin{dx1, dx2, . . .}, ξ oznacza niewiadomą, a ∈ R jest para- metrem)

(a) ξ²= a²+ 2dx1∧ dx2, (b) ξ²= dx1∧ dx2∧ dx3.

Zadanie 4. Niech ω będzie 2-formą na przestrzeni wektorowej V wymiaru n, ω ∈ V²V^⋆. Wykazać, że w pewnej bazie (xi)1¬i¬nprzestrzeni V^⋆ mamy (dla pewnego 0 ¬ k ¬ n/2)

ω = x1∧ x2+ x3∧ x4+ . . . + x2k−1∧ x2k. Zadanie 5. Niech ω = e1∧e2+e3∧e4∈V2

R⁴, gdzie (ei) jest bazą standardową R⁴. Wykazać, że nie istnieją v, w ∈ R⁴ takie, że ω = v ∧ w.

Zadanie 6. Znajdź f^∗ω, gdzie

(a) f(u, v) = (x = uv, y = u², z = 3u + v), ω = xydx + 2zdy − ydz, (b) f(x, y, z) = (x²+ yz, e^xyz), ω = uv³dudv.

Zadanie 7. Udowodnić, że

xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy = r³cos βdα ∧ dβ,

gdzie (r, α, β) jest układem współrzędnych sferycznych, tzn. (x = r cos α cos β, y = r sin α cos β, z = r sin β), α ∈ (−π, π), β ∈ (−π/2, π/2). Równość 2-form zachodzi na pewnym gęstym, otwartym podzbiorze R³, jakim? Jaki jest obraz przekształcenia P : (r, α, β) 7→ (x, y, z)?

Zadanie 8. Dla pola wektorowego F = [F1, F2, F3] na R³rozważamy 1-formę ω_F¹(v) := hF, vi oraz 2-formę różniczkową ω²_F(v, w) := hF, v × wi, gdzie h·, ·i jest standardowym iloczynem skalarnym na R³.

(a) Wykazać, że ω¹_F = F1dx + F2dy + F3dz oraz ω²_F= F1dy ∧ dz + F2dz ∧ dx + F3dx ∧ dy.

(b) Dowieść, że df = ω¹_gradf, dω_F¹ = ωrotF, dω²_F = div F dx ∧ dy ∧ dz.

(c) Dowieść, że div grad f = ^∂_∂x^2f2 +^∂_∂y^2f2 +^∂_∂z^2f2, dla funkcji f ∈ C²(R³).

Zadanie 9. Niech M będzie zorientowaną powierzchnią w R³ i niech a ∈ M 7→ na ∈ TaM będzie ciągłym polem wektorów normalnych do M, na= [n1, n2, n3]. 2-formę volM ∈ Ω²(M) definiujemy wzorem

(volM)a(v, w) := hv × w, nai.

Dowieść, że

volM = n1dy ∧ dz + n2dz ∧ dx + n3dx ∧ dy.

Zadanie 10. (kąt bryłowy) Niech

ω = 1

(x²+ y²+ z²)^3/2(xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy) . Wykazać, że

ω^a(v, w) = hv × w, ai

|a|³ .

Niech M ⊂ R³\ {(0, 0, 0)} będzie powierzchnią o własności: dowolna półprosta o początku w 0 przecina M w co najwyżej jednym punkcie. Suma tych półprostych wychodzących z 0, które przecinają M tworzy stożek bryłowy C(M ). Kąt bryłowy osłonięty przez M definiuje się jako pole obszaru C(M ) ∪ S²(0, 1).

Dowieść, że kąt ten wyraża się wzorem

σ2(C(M)) =Z

M

ω