Ćwiczenia AM II
Zadania domowe, seria I. Termin oddania, poniedziałek 14.11.2016 Zadanie 1. Niech
M = {(x, y) : (k(x + 2, y)k∞− 1)(k(x − 2, y)k1− 1)(k(x, y)k2− 1) = 0}.
O funkcji ciągłej f : M → R wiadomo, że f(−3, 0) = −1 = f(3, 0) i f(−1, 0) = 1. Wyznaczyć minimalną liczbę punktów z M, w których f przyjmuje wartośc zero. Odpowiedź proszę dokładnie uzasadnić.
Zadanie 2. Niech a > 0. Dowieść, że płaszczyzny styczne do powierzchni {(x, y, z) :√
x+ √y +√ z=√
a}
odcinają na osiach układu współrzędnych odcinki, których suma długości jest stała.
Zadanie 3. Funkcja f : R2→ R spełnia następujące warunki:
(a) dla każdego c ∈ R funkcja y 7→ f(c, y) jest ciągła na R;
(b) dla każdego c ∈ R funkcja x 7→ f(x, c) jest zwężająca Wykazać, że funkcja f jest ciągła na R2.
Funkcja g : R → R nazywa się zwężająca, jeśli |g(x) − g(y)| ¬ |x − y| dla dowolnych x, y ∈ R.
Zadanie 4. Funkcja różniczkowalna f : Rn→ R spełnia Xn i=1
xi
∂f
∂xi(x) 0
w dowolnym punkcie x ∈ Rn. Wykazać, że f jest ograniczona z dołu.
Zadanie 5. Niech A = {(x, y) : 9x 4y 0 i f(x, y) = x2x+1ye−xy. Obliczyć kresy funkcji f na zbiorze A.
1
