• Nie Znaleziono Wyników

12DRAP - Typy zmiennych losowych Definicja. 1.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "12DRAP - Typy zmiennych losowych Definicja. 1."

Copied!
3
0
0

Pełen tekst

(1)

12DRAP - Typy zmiennych losowych

Definicja. 1. Zmienna losowa jest dyskretna (ma rozkład dyskretny), jeśli jest skupiona na zbiorze przeliczalnym swoich atomów.

Definicja. 2. Zmienna losowa jest ciągła (ma rozkład ciągły), jeśli istnieje nieujemna funkcja rzeczywista f : R → R (zwana gęstością) taka, że dla każdego zbioru borelowskiego A ⊆ R mamy PX(A) = P (X ∈ A) =R

Af (x)dx.

Definicja. 3. Zmienna losowa jest osobliwa (ma rozkład osobliwy), jeśli jest skupiona na nieprzeliczalnym zbiorze o mierze 0 i nie ma atomów.

UWAGA: Zamienna losowa dyskretna jest skupiona na zbiorze swoich atomów. Ani zmienna losowa ciągła ani zmienna losowa osobliwa nie mają atomów.

Twierdzenie. 1. (Lebesgue’a o rozkładzie kanonicznym) Dystrybuanta F dowolnej zmiennej losowej może być przedsta- wiona jako liniowa kombinacja wypukła dystrybuant: Fd zmiennej losowej dyskretnej, Fc zmiennej losowej ciągłej i Fo

zmiennej losowej osobliwej.

F = c1Fd+ c2Fc+ c3Fo, ci­ 0, c1+ c2+ c3= 1.

Rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do zbioru zerowej miary Lebesque’a.

A Zadania na ćwiczenia

Zadanie A.1. Zbiór Cantora.

a. Przypomnij sobie konstrukcję zbioru Cantora. Narysuj na odcinku [0,1] trzy pierwsze kroki konstrukcji zbioru Cantora.

b. Jaką miarę w sensie Lebesgue’a („długość”) mają w sumie odcinki wyrzucane w n–tym kroku? Jaką miarę ma zbiór Cantora?

c. Każdą liczbę a ∈ [0, 1] można zapisać wykorzystując jej rozwinięcie w systemie trójkowym jako 0, a1a2a3a4. . ., ai∈ {0, 1, 2}. Wtedy:

a = a11 3+ a2 1

32 + a3 1 33+ a4 1

34 + . . .

Które z liczb (o jakich wartościach: a1, a2, a3, . . .) zostają w zbiorze Cantora po kroku: 1, 2, 3, n (n ∈ N)?

d. Na podstawie powyższych obserwacji opisz ogólnie, jak wygląda rozwinięcie w systemie trójkowym liczb ze zbioru Cantora. Dlaczego?

e. Jaka jest moc zbioru Cantora?

UWAGA: W następnym zadaniu będziemy rozważać nieskończony rzut monetą. Przypomnijmy sobie, że na wykładzie opisywaliśmy przestrzeń probabilistyczną związaną z nieskończonycm rzutem monetą ([0, 1), B([0, 1)), Pgeom). Tym razem nie będziemy jednak ignorować ciągów typu ∗ ∗ ∗ ∗ RRRRRRR . . .1 (kończących się nieskończoną serią Reszek). Możemy

„sztucznie” dołączyć je do przestrzeni (jest ich „tylko” przeliczalnie wiele).

Zadanie A.2. Rozważmy grę, w której nieskończenie wiele razy rzucamy monetą. Za wylosowanie Orła w i–tym rzucie nie dostajemy nic a za wylosowanie Reszki w i–tym rzucie dostajemy 2/3i kredytu. Niech X będzie ostateczną wygraną w tej grze.

a. Wyznacz, zapisz w systemie trójkowym i rozwiń w postaci sumy ułamków (odpowiadających rozwinięciom w systemie trójkowym) wartości funkcji X dla konkretnych wyników rzutów monetą.

X(ORROR(O)), X(RRR(O)), X((R)).

Uwaga: Przez (R) i (O) oznaczamy nieskończoną serię Reszek i Orłów, odpowiednio.

b. Jakie wartości przyjmuje zmienna losowa X dla ciągów postaci:

O ∗ ∗ ∗ ∗, R ∗ ∗ ∗ ∗,

OO ∗ ∗ ∗ ∗, OR ∗ ∗ ∗ ∗, RO ∗ ∗ ∗ ∗, RR ∗ ∗ ∗ ∗

OOO ∗ ∗ ∗ ∗, OOR ∗ ∗ ∗ ∗, ORO ∗ ∗ ∗ ∗, ORR ∗ ∗ ∗ ∗, ROO ∗ ∗ ∗ ∗ . . . c. Na jakim zbiorze jest skupiona (jakie wartości przyjmuje) zmienna losowa X?

d. Wyznacz (i narysuj na jednym rysunku) dystrybuantę F tej zmiennej losowej na przedziałach:

(1/3, 2/3); (1/9, 2/9); (7/9, 8/9); (1/27, 2/27); (7/27; 8/27); (19/27, 20/27); (25/27, 26/27).

Jak będzie wyglądać F na pozostałych przedziałach „usuwanych” w trakcie konstrukcji zbioru Cantora?

1W tym i kolejnych zadaniach przez przez „∗ ∗ ∗∗” oznaczamy dowolny ciąg Orłów i Reszek (możliwe, że nieskończony).

1

(2)

e. Wyznacz F0(x) dla dowolnego punktu, który nie należy do zbioru Cantora.

f. Czy zmienna losowa X ma gęstość? (Przypomnij sobie jaka jest miara zbioru punktów, które nie należą do zbioru Cantora.)

g. Uzasadnij, że:

F (x) = (1

2F (3x) dla x ∈ [0,13];

1

2+12F (3x − 2) dla x ∈ [23, 1];

h. Pokaż, że dla dowolnego n ­ 1:

|x − y| ¬ (1/3)n⇒ |F (x) − F (y)| ¬ (1/2)n. Czy z tego wynika, że dystrybuanta F jest funkcją ciągłą?

Zadanie A.3. Odpowiedz TAK/NIE na poniższe pytania dotyczące zmiennej losowej X z poprzedniego zadania. Odpo- wiedzi uzasadnij.

a. Czy X jest skupiona na pewnym zbiorze przeliczalnym? Czy X jest zmienną losową dyskretną?

b. Czy X ma gęstość? Czy X jest zmienną losową ciągłą?

c. Czy X jest skupiona na zbiorze o mocy c i mierze 0? Czy X ma atomy? Czy X jest zmienną losową osobliwą?

d. Czy X ma ciągłą dystrybuantę?

e. Czy każda zmienna losowa ciągła ma ciągłą dystrybuantę?

f. Czy każda zmienna losowa z ciągłą dystrybuantą jest zmienną losową ciągłą?

Zadanie A.4. Zapisz dystrybuantę F zmiennej losowej X jako liniową kombinację dystrybuant Fd i Fc zmiennych losowych dyskretnej Xd i ciągłej Xc. Podaj rozkład zmiennych losowych Xd i Xc.

F (x) =









0 dla x < 0;

2

9x + 13 dla 0 ¬ x < 1;

1

3x + 13 dla 1 ¬ x < 2;

1 dla x ­ 2.

B Zadania domowe

Zadanie B.1. Obejrzyj stronę:

https://demonstrations.wolfram.com/CantorFunction/

Zadanie B.2. Określ, czy poniższe stwierdzenia są prawdziwe. Uzasadnij odpowiedzi.

a. Każda zmienna losowa o atomach {1, 2, 3} jest zmienną losową dyskretną.

b. Jeśli zmienna losowa ma ciągłą dystrybuantę, to jest zmienną losową ciągłą.

c. Jeśli zmienna losowa jest skupiona na skończonym zbiorze, to jest zmienną losową dystkretną.

d. Dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej X ma tyle punktów nieciągłości, ile X ma atomów.

e. Każda zmienna losowa o nieciągłej dystrybuancie jest zmienną losową dyskretną.

f. Jeśli zmienna losowa jest ciągła, to ma ciągłą dystrybuantę.

g. Każda zmienna losowa skupiona na zbiorze o mocy continuum nie ma atomów.

h. Zbiór Cantora jest mocy continuum.

Zadanie B.3. Zapisz dystrybuantę F zmiennej losowej X jako liniową kombinację dystrybuant Fd i Fc zmiennych losowych dyskretnej Xd i ciągłej Xc. Podaj rozkład zmiennych losowych Xd i Xc.

a. F (x) =









0 dla x < −1;

1

3x +13 dla − 1 ¬ x < 0;

1

3x +23 dla 0 ¬ x < 1;

1 dla x ­ 1.

b. F (x) =













0 dla x < −1;

1

8x + 14 dla − 1 ¬ x < 0;

1

2 dla 0 ¬ x < 1;

1

4x + 12 dla 1 ¬ x < 2;

1 dla x ­ 2.

C Zadania dla chętnych

Zadanie C.1. Dystrybuanta zmiennej losowej X z zadania A.2 ma następujące własności:

a. F x3 =F (x)2 dla x ∈ [0, 1];

b. F (1 − x) = F (x) dla x ∈ [0, 1].

Uzasadnij je.

2

(3)

Odpowiedzi do niektórych zadań

B.2 F F P P F P F P

B.3 a. F (x) = 13Fd(x) +23Fc(x)

Fd(x) =

(0 dla x < 0;

1 dla x ­ 0. Fc(x) =





0 dla x < −1;

1

2x + 12 dla − 1 ¬ x < 1;

1 dla x ­ 1.

P (Xd= 0) = 1, fc= (1

2 dla − 1 ¬ x < 1;

0 dla pozostałych x.

b. F (x) = 58Fd(x) +38Fc(x)

Fd(x) =









0 dla x < −1;

1

5 dla − 1 ¬ x < 0;

3

5 dla 0 ¬ x < 1;

1 dla x ­ 1.

Fc(x) =













0 dla x < −1;

1

3x +13 dla − 1 ¬ x < 0;

1

3 dla 0 ¬ x < 1;

2

3x −13 dla 1 ¬ x < 2;

1 dla x ­ 2.

P (Xd = −1) = 1

5, P (Xd= 0) = 2

5, P (Xd= 1) = 2

5; fc =





1

3 dla − 1 ¬ x < 0;

2

3 dla 1 ¬ x < 2;

0 dla pozostałych x.

3

Cytaty

Powiązane dokumenty

Czas trwania rozmowy z kolegą (liczony w minutach) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale [1, 5]; w przypadku gdy dzwoni ko- leżanka, jest to zmienna o

5. Każdego dnia student udaje się na uczelnię, losowo wybierając środek transportu: tramwaj lub autobus, z prawdopodobieństwami 2/3 i 1/3, odpowiednio. Czas przejazdu

Trzech współlokatorów (Bartek, Czarek i Darek) decydują się oddać butelki do skupu.. Zadanie wymaga udziału

(a) Znaleźć rozkład brzegowy zmiennej Y, liczby punktów uzyskanych w II etapie teleturnieju przez losowo wybranego uczestnika... Niezależne

Rozkłady zmiennych

[r]

Zadania ze statystyki matematycznej (Statystyka B)

Sprawdź z definicji, czy ciąg zmiennych losowych {X n } ∞ n=1 określony na tej przestrzeni probabilistycznej jest zbieżny do zmiennej losowej X: z prawdopodobieństwem jeden,