Rachunek Różniczkowy

Rachunek

Różniczkowy

Sąsiedztwo punktu

Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również

punktami. Dla ustalonego punktu x0 i promienia r > 0 zbiór S(x₀, r) = (x₀ − r, x₀) ∪ (x₀, x₀ + r)

nazywamy sąsiedztwem punktu x0.

x₀

x₀ − r x₀ + r

Granica funkcji w punkcie

Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu x0.

f : S(x₀, r) → ℝ .

Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie x0, gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach

x_n ∈ S(x₀, r)

zbieżnego do x0 ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g.

Piszemy wtedy

x→xlim₀ f(x) = g .

Granica funkcji w punkcie

g

x₀ ^{x5 x4 x3 x2 x1}

f (x₁) f (x₂) f (x₃) f (x₄) f (x₅)

Własności granicy funkcji w punkcie

Ponieważ definicja granicy funkcji w punkcie odwołuje się do granicy ciągu, to własności granicy funkcji są podobne do

własności granicy ciągu.

∙ lim

x→x₀ ( f(x) ± g(x)) = lim

x→x₀ f(x) ± lim

x→x₀ g(x),

∙ lim

x→x₀ (λ ⋅ f(x)) = λ lim

x→x₀ f(x),

∙ lim

x→x₀

f(x)

g(x) = _x→xlim

0 f(x)

x→xlim₀ g(x) , o ile  lim

x→x₀ g(x) ≠ 0.

∙ lim

x→x₀ ( f(x) ⋅ g(x)) = lim

x→x₀ f(x) ⋅ lim

x→x₀ g(x),

Funkcja ciągła w punkcie

Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0.

f : U(x₀, r) → ℝ .

Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0, gdy istnieje granica funkcji w punkcie x0 oraz

x→xlim₀ f(x) = f(x₀) .

Otoczeniem punktu x0 nazywamy przedział

U(x₀, r) = (x₀ − r, x₀ + r) = S(x₀, r) ∪ {x₀} .

Funkcja ciągła w punkcie

f(x₀)

x₀ ^{x5 x4 x3 x2 x1}

f (x₁) f (x₂) f (x₃) f (x₄) f (x₅)

Funkcja ciągła w zbiorze

Mówimy, że funkcja

f : X → ℝ .

jest ciągła w zbiorze X, gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru X.

Z własności granicy funkcji w punkcie i definicji ciągłości wynika, że funkcjami ciągłymi w swoich dziedzinach są:

wielomiany, funkcje wymierne, funkcje potęgowe, funkcje wykładnicze i funkcje logarytmiczne.

Ponadto, suma, różnica, iloczyn, iloraz i złożenie funkcji ciągłych jest również funkcją ciągłą.

Funkcja nieciągła

f(x₀)

x₀ ^{x5 x4 x3 x2 x1}

f (x₁) f (x₂) f (x₃) f (x₄) f (x₅)

Pochodna funkcji w punkcie

Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0.

f : U(x₀, r) → ℝ .

Niech x będzie dowolnym punktem otoczenia U różnym od x0. Wówczas różnica x - x0 jest przyrostem argumentu.

Oznaczam go symbolem

Δf = f(x) − f(x₀) . Δx = x − x₀ .

Temu przyrostowi argumentu odpowiada przyrost wartości funkcji

Pochodna funkcji w punkcie

Iloraz

Δf

Δx = f(x) − f(x₀) x − x₀

jest tangensem kąta nachylenia siecznej do wykresu funkcji f przechodzącej przez punkty

P = (x, f(x)), P₀ = (x₀, f(x₀)) .

f (x₀)

x₀ x

f (x)

P₀

P

α

α

f(x) − f(x₀) x − x₀

Pochodna funkcji w punkcie

Iloraz

Δf

Δx = f(x) − f(x₀)

x − x₀ = f(x₀ + Δx) − f(x₀)

Δx .

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0

odpowiadającym przyrostowi

f (x₀)

x₀ x

f (x)

P₀

P

α

Δx .

Δf

Δx = tg α

Równanie siecznej

Iloraz różnicowy jest zatem współczynnikiem kierunkowym w równaniu siecznej.

f(x₀)

x₀ x

f(x)

P₀

P

α

y − f(x₀) = Δf

Δx (x − x₀)

Pochodna funkcji w punkcie

Iloraz różnicowy funkcji f jest funkcją zmiennej x określoną w sąsiedztwie punktu x0.

g(x) = Δf

Δx = f(x) − f(x₀) x − x₀ .

Pochodną funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego, gdy x dąży do x0 i oznaczamy symbolem

f′(x₀) = lim

x→x₀

f(x) − f(x₀)

x − x₀ = lim

Δx→0

f(x₀ + Δx) − f(x₀)

Δx .

O funkcji, która ma pochodną w punkcie x0 mówimy, że jest różniczkowalna w tym punkcie.

Równanie stycznej

Pochodna funkcji f w punkcie x0 jest współczynnikiem kierunkowym w równaniu stycznej.

f(x₀)

x₀ x

α

y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)

Pochodna funkcji w punkcie

Zatem jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, to posiada w tym punkcie styczną do swojego wykresu.

Funkcje nie posiadające stycznej nie mogą być zatem różniczkowalne.

Funkcja nie jest

różniczkowalna w punkcie 0, bo nie ma określonej

stycznej do swojego wykresu w tym punkcie - wykres

posiada tzw. ostrze.

y = |x|

Pochodne funkcji elementarnych

∙ ( 1 x )

′ = − 1 x² ,

∙ (a^x)′ = a^x ⋅ ln a,

∙ (λ)′ = 0,

∙ (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹,

∙ (log_a x)′ = 1

x ⋅ ln a ,

∙ (e^x)′ = e^x,

∙ (ln x)′ = 1 x .

Własności pochodnej funkcji w punkcie

∙ (f(x) ⋅ g(x))^′ = f′(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g′(x),

∙ ( f(x) g(x) )

′ = f′(x)g(x) − f(x)g′(x) (g(x))² ,

∙ (λ ⋅ f(x))^′ = λ ⋅ f′(x),

∙ (f(x) ± g(x))^′ = f′(x) ± g′(x),

∙ (g(f(x)))^′ = g′(f(x)) ⋅ f′(x) .

Funkcja różniczkowalna
 w zbiorze

Mówimy, że funkcja

f : X → ℝ .

jest różniczkowalna w zbiorze X, gdy jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru X.

Z własności pochodnej funkcji w punkcie wynika, że funkcjami różniczkowalnymi w swoich dziedzinach są:

wielomiany, funkcje wymierne, funkcje potęgowe, funkcje wykładnicze i funkcje logarytmiczne.

Ponadto, suma, różnica, iloczyn, iloraz i złożenie funkcji różniczkowalnych jest również funkcją różniczkowalną.

Interpretacja ekonomiczna pochodnej - koszt krańcowy

Rozważmy funkcję C opisującą zależność kosztu

wyprodukowania towaru w zależności od ilości towaru q jaką wyprodukowano:

C : ⟨0, + ∞) → ℝ .

Przypuśćmy, że wielkość produkcji wzrosła o jednostek, licząc od poziomu q0. Wtedy średni koszt zwiększenia

produkcji o przypadający na dodatkową jednostkę jest równy

Δq Δq

C(q₀ + Δq) − C(q₀)

Δq .

Interpretacja ekonomiczna pochodnej - koszt krańcowy

Mówi ona jaki jest przybliżony koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki produktu. W podobny sposób

definiujemy popyt krańcowy, czy utarg krańcowy.

Graniczna wartość tego kosztu przy dążącym do 0

nazywana jest kosztem krańcowym przy poziomie produkcji q0. Jest to oczywiście pochodna

Δq C(q₀ + Δq) − C(q₀)

Δq .

C′(q₀) = lim

Δq→0

C(q₀ + Δq) − C(q₀)

Δq .

Elastyczność funkcji

Dla funkcji różniczkowalnej

f : (0, + ∞) → ℝ . iloraz

f(x + Δx) − f(x) f(x)

nazywamy przyrostem względnym funkcji f. Natomiast iloraz Δx

x

przyrostem względnym argumentu x.

Elastyczność funkcji

Stosunek

f(x + Δx) − f(x) f(x)

Δxx

= xf(x) ⋅ f(x + Δx) − f(x) Δx

nazywamy elastycznością funkcji f w przedziale ⟨x, x + Δx⟩ . Elastyczność określa procentowy przyrost wartości funkcji f odpowiadający przyrostowi argumentu x o 1% na przedziale

⟨x, x + Δx⟩ .

Elastyczność funkcji

Granica powyższej elastyczności, czyli

Δx→0lim

x

f(x) ⋅ f(x + Δx) − f(x) Δx

nazywana jest elastycznością funkcji f w punkcie x i oznaczana symbolem Exf. Zatem

E_x f = lim

Δx→0

f(x)x ⋅ f(x + Δx) − f(x)

Δx = x

f(x) ⋅ f′(x) .

Elastyczność funkcji

Elastyczność funkcji f w punkcie x określa w przybliżeniu

procentowy przyrost wartości funkcji f (wzrost albo spadek), odpowiadający przyrostowi argumentu o 1% (licząc od

poziomu x).

,j l

:.( J

11 jl

,J

l '

58 ^Rachunek rótnicz]umry funkcji jednej zmiennej

nazywamy przyrostem funkcji f, natomiast iloraz

Llx

X

przyrostem argumentu x.

Stosunek

f(x+Llx)-f(x) .fa

f(:x) : ---:;

nazywamy ftinkcji f na przedziale (:x, x + ^Ltx).

procentowy przyrost funkcji]';

przyrostowi argumentu x o 1 ^% (na przedziale (x, x+Llx) ).

Granica funkcji f ^1\a przedziale <x. x+ Ax) nazywana jest elastycznóStUl funkcji f w punkcie x i oznaczana jest symbolern E,f

Zatem

. (f<x+,1x)-f(x). Ax) ·!' ^(x).

EJ= ^hm f ^{Cr) · x f(x)}

funkcji f ^{w punkcie} x ^w procentowy przyrost funkcji f (wzrost lub spadek), przyrostowi argumentu o l % od poziomu x).

Popatrzmy jak interpretacja geometryczna funkcji

w punkciex₀

y y

I _!

l I

.f

I

!

!

I

I

!

Pochothw funkc.ji 59

· ( ) f ^{(:xo) · la fu k ··} f . ^{k · · •}

Pomewa x e styczna„ n ^CJL w pun cie x₀ Jest rowna

a

.f(xo) = x⁰

f ^{(xo) f(x}₀₎ a a · Widzimy funkcja po lewej stronie ma w punkcie x₀

od 1, natomiast funkcja po prawej stronie ma od

1. Powyzsza interpretacja geometryczna poWiMa zrozumienie nego zagadnienia.

Naturalnym problemem, z jakim styka jest wptyw

wzrostu ceny na dochód. wskutek podniesienia

ceny popyt zmaleje. zmiana dochodu ze wzrostem ceny od tego, jak szybko spada popyt

Niech Q (.p) oznacza popytu na dany towar przy cenie ^p.

Wtedy przychód jest postaci

R(p)=p·Q(p). Zatem

R' (p)=Q (p)+ ^p. Q' (p).

Oznacza to, przychód gdy R' (p}>O (patrz punkt 3.2), ezyli wtedy i tylko wtedy, gdy

p·Q'(p)>-Q(p).

Zatem

- Q(p). p Q'(p)<l Q(p)>O),

lewa strona znak) jest

funkcji popytu ceny, 11:óra z tego powodu nazywa sii;

cenowa,,popytu. ona w o ile procent zmieni popyt na dane dobro, gdy jego cena o 1%.

przypadki:

a) EP Q < - 1 - popyt jest elastyczny, czyli przyrostowi ceny o l ^% odpowiada spadek popytu 1 %,

b) ^{E Jl} Q = -1 - popyt Jest neutralny, czyli przyrostowi ceny o 1 ^% odpowiada spadek popytu o 1 %,

c) - 1 <EP Q <O - popyt jest nieelastyczny, czyli przyrostowi ceny o 1%

odpowiada spadek popytu mniejszy 1 %.

Zatem w naszym przypadku dochód ^gdy popyt jest nieelastyczny, a zmaleje, gdy popyt jest elastyczny. ·

f′(x₀) = f(x₀) a , E_x0 f = x₀

f(x₀)

f(x₀)

a = x₀ a .

E_x0 f > 1 E_x0 f < 1

Interpretacja ekonomiczna elastyczności funkcji

Niech Q(p) oznacza wielkość popytu na dany towar przy

cenie p. Wtedy przychód R przedsiębiorstwa wyrażony jest funkcją postaci

R(p) = p ⋅ Q(p) . Zatem

R′(p) = Q(p) + p ⋅ Q′(p) .

Ponieważ, jak się później przekonamy, przychód wzrośnie, gdy R′(p) > 0,

to z powyższego równoważne jest z warunkiem p ⋅ Q′(p) > − Q(p), czyli p

Q(p) ⋅ Q′(p) > − 1.

Interpretacja ekonomiczna elastyczności funkcji

Otrzymaliśmy zatem, że

E_pQ = p

Q(p) ⋅ Q′(p) > − 1,

czyli przychód przedsiębiorstwa wzrośnie, gdy elastyczność cenowa popytu będzie większa od -1.

• ^EpQ < -1 — popyt jest elastyczny, przyrostowi ceny o 1% odpowiada spadek popytu większy niż 1%,

• ^EpQ = -1 — popyt jest neutralny, przyrostowi ceny o 1% odpowiada spadek popytu o 1%,

• ^EpQ > -1 — popyt jest nieelastyczny, przyrostowi ceny o 1% odpowiada spadek popytu mniejszy niż 1%.

Monotoniczność funkcji
 a znak pochodnej

Załóżmy, że funkcja f jest określona i różniczkowalna na pewnym przedziale (otwartym lub domkniętym) I

f : I → ℝ, I ⊂ ℝ .

Funkcja f jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy f′(x) = 0 dla x ∈ I .

Jeśli w przedziale I pochodna funkcji ma dodatni (odp. ujemny) znak, tzn.

f′(x) > 0 (odp. f′(x) < 0) dla x ∈ I,

to w przedziale I funkcja f jest rosnąca (odp. malejąca).

Monotoniczność funkcji
 a znak pochodnej

Funkcja f różniczkowalna na przedziale I jest niemalejąca (odp.

nierosnąca) wtedy i tylko wtedy, gdy

f′(x) ⩾ 0 (odp. f′(x) ⩽ 0) dla x ∈ I .

f (x₀)

x₀ x

α

f′(x₀) = tg α > 0.

W otoczeniu punktu x₀ funkcja rośnie.

Ekstrema lokalne funkcji

Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą w przedziale domkniętym oraz niech punkt

f(x₀) ⩾ f(x) (odp. f(x₀) ⩽ f(x)),

⟨a, b⟩ x₀ ∈ (a, b) .

Jeżeli istnieje takie sąsiedztwo punktu x0, że dla wszystkich punktów x ∈ S(x₀, r)S(x₀, r)

to mówimy, że funkcja f osiąga w punkcie x0 maksimum (odp.

minimum) lokalne. Jeśli w powyższych nierównościach

zamienimy nierówności na ostre, to otrzymamy odpowiednio definicję maksimum i minimum lokalnego właściwego.

Maksimum i minimum określamy wspólną nazwą ekstremum.

Warunek konieczny ekstremum

Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą w przedziale domkniętym oraz niech punkt

∙ f′(x₀) istnieje i f′(x₀) = 0,

⟨a, b⟩ x₀ ∈ (a, b) .

Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne, to albo

albo

∙ f′(x₀) nie istnieje. f (x₀)

x₀

Warunek wystarczający ekstremum

Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą w przedziale domkniętym oraz niech punkt

∙ f jest różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie S(x₀, r),

⟨a, b⟩ x₀ ∈ (a, b) .

Jeżeli spełnione są warunki:

∙ f′(x) < 0 dla x ∈ (x₀ − r, x₀),

∙ f′(x) > 0 dla x ∈ (x₀, x₀ + r),

to funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne.

Warunek wystarczający ekstremum

Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą w przedziale domkniętym oraz niech punkt

∙ f jest różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie S(x₀, r),

⟨a, b⟩ x₀ ∈ (a, b) .

Jeżeli spełnione są warunki:

∙ f′(x) > 0 dla x ∈ (x₀ − r, x₀),

∙ f′(x) < 0 dla x ∈ (x₀, x₀ + r),

to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne.

Warunek wystarczający ekstremum

Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą w przedziale domkniętym oraz niech punkt

∙ f jest różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie S(x₀, r),

⟨a, b⟩ x₀ ∈ (a, b) .

Jeżeli spełnione są warunki:

∙ f′(x) ma stały znak w sąsiedztwie S(x₀, r), to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie x0.

Zastosowanie ekonomiczne optymalna wielkość produkcji

Przypuśćmy, że pewne przedsiębiorstwo wytwarza tylko jeden produkt i cała wytwarzana ilość tego produktu jest

sprzedawana. Niech q oznacza wielkość produkcji, a R(q) oraz C(q) odpowiednio przychód ze sprzedaży i koszt wytworzenia q jednostek tego produktu. Zakładamy, że funkcje R i C są różniczkowalne. Zysk ze sprzedaży q jednostek danego

produktu wynosi

Z(q) = R(q) − C(q), q ⩾ 0.

Optymalną wielkością produkcji jest wielkość produkcji, która zapewnia maksymalny zysk.

Zastosowanie ekonomiczne optymalna wielkość produkcji

Z warunku koniecznego i wystarczającego ekstremum wynika, że wielkość produkcji q0 zapewniająca maksymalny zysk musi spełniać warunki:

∙ Z′(q₀) = 0,

czyli układ warunków:

∙ Z′(q) > 0 dla q < q₀,

∙ Z′(q) < 0 dla q > q₀,

∙ R′(q₀) = C′(q₀),

∙ R′(q) > C′(q) dla q < q₀,

∙ R′(q) < C′(q) dla q > q₀ .