• Nie Znaleziono Wyników

2 2 ˆ ˆ ˆ − i − i − i i −  d ( z ) |( t + ) > ≅ exp[ T ]exp[ V ]exp[ T ]|( t ) > ˆ ˆ 0 t t t t 0 U ( t , t ) = exp[ − (ˆ T + V )( t − t )] 2   2  = ( E − V )( z ) 0 0 0 i * 2  2 m dz i

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "2 2 ˆ ˆ ˆ − i − i − i i −  d ( z ) |( t + ) > ≅ exp[ T ]exp[ V ]exp[ T ]|( t ) > ˆ ˆ 0 t t t t 0 U ( t , t ) = exp[ − (ˆ T + V )( t − t )] 2   2  = ( E − V )( z ) 0 0 0 i * 2  2 m dz i"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Imię i Nazwisko, nr. Indeksu:

       

 

MODELOWANIE  NANOSTRUKTUR  –  EGZAMIN  –  12.01.2013    

1) Rozważmy ruch elektronu w dwóch półprzewodnikach scharakteryzowanych przez masy efektywne m1* oraz m2*.

Funkcja falowa elektronu

ψ(z)

w każdym z półprzewodników spełnia równanie

−2 2mi*

d2ψ (z)

dz2 = (E −V0i)ψ (z) gdzie i =1,2, a V0i jest energią pasma przewodnictwa w półprzewodnikach 1 i 2 Na granicy dwóch półprzewodników (z = 0) funkcja falowa

ψ(0)

i jej pochodna

ψ’(0)

spełniają następujące warunki:

(a)

ψ

1

(0) = ψ

2

(0) & ψ’

1

(0) = ψ’

2

(0) (b) (1/m

1

*) ψ

1

(0) =(1/m

2

*) ψ

2

(0) & ψ’

1

(0) = ψ’

2

(0)

(c)

ψ

1

(0) = ψ

2

(0) & (1/m

1

*) ψ’

1

(0)=(1/m

2

*) ψ’

2

(0) (c) ψ

1

(0) = ψ

2

(0) & m

1

* ψ’

1

(0) =m

2

* ψ’

2

(0)

2) Periodyczne struktury półprzewodnikowe, n.p. supersieci, scharakteryzowane są przez periodyczny potencjał V(z),

tzn. V(z+nL) = V(z), gdzie L jest okresem supersieci. Funkcja falowa elektronu w supersieci spełnia równanie (a)

ψ(z+nL) = ψ(z) (b) ψ(z+nL) = ψ(L) (c) ψ(z+nL) = nψ(z) (d) ψ(z+nL) = exp(iknL)ψ(z),

gdzie k jest wektorem falowym supersieci.

3)

Wektor falowy k (wektor quasi-pędu) supersieci o okresie L należący do Strefy Brillouina przyjmuje wartości z przedziału:

(a) ]-π/L, π/L] (b) ]-πL , πL] (c) [0, π/L] (d) ]-π/2L, π/2L]

4

) A & B

są dwoma operatorami w przestrzeni Hilberta. Relacja

exp(A + B) = exp(A)exp(B)

zachodzi dla

(a) dowolnych operatorów (b) operatorów, dla których

[A,B] = 0

(c) tylko dla

A = B = I

(

I

–op. jednostkowy).

5) Rozwój czasowy układu zadanego hamiltonianem H = T + V, gdzie T jest operatorem energii kinetycznej układu a V operatorem energii potencjalnej niezależnym od czasu, zadany jest operatorem U(t,tˆ 0)= exp[− i

( ˆT+ ˆV)(t − t0)]

Dla małych odstępów czasowych t-t0 = δt stan układu w chwili t0 + δt, |

ψ(

t0 + δt

)

>, oraz w chwili t0 , |

ψ(

t0)>, można związać relacją

| ψ (t

0

+ δ

t

) >≅ exp[−i 2 δ

t

T ]exp[−i  ˆ δ

t

V ]exp[−i 2 ˆ δ

t

T ] | ˆ ψ (t

0

) >

która jest prawdziwa:

(a) z dokładnością do członów δt , (b) z dokładnością do członów δt2 , (c) z dokładnością do członów δt3

6) Elektron poruszający sie w jednym kierunku (

x

) może być rozpraszany w obszarze

x

L

< x < x

R, a jego funkcja falowa poza obszarem rozpraszania dana jest równaniem

gdzie

k

l oraz

k

r są wektorami falowymi elektronu odpowiednio w obszarze

x < x

Loraz

x > x

R,

r

lamplitudą fali odbitej, a

t

r amplitudą fali

przechodzącej. Współczynnik transmisji

T

LàR dany jest następującym równaniem:

a) b) c)

( )

+

⎧ ⎪ + ≈

= ⎨ ⎪⎩ ≈

l l

r

ik x ik x

l L

ik x

r R

e re x x

t e x x

ψ

| |

2

=

L R r

T t

L R

=

l

| |

l 2

r

T k r

k

| |

2

=

r

L R r

l

T k t

k

(2)

7) Prawdopodobieńswo przejścia układu opisanego zmienną dynamiczną

q

i w czasie ti do zmiennej dynamicznej leżącej w przedziale [

q

j,

q

j

q

j] w późniejszym czasie tj zadane jest relacją Φ(

q

i, ti

| q

j, tj

)

δ

q

j. Procesy Markowa to takie, w których prawdopodobieństwo przejścia

a) Jest niezależne od jakiejkolwiek informacji o układzie w chwilach wcześniejszych do ti

b) Zależy od całej historii układu

c) Zależy od wartości zmiennej dynamicznej tylko w pewnych chwilach wcześniejszych niż ti

8) Model Isinga opisuje oddziaływanie spinów umieszczonych w węzłach sieci

H ˆ = −J s

i

<ij>

s

j

gdzie <ij> oznacza sumowanie po najbliższych sąsiadach (tylko raz).

Ferromagnetyczne

oddziaływanie spinów opisuje stała

J

, taka że:

(a)

J

> 0 (b)

J

= 0 (c)

J

< 0

9) Rozważmy powyżej opisany Model Isinga. Niech ν, µ oznacza pewne konfiguracje spinowe (czyli pewne rozkłady spinów na węzłach sieci) i niech prawdopodobieństwo wystąpienia tych konfiguracji wynosi odpowiednio P(ν) oraz P(µ). Jeżeli prawdopodobieństwo przejścia ze stanu ν do µ wynosi P(ν,µ), a ze stanu µ do ν P(µ, ν) to zasada

równowagi szczegółowej mówi że:

(a) P(ν) P(ν, µ) = P(µ) P(µ, ν) (b) P(ν) P(µ) = P(ν,µ) P(µ, ν) (c) P(ν) P(µ, ν) = P(µ) P(ν, µ)

10) Na rysunku przedstawiony jest współczynnik transmisji (tunelowania)

T(E)

przez pojedyńczą barierę prostokątną (A) oraz przez dwie bariery o tej samej szerokości i wysokości co bariera pojedyńcza (B).

Przyporządkuj krzywą transmisji barierze : (A) ßà

(B) ßà

11) (2 punkty). Rozpatrzmy prosty model ciasnego wiązania dla trójatomowej cząsteczki składającej się z trzech

identycznych atomow, każdy z jednym orbitalem na atom. Oznaczmy stany związane z atomami 1,2,3 odpowiednio

|1>,

|2>,

oraz

|3>.

Oddziaływania w cząsteczce są takie, że

<i|H|i>

=

ε

, dla

i

=1,2,3, oraz

<1|H|2> = <2|H|3> = t

(

t

< 0),

<1|H|3>

= 0. Stany

|1>, |2>, |3> są orthonormalne, tzn <i|j> = δ

ij

. Energiami stanów własnych cząsteczki są:

(a) E

1

= ε - |t| E

2

= ε E

3

= ε + |t|

(b) E

1

= ε - √2|t| E

2

= ε E

3

= ε + √2|t|

(c) E

1

= ε - 2|t| E

2

= ε + |t| E

3 =

ε + |t|

(d) E

1

= ε - √2|t| E

2

= ε + |t| E

3 =

ε + √2|t|

 

 

Cytaty

Powiązane dokumenty

druga bariera Dahlquista: maksymalny rząd dokładności metody A‐stabilnej =2 druga bariera Dahlquista: maksymalny rząd dokładności metody A stabilnej  2

Wtedy, prawa strona to macierz odwrotna

SDIRK: wszystkie wyrazy na diagonali są identyczne (singly diagonally implicit ...) metody DIRK: iteracja Newtona (układ równań) rozwiązywany blokowo. metody SDIRK:

Kompleks jest lokalnie skończony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego jego wierz- chołka v domknięta gwiazda St v jest wielościanem skończonego podkompleksu kompleksu K .... Kompleks

Dla dowodu pozostałej części twierdzenia powiedzmy, że macierz A daje się przekształcić do macierzy I n przez wykonanie ciągu operacji elementarnych na wierszach,

czasem Ŝycia

[r]

Łatwo zauważyć, że gdyby ustalić poziom istotności większy niż p-value, to wartość kry- tyczna znalazłaby się bliżej zera, a wtedy statystyka testowa znajdowałaby się w