• Nie Znaleziono Wyników

Proces Poissona Jeśli nie jest wyraźnie powiedziane, że jest inaczej,

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Proces Poissona Jeśli nie jest wyraźnie powiedziane, że jest inaczej,"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Proces Poissona

Jeśli nie jest wyraźnie powiedziane, że jest inaczej, {N (t), t ≥ 0} wszędzie oznacza proces Poissona o intensywności λ. Pozostałe oznaczenia też takie jak na wykładzie i w skrypcie.

1. Udowodnić MPWL dla procesu Poissona:

t→∞lim N (t)

t = λ prawie na pewno.

Wskazówka: Z kursu rachunku prawdopodobieństwa wiadomo, że MPWL zachodzi dla ciągu czasów Wi, czyli limn→∞Tn/n = . . . (???)

2. Udowodnić CTG dla procesu Poissona:

t→∞lim

N (t) − λt

√t = N (0, λ) według rozkładu.

Wskazówka: Obliczyć funkcję tworzącą momenty.

3. Znaleźć rozkład warunkowy T1 dla T2 = t.

4. Ogólniej, znaleźć rozkład warunkowy wektora (T1, . . . , Tn) dla Tn+1= t.

5. Niech U1, . . . , Unbędą iid o rozkładzie jednostajnym U (0, t), zaś U1:n≤ U2:n ≤ · · · ≤ Un:n oznacza statystyki pozycyjne. Znaleźć rozkład wek- tora (U1:n, U2:n, . . . , Un:n). Porównać z zadaniem poprzednim.

6. Załóżmy, że t > 0 jest ustalone i nielosowe. Wiadomo, jaki ma rozkład TN (t)+1− t, czyli czas oczekiwania na najbliższe „zdarzenie” po momen- cie t. Trochę trudniej obliczyć rozkład t−TN (t), czyli czas od ostatniego

„zdarzenia” przed momentem t.

(a) Obliczyć E(TN (t)+1− t) (odpowiedź jest oczywista!) (b) Obliczyć E(t − TN (t)) (odpowiedź nie jest oczywista!)

Wskazówka: Uwarunkować: najpierw obliczyć E(t − Tn|N (t) = n).

Uwaga: Przyjmujemy tutaj, że T0 = 0. W rezultacie, jeśli przed T nie było ani jednego „zdarzenia”, to sztucznie przyjmujemy że momentem ostatniego zdarzenia było 0.

1

Cytaty

Powiązane dokumenty

Niech punkt I będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, zaś D, E, F niech będą punktami przecięcia dwusiecznych kątów A, B, C trójkąta ABC odpowiednio z bokami BC, AC

Dla dodatniej liczby naturalnej n znaleźć wzór na największą potęgę liczby pierwszej p dzielącą n!4. Rozłożyć na czynniki pierwsze

Natomiast nie dla wszystkich f jest ono różniczkowalne na [0, 1].. Jednoznaczność

Wariacją n–elementową bez powtórzeń ze zbioru m–elementowego nazywamy uporząd- kowany zbiór (n–wyrazowy ciąg) składający się z n różnych elementów wybranych z

Postać bohatera jest przedstawiona w świetle zalet: to nie jest żywy człowiek. Takich wzorowych ludzi od dzieciństwa do starości nie '-potyka się Zresztą

W matematyce natomiast, akceptując osłabiony logicyzm, uznawał możliwość sprowadzenia jej pojęć (pierwotnych) do pojęć logicznych - przy niesprowadzalności

2. Trzech studentów przygotowywało się niezależnie do egzaminu z rachunku prawdopodobieństwa. Rzucamy n razy kostką do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że: a) szóstka

2. Trzech studentów przygotowywało się niezależnie do egzaminu z rachunku prawdopodobieństwa. Rzucono 10 razy kostką. Rzucono 10 razy symetryczną kostką. Jakie