Proces Poissona
Jeśli nie jest wyraźnie powiedziane, że jest inaczej, {N (t), t ≥ 0} wszędzie oznacza proces Poissona o intensywności λ. Pozostałe oznaczenia też takie jak na wykładzie i w skrypcie.
1. Udowodnić MPWL dla procesu Poissona:
t→∞lim N (t)
t = λ prawie na pewno.
Wskazówka: Z kursu rachunku prawdopodobieństwa wiadomo, że MPWL zachodzi dla ciągu czasów Wi, czyli limn→∞Tn/n = . . . (???)
2. Udowodnić CTG dla procesu Poissona:
t→∞lim
N (t) − λt
√t = N (0, λ) według rozkładu.
Wskazówka: Obliczyć funkcję tworzącą momenty.
3. Znaleźć rozkład warunkowy T1 dla T2 = t.
4. Ogólniej, znaleźć rozkład warunkowy wektora (T1, . . . , Tn) dla Tn+1= t.
5. Niech U1, . . . , Unbędą iid o rozkładzie jednostajnym U (0, t), zaś U1:n≤ U2:n ≤ · · · ≤ Un:n oznacza statystyki pozycyjne. Znaleźć rozkład wek- tora (U1:n, U2:n, . . . , Un:n). Porównać z zadaniem poprzednim.
6. Załóżmy, że t > 0 jest ustalone i nielosowe. Wiadomo, jaki ma rozkład TN (t)+1− t, czyli czas oczekiwania na najbliższe „zdarzenie” po momen- cie t. Trochę trudniej obliczyć rozkład t−TN (t), czyli czas od ostatniego
„zdarzenia” przed momentem t.
(a) Obliczyć E(TN (t)+1− t) (odpowiedź jest oczywista!) (b) Obliczyć E(t − TN (t)) (odpowiedź nie jest oczywista!)
Wskazówka: Uwarunkować: najpierw obliczyć E(t − Tn|N (t) = n).
Uwaga: Przyjmujemy tutaj, że T0 = 0. W rezultacie, jeśli przed T nie było ani jednego „zdarzenia”, to sztucznie przyjmujemy że momentem ostatniego zdarzenia było 0.
1
