• Nie Znaleziono Wyników

Pakiet programowy SIVE jako narzędzie wspomagające kryminalistyczne badania fonoskopijne z perspektywy praktyki eksperckiej. Część II

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Pakiet programowy SIVE jako narzędzie wspomagające kryminalistyczne badania fonoskopijne z perspektywy praktyki eksperckiej. Część II"

Copied!
5
0
0

Pełen tekst

(1)

Pakiet programowy SIVE

jako

narzędzie wspomagające

kryminalistyczne badania fonoskopijne

z perspektywy praktyki eksperckiej.

Część

II

Wprowadzeni e do instrument alnych metod identyfikacji osób

Mimo ogromnego rozwoju technologii badania mo-wy, nadal brak jest teoretycznej wiedzy o tym,jakczło­ wiekodróżniajedengłos- jakosygnał dżwi ękowy- od drugiego.Nie udało się dotąd wskazaćtzw. uniwersal-nych cech mowy igłosu,na podstawie którychmożliwe byłobyprawid łowe, wpełniautomatyczne (pozbawione konieczności pomocy ze strony człowieka) rozróżnia­

nie mówców, ni eza l eż n eodtreści wypowiedzi, współ­ ist n i ej ących zwypowiedziązakłóce ń , rodzaju i charak-teru kanał u transmisji wypowiedziitp. System biometrii

głosusprawdzasi ę ,jeś limówcypodleg aj ący rozróż nie­

niu (identyfikacji) wypowiadaj ą ten sam tekst, w taki sam sposób,warunkiotoczenia i transmisji wypowiedzi są kontrolowane, a stosuneksyg n ału mowy do pozio-mu zakłóceń jest wysoki. Ponieważ jednak do badań kryminalistycznych na ogół nie trafiają nagrania speł­ niające powyższe warunki, a równocześnie wymaga się wysokiej trafności identyfikacji, opinia wydawana jest przez eksperta, który, w zależności od wymagań danego systemuprawnego, ma do dyspozycji między innymi kompleksową metodykę językowo-pomiarową. Takimi metodykami posługują się np. eksperci Litew-skiego Centrum Kryminalistycznego w Wilnie, podle-głego litewskiemu Ministerstwu Sprawiedliwości, oraz Centralnego Laboratorium Kryminalistycznego Komen-dyGłównejPolicji w Warszawie.Pol egająone na prze-prowadzeniubadań:

•audytywnych (słuchowo-percepcyjnych), obejmu-jących ocenę parametrówgłosu oraz analizy cech lingwistycznych,prozodycznychifonetycznych wy-stępujących w mowie badanych osób jako zjawi

-sku funkcjonującemu w obszarze bio-psycho -so-cjalnym,

• pomiarowych(akustycznych),polegającychna wy-znaczaniu liczbowychwartościfizycznych parame-trów głosu badanych osób jako sygnału (pomiary częstotliwości podstawowejtonu krtaniowegooraz formantów 1, 2, 3).

Jakwynikazprzeglądu sprawozda ń'ł- 5 Eksperckiej Grupy Roboczej ENFSIKryminalistycznejAnalizy Mo-wy i Nagrań Audio (FSAAWG),kompleksow a metody-ka językowo- pomia rowa fonosk opijnej identyfikacji

PROBLEMY KRYMINALISTYKI 267(styczeń-marzec)2010

osób jest obecnie stosowana w większości

laborato-riów.

W praktyce taczęść badań,która opierasięna ana-lizie językowej, wymaga określenia wszystkich możli­

wych cech - grupowych i indywidualnych - badanej osoby,które występują w jej mowie. Analizujesię za-tem- wlicznychodsłuchachdokonywanyc h podkątem

opisu konkretnychcech - gramatykę, słownictwo, arty-kulację, prozodykę (związanąm.in.z akcentowaniem), ogólnecechy głosu. Są togłówn i e ocenyjakościowe, a liczba zjawisk w praktyce poddawanych tego typu analizomwynosiodkilkunastu dokilkudziesięciu,w za-leżności od rodzajui charakteru posiadanego

materia-łu badawczego. Natomiast część pomiarowa bad a ń , w dużym stopniu, zależ na jest od posiadania odpo-wiedniego narzędzi a . Jak to omówiono w poprzedniej części artykułu ("Problemy Kryminalistyki" 261/2008),

pomiarom poddaje sięm.in.te same parametry głosu,

które wcześniej poddawane są jakościowej ocenie au-dytywnej (np. wysokość głosu, jego barwa, dźwięcz­ ność). Pomiaru niektórych znichmożna dokonać rów-nież ręcznie, korzystającwprostz wydruku sonogramu lubjego obrazu widocznego na ekranie monitora kom-puterowego, posiłkując się znacznikami sonografu. Zarówno brak dokładności, niewygoda i czasochłon­ ność takich działań jaki inne trudności związane ztą metodąniewymagają komentarza. Jednak w fonosko-pijnych indywidualnych badaniach identyfikacyjnych osób możliwe jest wykorzystanie jeszcze jednej grupy zjawisk, najczęściej analizowanych w badaniach po-miarowych. Chodzi o szereg wielkości związanych

ztzw. formantami.

Najogólniej można powiedzieć, że formanty to sku-piska energiisygnału mowy,którychmiejsce występo­ wania (w dziedzinieczęstotliwości)ikształt zależne są zarówno od treści wypowiedzi (czyli zawartości kon-kretnych elementów dźwiękowych - fonemów), jak i cechosobniczych mówcy,związanych główniez ana-tomiczną budową jego aparatu mowy, tj. od kształtu

tzw.kanału głosowego . Można mówićzarówno o

war-tości ach dotyczącychpojedynczychformantów,jakteż icałych ichzespołach, zwanych strukturami formanto-wymi.Moż n a mierzyćkonkretnewartości, alemożliwa

jesttakż e jakościowa, wizualna ocena kształtu struktur formantowych, dokonywana na sonograficznym

(2)

zie wypowiedzi. Wykorzystanie parametrów zwi ąza­

nych z kanałem głosowym mówcy,w tym analizy for-mantowej wypowiedzi, to właśnie domena drugiego

modułu systemu SIVE, któremu poświęcon a jest ta

część artykułu.

Niniejszy artykuł jest drugim z cyklu poświęconego systemowi SIVE, wykorzystywanemu jako narzędzie

wspomagająceekspertów fonoskopii CLK KGP w

War-szawie- oraz wielu zagranicznych laboratoriów krym

i-nalistycznych- w trakcie przeprowadzaniaindywidua

l-nychbadań identyfikacyjnych osób. W artykule tym

zo-stanie przedstawiony drugi moduł tego systemu,skła­

dający sięz trzechprogramów;PHONEMOS,FONVEK

i FONDIST.

Moduł anałizy fonemow ej

Z fizycznego punktu widzenia,mowa jestsygnałem

akustycznym.W takim ujęciu, uproszczony mechanizm

jego powstawaniamożna przedstawić następująco; Powietrze wydostające się z płuc - przechodząc przez krtań - powoduje powstanie sygnału quasi-sta

-cjonarnego,zwanego sygnałem pobudzenia.Jednak,

abysygnałten mógł być usłyszany, musiulec

wzmoc-nieniu.Dokonujesię ono poprzezprzejście przeztzw.

kanał głosowy, składający się z gardła, jamy ustnej

inosowej,języka, podniebieniamiękkiego i twardego,

dziąseł i zębów. Na efekt wzmocnienia tego sygnału

wpływ mają równieżzatokiczołoweiszczękowe.Nale

-ży miećjednakświadomość, żeposzczegóine e

lemen-ty kanału głosowego zniekształcają pienwotną postać

przechodzącego przez niesygnału (głosu), m.in.

kon-centrującjegoenergięwróżnychpasmachczęstotliwo­

ści, tworząctzw.struktury formantowe. Ponieważ

mo-wa jest zjawiskiem dynamicznym, w każdej chwili jej tnwaniakształt kanału głosowegoulega zmianie. Zmia-ny tezależąod cech osobniczych samego mówcy, aie

takżeodtreści wypowiedzi, którąmówca ten artykułu­

je. W pewnym uproszczeniu można powiedzieć, że

przekaz językowy składany jest z bardzo małych ele

-mentów- zwanych fonemami- a dlakażdego z nich,

kształt kanału głosowegojest inny.Można też przyjąć,

żefonem odpowiada pojedynczejgłosce,a graficznym

reprezentantem niektórychgłosek sąlitery.Głoski dzie-limy m.in.nadżwięczneibezdżwięczne, formanty

naj-wyrażniej wyodrębniają się w głoskach dżwięcznych.

Chcąc najefektywniej wykorzystać materiał badawczy,

jakim są wypowiedzi identyfikowanych osób, należy

więcwyodrębniaćfonemydżwięczne,stosunkowoczę­

stowystępującewjęzyku.Natomiastbiorącpoduwagę

dynamiczny charakter mowy, dodatkowo powinny to

być fonemy tnwające na tyle długo, aby w ich obrębie

sygnał (dżwięk) zdążył się ustalić. W języku polskim

kryteria te najlepiej spełniają samogłoski. Są bowiem

fonemamidżwięcznymi iponadto są oś rod kam i sylab,

dlategotnwają dłużej izawierają więcejenergiiniżinne fonemy.W paśmie częstotliwości do 5000 Hzmożliwe

jest wyodrębn ien ie od 3 do 5 formantów, przy czym zgodniezteorią powstawaniaformantów wiadomo,że

świadomywpływ mówiąceg onaznaczącązm ian ę czę­

stotl i woś ci formantów możliwy jest tylko

w przypadkupienwszychdwóch-trzechformantów,

na-tomiast w przypadkuwyższych- od trzeciegodopiąte­

go- decydujący wpływ na ichlokalizację mają cechy

osobnicze budowyaparatumowy danego mówcy.

Od-zwierciedlenieindywidualnościmówcy wwyższych for-mantach wykorzystuje sięw fonemowej metodzie iden-tyfikacji osób na podstawie analizy ich wypowiedzi.

Przy spełnieniu między innymi odpowiednich warun

-ków technicznych,fakt ten pozwaladokonać rozróżnie­

nia mówcówznatury podobnie brzmiących oraz

mów-ców celowozniekształcającychswoje wypowiedzi,aby poprzezzmianę brzmienia głosu upodobnić się do

ko-goś innego.Stąd teżsystem SIVE- zapomocą jedne-go ze swoich modułów - umożli wi a przeprowadzenie

analizyformantowej, abiorącpoduwagę specyfikę róż­

nychjęzyków, daje użytkownikowi możliwość przeana

-lizowania dowolnie przez niego wybranych fonemów,

w tymsamogłoskowych.

Porównaniecech kanału głosowego różnych

mów-ców przeprowadzasięnadrodzeanalizyszeregu para-metrów związanych ze strukturami formantowymi wy-branych- tych samych- fonemów.Warunek porówny

-wania wyników pochodzących z analizy tych samych fonemów jest bardzoważny,jakożebadania tej proble-matykiwy kazały, iż odległość (różnica) wyników otrzy

-manych dla dwóch różnych fonemów realizowanych przez tego samegomówcęjestwiększa niż między wy-nikami otrzymanymi dla tego samego fonemu, realizo-wanego przezróżnychmówców (ryc. 1).

Naturamowy jest taka,żeobszarzmienności osob-niczej cech mowy jest szerszy niż obszar różnic mię­

dzyosobniczychposzczególnychjej elementów.

Sposób obliczania parametrów

struktur formantowych fonemów

W celu uzyskania wiarygodnychwyników identyfika-cyjnych przyjęto, że opisane poniżej procedurynależy

przeprowadzić dla trzech różnych fonemów, odrębnie

dla każdej z identyfikowanych osób - tak w materiale

dowodowym, jak i porównawczym.

Wstępne przygotowaniaobejmują więc wyodrębnie­

nie zdżwiękowegomateriału badawczego,wygranego

wcześniej dla wszystkich mówców,po trzy pliki

zawie-rające wyłącznie odpowiednio wyekstrahowane , wy

-brane fonemy.Doświadczalnie ustalono,żeczas tnwa

(3)

-]5

.

"

4~

r

'"

~-',5

~

'"

t

.,

[

'"

E

71111D ?~(JU ~ )UfiO ...L....L..L...;....l...L .:...--._~l J~llll ~O Il U

,

L...J...J-l...l...L..LJ.-l_ (',0 0 !.OOIl

Sbow Yiew Window 6bout

Ryc. 1.Średniespektrum fonemów

kolor niebieski- mówca 1.,fonem[a], kolor czerwony- mówca 1.,fonem [i],kolorbrązowy- mówca 2.,fonem[i])

żródłotrvc.1-2):autorzy

Fig. 1.Mean phoneme spectrum;b/ue- speaker1.,phoneme {aj ,red- speaker1.,phoneme(iJ.,brown- speaker2.,phoneme(i])

t,I fil, Jmplemlilnl S.ound

1~ 8 --ł ,

"

~

C1

'

'+

.

"

~

''

~

'''

I

'-

~

~

.

--'-

.

''=~·

-

.

""

ti>,.. SS) [....) ~Il'uclł

,

-

r---

---,---,---~---""

,."

0.701 Iin\•••

...

.,. 01"'1

Jf-

-

-

-

-"

.

.

Fregm.ntltorlpOintO{miL Indpoint:700[m.]

Ryc. 2.Widok typowego oknaroboczego programuPHONEMOS

Fig.2.V/ewot typicalsereen in PHONEMOS

(4)

sekundy. Do ekstrakcji fonemów wykonywanej przez eksperta oraz automatycznego tworzenia plików

fone-mowych służy program PHONEMOS (ryc.2).

Następnie każdyplik fonemowypochodzącyodkaż­

dego mówcy, którego wypowiedzi utrwalone są w ma

-teriale dowodowym, poddawany jest obliczeniom

pro-wadzącym do określenia obszaru zmienności cech

każdej z tych osób.Algorytmobliczeń dla pojedynczej

osoby jest następujący:

Wkażdympliku fonemowym,wobrębiekażdego

ko-lejnego okna Hamminga o szerokości 20 ms

(przesu-nięcie między oknami wynosi 2 ms), obliczane jest

chwilowe widmokanału głosowego, na podstawie LPC

12. rzędu6. W efekcie, każde takie okno opisane jest

36-elementowym wektorem (wierszem macierzy cech),

reprezentującym chwilowe wartości zespołu cech,

obejmującego częstotliwości czterech formantów

i dwóch antyformantów, znormalizowane amplitudy

czterech formantów oraz wieleinnych, obliczanych na

podstawie tych pierwszych.Jeślizdługościjednego pli

-ku fonemowego wyodrębni się w ten sposób N okien

(wektorów),to dla tego pliku powstaje macierz cech,

o wymiarach:N

x

36.Na dalszym etapieobliczeń

ma-cierze te - odrębne dla każdego fonemu - podlegają

tzw.normalizacji. Realizujesię jąpoprzez obliczenie ze

wszystkich wektorów (wierszy) wartości średnich dla

pierwszych trzech formantów, anastępnie określeniew

każdym wektorze (wierszu) odległości każdego

z pierwszych trzech formantów od uzyskanej dla każ­

dego z nich wartości średniej. Te z wektorów

cecho-wych (wierszy normalizowanych macierzy), w których

obliczone odległości uzyskują zbyt duże wartości, są

odrzucane. W wyniku tego działania powstają nowe,

krótsze macierze cech,o liczbie wektorów (wierszy) K

i liczbie kolumn 36, gdzie K<N.Dalsze obliczenia bę­

dą mogły zostać uznane za wiarygodne, jeśli liczba K

uzyskawartości należącedoprzedziałuod 200 do 600,

najlepiej ok. 400. Praktyczne znaczenie tych macierzy

sprowadza siędo stwierdzenia,żemodelkanału głoso­

wego - wraz z granicami jego najczęstszej zmienności

- charakterystyczny dla wypowiadania przez danego

mówcę konkretnego fonemu, określony jest przez K

różnych wartości (kształtów) chwilowych (jak gdyby

próbek).

Podobną procedurę przeprowadza się względem

tych samych fonemów, ekstrahowanych zmateriału

po-równawczego,dlakażdejidentyfikowanej osoby odręb­

nie.

Porównanie ustalonych cech dwóch osób

Porównanie cech dwóch osób realizuje się poprzez

porównanie uzyskanych wcześniej ich macierzy cech,

obliczonych dla tego samego fonemu. Jednak

porów-nanie tych macierzy wymaga wykonania względem

nich dalszychobliczeń iprzekształceniaich do nowych

postaci.Istotądokonywanych przekształceńjest

odna-lezienie dla tego samego fonemu najbardziej do siebie

podobnych kształtów kanału głosowego, spośród

chwi-lowych ich wartości, określanych przez poszczególne

wiersze macierzy dowodowej i macierzy

porównaw-czej. Po ich odnalezieniu tworzy się nowe macierze,

których elementy tym razemokreślają wartości swojej

odległości od odpowiadających im elementów należą­

cych do odnalezionych wektorów najbardziej

podob-nych. Takapostaćmacierzy umożliwia następnie

obli-czenie dlakażdejz nichrozkładów każdegoparametru,

tj. po 36 (na podstawie wielkościotrzymanych wkażdej

kolumnie każdej macierzy). Wreszcie porównanie tych

rozkładów pozwala na określenie zakresu zbieżności,

a tym samym stopnia prawdopodobieństwa, że

porów-nywane próbki mowy pochodziłyod tej samej osoby.

Wszelkie obliczenia wartości elementów macierzy

reprezentujących każdyfonem dla każdego mówcy

re-alizowanesą zapomocąprogramu FONVEK, a

wszel-kie obliczenia konieczne w procesie porównywania

tych reprezentacji realizowanesązapomocąprogramu

FONDIST. Podsumowanie

Chociaż wiarygodnośćuzyskiwanych wyników

wy-maga spełnienia pewnych wymogów technicznych,

aobsługa- wstępnegoprzygotowania przezczłowieka

właściwego materiału badawczego, to duża dokład­

ność analizy fonemowej sprawia, że jest ona bardzo

pomocna we wszystkich tych przypadkach, w których

charakter materiałubadawczego nie pozwala na

wyod-rębnienie zadowalającejliczbyistotnych cech

wykorzy-stywanych podczas analiz audytywnych. Najczęściej

dotyczy tomateriałówkrótkich isłabo zróżnicowanych.

W ostatnich latach przydatnośćta została zwiększona

poprzez całkowite zautomatyzowanie poszczególnych

etapów tych analiz i praktycznie prawiecałkowite

wyeli-minowanie z tego procesu udziału człowieka. Póżniej­

sza wersja modułu systemu SIVE, której omówieniu

poświęcona jest ta część artykułu, została zastąpiona

modułem o nazwie VERIFICATION. Łączy on

w sobie funkcję automatycznego selekcjonowania

fo-nemów [a], [o], [i] i tworzenia dla nich plików

fonemo-wych, z funkcją samoczynnego obliczania macierzy

cech i wyliczania odległości. Zmiana ta stanowi

znacz-ne udogodnienie dla eksperta, któregozaangażowanie

zostałoograniczone do wyselekcjonowania z materiału

badawczego właściwego fragmentu mowy ciągłej

da-nego mówcy, o łącznym czasie trwania wynoszącym

ok. 10 sekund (ok.8słów). Dzięki temucałkowiciewy

(5)

segmento-wania z próbek wypowiedzi stanów ustalonych p

o-szczegó lnych fonemów, jak również konieczność ręcz­

nego ich kwalifikowania do odpowiednich plików fone-mowych ,co nie tylko znacznie oszcz ędzaczas, ale tak -że nie wymaga od osoby obslugującejten moduł wie

-dzyidoświadczenia eksperta.

Bernardas śatna Alicja Malanowicz

AleksanderKowalczyk PRZYPISY

1Rose P.: Forensic Speaker Identification, London ,Tay

-lor&Francis,2002.

2 NolanE, Grigoras C.: A case for formant analysis in lo-rensie speaker identification, Internationa l Journal ot Speech, Languageand the Law12, 143-173 ,2005.

3Jessen M.,Ktoster O.,Gfroerer 5.: Influence otvocal efforton average andvariabilityot funda mentalfrequen -cy, International Journal ot Speech, Language and the Law2005,12, 174-213 .

4 Fore nsic speech and audioanalysisForensic linquistlcs 1998to2001,A Review.13lhINTERPOLForensicS

cien-ce8ymposium, Lyon,France, October2001.

5 Forensic audio and visual evidence 2004-2007 ,A R e-view, 15th INTERPOL Forensic Scien ce 8ymposium , Lyon,France,October2007.

6 Kabal P.,RamachandranR.P.:ThecomputationotLine Spectral Frequencies using Chebyshev Polynomia ls. IEEE Transactions on Acoustic,Speech andSignal Pr o-cessing, v. ASSP-34, December 1986, No. 6, p. 1419-1426 .

BIBLIOGRAFIA

1.DudaR.,Hart P.,D. 510rk: PaltemClassification .New York: Taylor & Francis, 2000.

2.KabałP.,Ramachandran R.P.:The computationof

u-neSpectrałFrequencies using Chebyshev Polynom ials.IEEE Transactions on Acoustic,Speech and Signa lProcessing,v. ASSP-34,December 1986,No.6,p.1419-1426.

3.Kowalczyk A.,MalanowiczA.: Pakiet programowy SI· VE jako narzędz ie wspomagające kryminalistycz ne badania fonoskopi jne z perspektywy praktyki eksperckiej. Część I,

"Problemy Kryminalistyki" 2008, nr261.

4. 5alna B.,Mambro G.O.:Method andSystemfor Bierne

-tricsVoicePrintAuthentlcatlon.Patent USA, 2006.

Streszczenie

Publikacja jestdrugączęścią artykułupt. .Pakiet

programo-wySIVE jakona rzędzie wspomagającekryminalistyczne bada-niafonoskopijne

z

perspektywypraktyki eksperckiej", któryuka

-zał sięw261numerze"ProblemówKryminalistyki", Wczęści

PROBLEMY KRYMINALISTYKI 267(styczeń-marzec)2010

tej opisanezostałykolejne mierzalne parametrygłosu, wykorzy-stywane w trakcie przeprowadzania badań identyfikacyjnych

osób na podstawie analizymowy oraz programysłużącedo ich pomiarów.

Sło wakluczo we: fonoskopia, badania fonoskopijne,języko­ wo-pomiarowa metodyka identyfikacjiosób, kanał głosowy, fo

-nem,formant.

Summary

The publicationis part II of article"SlVEsupporting[oren -sicvoiceprint analysisfrom perspectiveof expert practice. Part

l" published in "Problemy Kryminalistyki" no.261. Part IJ

comprises subsequent measurable parametersof voice used

du-ringidentification ofpersons based on speech analysis and so-ftwareJor their measuring.

Keywords : voiceprint identiiication, voiceprint cxamina -ticn, linguistic-measurement methodology of identification

oj

persans,voicechannet phoneme,formant.

Informujemy

,

że możnakupić książkę

Magd aleny Spólnickiej

pt. .Polim orfizm STRniekodującegoregion u genu lud zk iego hormonuwzrostu (HUMGH@)

ijegowyko rzystani e

w identyfikacjiosobniczej" . ~ull"'orfi,..~n j.~<>d~lo<",,"'''!ll,,""V""l~,b~i"ll ho...""0""IHU"(;HlIl jj.~o"""Oll"''''' .. 1d<o'r1i\o<ji~.ołI"j".j cena

26

Zamów ien iamożna składa ćna ad res: BiuroLogistyki PolicjiKGP

ul. Domaniewska 36/38, 02-672 Warszawa

te!.(022)60-129-45,raks (022) 60-115-71

Cytaty

Powiązane dokumenty

Aby odpowiedzieć na pytanie czy przejście szkliste można w ogóle zaklasy- fikować jako przejście fazowe w oparciu o klasyfikację zaproponowaną przez Ehrenfesta (tj. bazującą

Czynność ta nosi nazwę ataku siłowego (brute force). W szyfrowaniu przy użyciu komputera można ustalić długość klucza. Wraz z długością klucza wzrasta liczba

Publikacje te ukazały się albo jako rozdziały w tomach zbiorowych, albo jako artykuły w periodykach naukowych, z tego trzy znajdują się w bazie Web of Science

- elementy wektora E o są sumami źródłowych napięć gałęziowych występujących w oczkach, przy czym te źródłowe napięcia bierzemy ze znakiem „plus”, jeśli

Z drugiej strony powinien czuć się zobowiązany do zaliczenia ich osta- tecznie w określonym przez nauczyciela terminie (o ile stan zdrowia na to pozwoli). Niezwykle ważna

Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy wielokrotnym rzucaniu parą kostek sześciennych, suma oczek 8 pojawi się przed sumą równą 7..

Wskazani uczniowi, gdy wykonają zadania, muszą niezwłocznie przesłać wyniki przez komunikator na e-dzienniku, lub mailem na adres: matematyka2LOpm@gmail.com skan rozwiązania,

Obok pozytywnych aspektów emigracji, do których moŜna zaliczyć moŜliwość wyŜszych zarobków lub wyŜszych zasiłków na dzieci, zdobycie dodatkowej wiedzy i