Układ szeregowy R, L, C (gałąź R, X)

Wykład XIV. UKŁADY DWÓJNIKÓW Z ELEMENTAMI R, L, C.

MOCE DWÓJNIKÓW. REZONANS ELEKTRYCZNY

Układ szeregowy R, L, C (gałąź R, X)

Przyjmuje się

ψ

i = 0 ⇒

ψ

u =

ϕ

⇒ i=I ²⋅^sin

ω

t, u=U 2⋅sin(

ω

t+

ϕ

); u_R =R⋅I ²⋅^sin

ω

t , u_L = X_L⋅I 2⋅sin(

ω

t+

π

2) ,

u_C = X_C ⋅I 2⋅sin(

ω

t−

π

2)=−X_C ⋅I 2⋅sin(

ω

t+

π

2) ;

) 2 sin(

2 )

2 sin(

2 )

( − ⋅ ⋅

ω

+

π

= ⋅ ⋅

ω

+

π

= +

=u u X X I t X I t

u_{X L C L C} , (6.34a)

C

L X

X

X = − (reaktancja). (6.34b) Gdy X_L > X_C (gałąź o charakterze indukcyjnym),

to X >0 ⇒ u_X = X ⋅I 2⋅sin(

ω

t+

π

2) ; gdy X_C > X_L (gałąź o charakterze pojemnościowym),

to X <0 ⇒ u_X =− X ⋅I 2⋅sin(

ω

t+

π

2)= X ⋅I 2⋅sin(

ω

t−

π

2) . Wartości skuteczne napięć: U_R =R⋅I, U_L = X_L⋅I, U_C = X_C ⋅I, U_X = X ⋅I.

Uwaga. Wielkość X⋅I, tj. UX ze znakiem reaktancji X, nazwana jest dalej składową bierną napięcia.

Prawo Ohma – na wartościach skutecznych prądu i napięcia (odmiana impedancyjna):

I Z

U = ⋅ , (6.35a)

I

Z =U (impedancja) . (6.35b)

X

R u

u

u= + , tzn. Z⋅I 2⋅sin(

ω

t+

ϕ

)≡R⋅I 2⋅sin

ω

t+X ⋅I 2⋅sin(

ω

t+

π

2)

⇒ Z⋅sin(

ω

t+

ϕ

)≡R⋅sin

ω

t+X ⋅sin(

ω

t+

π

2) ;

=0

ωt : X =Z⋅^sin

ϕ

; (6.35c) π 2

ωt= : R=Z⋅^cos

ϕ

; (6.35d)

⇒ Z = R² +X² ,

R arc tg X

ϕ

= . (6.35e, f) Uwaga. Napięcia na elementach L i C są w przeciwfazie. Mogą osiągać duże wartości, jeśli warto-

ści XL i XC są sobie bliskie oraz dużo większe od R. Szczególny przypadek stanowi re- zonans napięć (rezonans szeregowy), kiedy to X_L = X_C ≠ 0, tzn.

. 0

. − =

= _{Lrez Crez}

rez X X

X , Z_rez =R . (6.36a, b) Zasilając układ szeregowy R, L, C z generatora o regulowanej częstotliwości, osiąga się rezonans przy pulsacji i częstotliwości:

C

rez L

= 1

ω ^,

C L f_rez

2 1

= π . (6.36c, d) i R L C

uR uL uC

uX

u

Układ równoległy R, L, C (gałąź G, B)

Przyjmuje się ψu = 0 ⇒ ψi = –ϕ ⇒ u=U ²⋅^sinωt, i=I 2⋅sin(

ω

t−

ϕ

).

Używane są wielkości „przewodnościowe” (odwrotności „opornościowych”) – konduktancja G, susceptancja indukcyjna B_L , susceptancja pojemnościowa B_C :

G = R1 ,

L

L X

B = 1 ,

C

C X

B = 1 . (6.37a, b, c) Wartości skuteczne prądów gałęziowych: I_R =G⋅U , I_L =B_L⋅U , I_C =B_C ⋅U.

i_R =G⋅U ²⋅^sin

ω

t , i_C =B_C ⋅U 2⋅sin(ωt+π 2) , i_L =B_L⋅U 2⋅sin(

ω

t−

π

2)=−B_L ⋅U 2⋅sin(

ω

t+

π

2) ;

) 2 sin(

2 )

2 sin(

2 )

( − ⋅ ⋅ ω +π = ⋅ ⋅ ω +π

= +

=i i B B U t B U t

i_{B C L C L} , (6.38a)

L

C B

B

B= − (susceptancja). (6.38b) Gdy B_C >B_L (układ równoległy o charakterze pojemnościowym),

to B>0 ⇒ i_B = B⋅U 2⋅sin(ωt+π 2) ; gdy B_L >B_C (układ równoległy o charakterze indukcyjnym),

to B<0 ⇒ i_B =− B ⋅U 2⋅sin(ωt+π 2)= B ⋅U 2⋅sin(ωt−π 2) . Wartość skuteczna prądu i_B : I_B = B ⋅U.

Uwaga. Wielkość B⋅U, tj. IB ze znakiem susceptancji B, nazwana jest dalej składową bierną prądu.

Prawo Ohma – na wartościach skutecznych prądu i napięcia (odmiana admitancyjna):

U Y

I = ⋅ , (6.39a)

U I Y = Z1 =

(admitancja). (6.39b)

B

R i

i

i= + , tzn. Y⋅U 2⋅sin(

ω

t−

ϕ

)≡G⋅U 2⋅sin

ω

t+B⋅U 2⋅sin(

ω

t+

π

2)

⇒ Y⋅sin(ωt−ϕ)≡G⋅sinωt+B⋅sin(ωt+π 2) ;

=0

ωt : B=−Y⋅^sin

ϕ

; (6.39c) π 2

ωt = : G=Y⋅^cos

ϕ

; (6.39d)

⇒ Y = G² +B² ,

G arc tgB

−

ϕ

= . (6.39e, f) Uwagi. 1) Zależności dla gałęzi „czysto reaktancyjnej”: B=−1 X, X =−1 B.

2) Prądy w elementach L i C są w przeciwfazie. Mogą osiągać duże wartości, jeśli warto- ści B_L i B_C są sobie bliskie oraz dużo większe od G. Szczególny przypadek stanowi rezonans prądów (rezonans równoległy), kiedy to BL = BC ≠ 0, tzn.

R L C u

iR iL iC

i iB

. 0

. − =

= _{Crez Lrez}

rez B B

B , Y_rez =G . (6.40a, b) Zasilając układ równoległy R, L, C z generatora o regulowanej częstotliwości, osiąga się rezonans przy pulsacji i częstotliwości:

C

rez L

= 1

ω ^,

C f_rez L

2 1

= π . (6.40c, d)

Parametry dwójników równoważnych

Impedancja (admitancja) dwójnika wyznacza relację między jego sinusoidalnymi wielkościami zaciskowymi, tj. napięciem i prądem na wejściu. Nie określa ona natomiast układu połączeń ele- mentów dwójnika. Znanej impedancji czy admitancji można przypisać różne układy połączeń ele- mentów R, L, C. Jeden układ można więc zastępować innym – równoważnym ze względu na wiel- kości zaciskowe przy określonej częstotliwości f (pulsacji ω^).

Zostaną wyprowadzone wzory dotyczące zastępowania układu szeregowego Rs, Xs układem równo- ległym Gr, Br , lub na odwrót.

Warunki równoważności układów (rys.):

u u

u_s ≡ _r ≡ , i_s ≡i_r ≡i, U_s =U_r =U, I_s =I_r =I, ϕ_s =ϕ_r =ϕ, oraz Z_s =Z_r =Z,

Y Z Y

Y_{s r} 1

=

=

= .

Przyjmuje się: u=U ²⋅^sinωt, i =I 2⋅sin(

ω

t−

ϕ

). W układzie szeregowym:

Z I =U ,

Z R_s

ϕ

=

cos ,

Z X_s

ϕ

=

sin ,

więc = ²⋅^sin(

ω

−

ϕ

⁾= ²⋅^sin

ω

⋅^cos

ϕ

− ²⋅^cos

ω

t⋅^sin

ϕ

Z

t U Z

t U I

i_s ,

U t

Z t X Z U

i R

i≡ _s = ^s₂ ⋅ ²⋅^sin

ω

− ₂^s ⋅ ²⋅^cos

ω

.

W układzie równoległym: 



 



 +

⋅

⋅ +

⋅

⋅

=^{G U} 2 sin

ω

^{t B U} 2 sin

ω

^t

π

2

i_{r r r} ,

i≡i_r =G_r⋅U ²⋅^sin

ω

t+B_r ⋅U ²⋅^cos

ω

t .

Z tożsamościowej równości funkcji czasu i_s(t)≡i_r(t)≡i(t) wynikają równości współczynników:

Z2

G_r = R^s ,

Z2

B_r =−X^s (zamiana układu R_s, X_s na G_r, B_r ) . (6.41a, b)

Inne postaci tych zależności:

Y2

R_s = G^r ,

Y2

X_s =−B^r (zamiana układu G_r, B_r na R_s, X_s ) . (6.42a,b)

Powyższe wzory umożliwiają też zastępowanie dwójników o strukturze mieszanej (szeregowo- równoległej) dwójnikami o strukturze szeregowej bądź równoległej.

≡

^ur _(R^G_r^r₎ ^L _C^r _r

ir

Br = BC r – BL r

(Xr) Rs Ls Cs

us

(Gs) Xs = XL s – XC s

(Bs) is

Moce dwójnika pasywnego (czynna, bierna i pozorna)

Dwójnik o impedancji Z i przesunięciu fazowym

ϕ

można przedstawić jako szeregowe lub równo- ległe połączenie elementów: rezystancyjnego i reaktancyjnego (rys.).

U =Z⋅I U_R =R⋅I =Z⋅^cos

ϕ

⋅I I_G =G⋅U =Y⋅^cos

ϕ

⋅U

Y U

Z

I =U = ⋅ U_X = X ⋅I =Z⋅^sin

ϕ

⋅I I_B = B ⋅U =Y⋅^sin

ϕ

⋅U Podstawiając

ψ

u :=

ψ

i +

ϕ

^lub

ψ

i :=

ψ

u –

ϕ

do wzoru na moc chwilową:

[ ω ψ ϕ ]

ϕ ψ

ψ ω

ϕ

− + + = − + +

=U Icos U Icos(2 t _{u i}) U Icos U Icos 2( t _i)

p ;

[ ω ψ ϕ ]

ϕ ψ

ψ ω

ϕ

− + + = − + −

=U Icos U Icos(2 t _{u i}) U Icos U Icos 2( t _u)

p ;

można składnik zmienny tej mocy (nazywany mocą oscylacyjną) zapisać następująco:

[

^{2( )}

] {

^{cos cos2( ) sin sin2( )}

}

cos t _i U I t _i U I t _i

I

U

ω

+

ψ

+

ϕ

=−

ϕ

⋅

ω

+

ψ

−

ϕ

⋅

ω

+

ψ

− ;

[

^{2( )}

] {

^{cos cos2( ) sin sin2( )}

}

cos t _u U I t _u U I t _u

I

U

ω

+

ψ

−

ϕ

=−

ϕ

⋅

ω

+

ψ

+

ϕ

⋅

ω

+

ψ

− .

Widać, że amplituda mocy oscylacyjnej wynosi U I i że przebieg czasowy tej mocy (o podwojonej pulsacji) jest sumą bądź różnicą przebiegów: kosinusoidalnego o amplitudzie U I cos

ϕ

i sinuso- idalnego o amplitudzie U I sin

ϕ

^.

Amplituda U I cos

ϕ

jest równa – określonej już wcześniej – mocy czynnej P, przedstawiającej średnią moc rozpraszaną w elemencie rezystancyjnym (konduktancyjnym):

I U I R I

Z I

U

P= ⋅ ⋅cos

ϕ

= ⋅ ²⋅cos

ϕ

= ⋅ ² = _cz⋅ , (6.43a)

ϕ

ϕ

^cos

cos = ⋅

⋅

⋅

=

⋅

=R I Z I U

U_cz (składowa czynna napięcia), (6.43a’) Icz

U U G U

Y I

U

P= ⋅ ⋅cos

ϕ

= ⋅ ²⋅cos

ϕ

= ⋅ ² = ⋅ , (6.43b)

ϕ

ϕ

^cos cos = ⋅

⋅

⋅

=

⋅

=G U Y U I

I_cz (składowa czynna prądu). (6.43b’) Amplitudzie U I sin

ϕ

odpowiada moc bierna Q, przedstawiająca ekstremalną wartość chwilową mocy akumulacyjnej elementu indukcyjnego lub pojemnościowego (w przypadku pierwszym – dodatnią; w drugim – ujemną):

I U I X I

Z I

U

Q= ⋅ ⋅sin

ϕ

= ⋅ ²⋅sin

ϕ

= ⋅ ² = _b⋅ , (6.44a)

ϕ

ϕ

^sin

sin = ⋅

⋅

⋅

=

⋅

= X I Z I U

U_b (składowa bierna napięcia), (6.44a’) Ib

U U

B U

Y I

U

Q= ⋅ ⋅sin

ϕ

= ⋅ ²⋅sin

ϕ

=− ⋅ ² =− ⋅ , (6.44b)

ϕ

ϕ

^sin sin =− ⋅

⋅

⋅

−

=

⋅

=B U Y U I

I_b (składowa bierna prądu). (6.44b’) Amplitudzie U I mocy oscylacyjnej odpowiada moc pozorna S – wielkość umowna, związana z ekstremalnymi wartościami chwilowymi mocy w elemencie impedancyjnym (admitancyjnym):

2 2 2

2 Y U P Q

I Z I U

S = ⋅ = ⋅ = ⋅ = + , p_max =P+S, p_min =P−S. (6.45a, b, c) Związki między P, Q, S i

ϕ

:

S

= P

ϕ

cos ,

S

= Q

ϕ

sin ,

P

=Q

ϕ

tg . (6.46a, b, c) Dla podkreślenia różnego charakteru poszczególnych rodzajów mocy, używa się jednostek:

[P] = 1 W (wat); [Q] = 1 var (war); [S] = 1 VA (wolt-amper).

G B u

iG iB

i

Z, ϕ u

i

u

uR R i

uX X

≡ ≡

Rezonans elektryczny. Charakterystyki szeregowego obwodu rezonansowego

Istota i właściwości rezonansu elektrycznego nie były dotąd rozważane; podano jedynie warunki jego występowania w podstawowych układach.

Pojęcie rezonansu występuje w wielu działach fizyki i techniki. Określa się tak zjawiska lub szcze- gólne stany pracy makro- i mikroukładów nieodosobnionych różnego rodzaju, składające się na cykliczne (falowe) procesy absorpcji, generacji lub wymiany energii. Rezonans w układzie mecha- nicznym jest odpowiedzią na działanie sił zewnętrznych z częstotliwością równą lub bliską często- tliwości drgań własnych (tego układu). Objawia się silnymi drganiami, których istotę stanowią pro- cesy okresowych przemian energii zgromadzonej w układzie: z potencjalnej w kinetyczną i z kine- tycznej w potencjalną.

Rezonans w układzie elektrycznym, krótko: rezonans elektryczny, polega na oscylacji energii mię- dzy cewkami i kondensatorami, tzn. na okresowych przemianach energii gromadzonej w polu elek- trycznym, na energię gromadzoną w polu magnetycznym, i na odwrót. Jeśli suma energii zgroma- dzonej w cewkach i kondensatorach układu jest w każdej chwili stała, to można mówić o rezonansie w „czystej postaci”. Wymiana energii między cewkami i kondensatorami odbywa się wtedy bez udziału źródła, które tylko dostarcza energii traconej w rezystorach. Jeśli natomiast (przy spełnio- nym warunku rezonansu) suma energii zgromadzonej w cewkach i kondensatorach układu nie jest w każdej chwili stała, to źródło dostarcza i odbiera w różnych przedziałach czasowych każdego okresu część energii gromadzonej na przemian w cewkach i kondensatorach.

Zainteresowanie rezonansem w energoelektryce związane jest w występowaniem przepięć rezonan- sowych (napięć na cewkach i kondensatorach, wielokrotnie większych od napięcia zasilającego układ) i przetężeń rezonansowych (prądów w cewkach i kondensatorach, wielokrotnie większych od prądu pobieranego przez układ).

Zainteresowanie zjawiskiem rezonansu w teleelektryce dotyczy przepustowych i zaporowych wła- sności układów (filtrów) reaktancyjnych.

Kryterium rezonansu dwójnika jest, jak wcześniej podano, zerowa wartość reaktancji lub suscep- tancji, albo równoważna z tym – zerowa wartość mocy biernej. Rozróżnia się:

a) dwójniki reaktancyjne, tzn. takie, że Z(

ω

rez) = 0 – stanowiące w rezonansie zwarcie, albo takie, że Y(

ω

rez) = 0 – stanowiące w rezonansie rozwarcie,

b) dwójniki zawierające rezystancje, tzn. takie, że Z(

ω

rez) = R(

ω

rez), albo takie, że Y(

ω

rez) = G(

ω

rez).

Przedmiotem rozważań jest obwód rezo- nansu szeregowego czyli układ szeregowy R, L, C, zasilany z idealnego źródła napię- ciowego (rys. obok).

Zostaną przedstawione charakterystyki rezonansowe, tzn. wykresy wartości skutecznych prądu I oraz napięć U_R , U_L i U_C , przy stałej wartości skutecznej E sinusoidalnego napięcia źródłowego o zmiennej pulsacji

ω

, jako funkcje tej pulsacji. Podstawę sporządzenia wykresów stanowią poniższe zależności analityczne:

2

2 1



 



 −

+

=

L C R

I E

ω ω

,

2

2 1



 



 −

+

= ⋅

⋅

=

L C R

E I R

R U_R

ω ω

,

2

2 1



 



 −

+

= ⋅

⋅

=

L C R

E I L

X

U_{L L}

ω ω

ω

,

2

2 1



 



 −

+

=

⋅

=

L C R

C I E X

U_{C C}

ω ω ω

. i R L C

uR uL uC

e

Wielkościami „wzorcowymi” obwodu rezonansowego, niezależnymi od R, są: pulsacja rezonanso- wa

ω

⁰ i częstotliwość rezonansowa f 0 , oraz impedancja charakterystyczna (falowa) obwodu rezo- nansowego

ρ

rez , wyznaczane z warunku równych reaktancji cewki i kondensatora w stanie rezonan- su X_Lrez = X_Crez =

ρ

_rez:

C L

1

0 =

ω

^,

C L f ²

π

1

0 = ,

C L

rez =

ρ

. (6.47a, b, c)

Na rysunku poniżej pokazano wykresy charakterystyki szeregowego obwodu rezonansowego dla dwóch przypadków, różniących się tylko wartością rezystancji R. Z analizy podanych zależności ogólnych wynika, że przepięcia występują (przypadek „a”) tylko wtedy, gdy jest ona odpowiednio mała – mniejsza od 2 -krotnej wartości

ρ

rez .

a) b) rezonans „bezprzepięciowy” – R> ²

ρ

_rez

Jeśli, jak powiedziano, napięcie źródłowe ma stałą wartość skuteczną E, to prąd w obwodzie i na- pięcie na rezystancji są największe przy pulsacji rezonansowej

ω

rez =

ω

⁰ (niezależnie od warto- ści R). Przepięcia na pojemności i indukcyjności (przypadek „a”) są tym większe, im większa jest wartość stosunku

ρ

rez do R, zwanego dobrocią szeregowego obwodu rezonansowego Qs . Najwięk- sze wartości tych przepięć występują – odpowiednio – przy wartościach pulsacji (bliskich

ω

^0):

0 2

2 1 1

s

C =

ω

− Q

ω

^,

2 0

2 1 1

s L

− Q

=

ω

ω

, gdzie

ez R

ez C ez R

ez L rez

s U

U U

U Q R

.r .r r

.r =

=

=

.

ρ

.

Rezonans w dwójniku o układzie mieszanym

W układach o strukturze szeregowo-równoległej rozważa się występowanie rezonansu typu szere- gowego bądź równoległego i wyznacza pulsację rezonansową właściwego układu zastępczego.

Za przykład posłuży układ dwugałęziowy cewki i kondensatora, zamieniony na trójgałęziowy.

Warunek na rezonans w ukła- dzie zastępczym:

. 0

._rez − _Lrrez =

C B

B ,

czyli

2 2

2 L

R C L

rez rez

rez

ω

ω ω

= + ⇒ ^{2 2} R²

C L L

rez = −

ω

⇒

2 2

0 1

rez rez

R

ω ρ

ω

= − .

ωC ωL ωrez

0 ω 0 ω ω rez

i, uR., uL , uC

i, uR., uL , uC

uC uL

uC uL

i uR.

i uR.

Lr

C Rr

≡

R L C